книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

Имеет место следующая цепочка соотношений:

(т) €Е Q™ {Т) и, как видно из равенств (2.6), vs = vs ge

е<?Г (Г) при тѣф 4.

Свойство 4Чдоказано.

В§ 5 будет показано, что область ф (Т) не является замкнутой; там же будет обсуждаться вопрос о том, какими

функциями нужно пополнить множество Qs (Т), чтобы эта область стала замкнутой.

Сформулируем применительно к области QT (Т) неко­ торые определения и утверждения (без доказательства) из теории выпуклых множеств в «-мерном евклидовом пространстве Х п (9, 18, 49).

Утверждение 1. Через всякую точку х ф Q™ (Т) в про­ странстве Х п можно провести такую гиперплоскость, что

множество Q™ (Т) будет расположено целиком в одном из двух полупространств, на которые эта гиперплоскость делит пространство Х п.

Определение 1. Гиперплоскость, содержащая хотя бы одну предельную точку множества Q™ (Г), называется опорной, если множество Q™ (Т) расположено целиком в одном из двух полупространств, на которые эта гипер­ плоскость делит пространство Х п.

Утверждение 2. Для любого вектора ц существует

опорная гиперплоскость ПГ(ц, Т) множества QT (Т), ортогональная этому вектору.

Определение 2. Предельная точка множества Q™ (Т) называется граничной, если она принадлежит хотя бы одной опорной гиперплоскости этого множества.

1] ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ 23

Утверждение 3. Замкнутое множество QT (Т) явля­ ется пересечением всех замкнутых полупространств, со­

держащих QT (Т).

Из приведенных выше положений вытекает следующее утверждение.

Утверждение 4. Всякая предельная точка множества

QT {Т), не являющаяся граничной, принадлежит этому множеству.

Таким образом, все предельные точки множества

QT (Т), за исключением, быть может, граничных, при­ надлежат этому множеству. Этот факт, вытекающий из

свойства 1° множества QT(T), имеет место для всех без исключения значений индекса m при измеримых, а также кусочно-непрерывных управлениях us(т). Из свойства 4° вытекает, что для m Ф 4 при измеримых управлениях

us (г) граничные точки множества QT (Т) также принад­ лежат ему.

Вопрос о замкнутости множества QT (Т) (т Ф 4) в классе кусочно-непрерывных функций us (т) будет об­ суждаться в следующих параграфах.

Обозначим через QT область управляемости системы (2.2). Из определения области управляемости следует, что

Q ? = U QT(T).

0 < Т < о о

Из свойства 2° вытекает, что область QТ есть множество

точек пространства Х п, которые «включает» в себя QТ (Т) при Т оо.

Область QT (s = 1 , . . ., г; m = 1 , . . ., 7) является

выпуклым, симметричным относительно начала координат множеством. Выпуклость множества QT можно доказать

Область управляемости Qm системы (4.1), подлежащая

определению, получается алгебраическим суммированием

Г

областей QT (s = 1 , . . . , г); Qm = 2 Q?- Поэтому будем

8=1

рассматривать сначала задачу построения области управ­ ляемости QT системы (2.2).

Возьмем произвольный единичный вектор tj порядка (1 X я) и построим опорные гиперплоскости множества

QT (Т), ортогональные векто­ ру г|. Из свойств 1° и 3° сле­ дует, что таких плоскостей две и они симметричны одна другой относительно начала координат. Каждая из этих гиперплоскостей делит про­ странство Х п на два полупро­ странства, в одном из кото­ рых не содержится точек

области (Т). Будем обоз­

Рис. 2.1.

начать через ПГ (т),Т) ту пло­ скость, для которой вектор г] направлен в полупростран­

ство, не содержащее области Q™ (Т) (рис. 2.1). Тогда сим­

метричная ей плоскость обозначается через ПГ (—т], Т). Через Пт (г], Т) и Пт (—rj, Т) будем обозначать в дальней­ шем соответствующие опорные гиперплоскости множества

Qm (Т).

Обозначим через с?(р, Т) расстояние в смысле евкли­ довой метрики от начала координат до опорных плоско­

стей ПГ (т), Т) и ПГ (—т), Т). Из утверждения 3 вытекает,

что замкнутому множеству Q™ (Т) принадлежат те и толь­ ко те точки X, координаты которых удовлетворяют нера­

венствам

жество Q™ (Т) является открытым, то ему принадлежат те и только те" точки х, координаты которых при всевоз­ можных единичных векторах г) удовлетворяют строгим

переход даст возможность выяснить структуру области управляемости Q™. Для осуществления этого перехода

Скалярное произведение т]г8 (Т) достигает своей верх­ ней грани на границе области QT (Т), поэтому для зам­

кнутых областей Q™ {Т) имеет место равенство (2.11). Отметим, что соотношения (2.9), (2.11) могут быть

использованы для выяснения свойств областей дости­ жимости. Действительно, предположим, что для некото­ рого класса допустимых управлений имеет место равенство (2.11), кроме того, максимум интеграла (2.10) достигается на единственном управлении. В этом случае каждой опорной плоскости принадлежит единственная граничная точка области достижимости, т. е. область достижимости является строго выпуклым множеством. Отсюда уже вытекает, что^ всякая граничная точка принадлежит области достижимости, т. е. последняя является замкну­ тым множеством.

В параграфах 4—6 решается задача максимизации функционала (2.10).

§ 3. Размерность областей достижимости

Если при некотором т] Ф 0 имеет место тождество т\е~АхЪ, = 0, то функционал (2.10) равен нулю при любых управлениях us (т). Рассмотрим вопрос об определении векторов ц, для которых имеет место указанное тождество.

Пусть корни характеристического уравнения

имеют кратности p h. Будем предполагать (это предполо­

-1 [21, 506].

Выражение т\e~Axbs имеет вид

. . ., г3) линейно^независимы, поэтому тождество це~АхЬ3= = 0 может иметь место тогда и только тогда, когда вектор т] удовлетворяет системе п линейных алгебраических урав­ нений

Отсюда получается система уравнений, эквивалентных

Фундаментальная система решений уравнений (3.4) или (3.8) состоит из п — ps векторов. Пронормируем каж­

при всех значениях индекса ш. Иначе говоря, области QT (Т), @Г принадлежат подпространству ZPs простран­

ничений, наложенных на управление us (т); она опреде­ ляется структурой системы (2.2), т. е. структурой матриц А и bs. Если степень р, минимального полинома матрицы

Q™ (Т) и области управляемости QT равна га. Система (2.2) называется в этом случае вполне управляемой [28, 29, 36, 62].

Если р3 га, то систему (2.2) с помощью невырожден­ ного преобразования [20, 29, 31, 36, 62] можно «разбить» на две подсистемы,

В подсистему (3.12) управление не входит, следова­

тельно, множества QT (Т) и QT принадлежат гиперплоско­ стям, определяемым векторным уравнением порядка га - р„:

Учитывая соотношение (3.14), получаем, что задача построения области для га-мерной системы (2.2) при условии р3 га сводится к задаче построения области управляемости р3-мерной системы

— АцУх -)- blus,

которая в силу соотношения (3.13) является вполне управдяемой.

Заметим, что соотношения (3.10) и (3.14) эквивалентны,.

Эти эквивалентные системы содержат по гр уравнений.

p = rang] Wu . . . , W r\ = rang fl B, AB, . . ., A ^ B || = = rang fl B, AB, . . ., А*-Щ . (3.18)

Фундаментальная система решений уравнений (3.15), а также (3.16), состоит из п — р векторов. Пронормируем каждый из этих векторов и обозначим их через т^1*,. . .

. . ., т](п' р>. Область достижимостиQm (Т) при всех 0 ^ Г < ^ < оо, а значит, и область управляемости Qm, принадлежит плоскостям

т^ х = 0 (6 = 1, . . ., п - р) (3.19)

при всех значениях индекса тп. Иначе говоря, области Qm (71), Qm принадлежат подпространству Хр пространства

Величина р может быть равной п даже тогда, когда степень минимального полинома матрицы А меньше п [21, 506].

Если р = п, то для всякого вектора ц найдется такое значение индекса s, при котором це' А^Ь3 ф 0. При этом размерность области достижимости Qm (Т) и области

ного преобразования [20, 29, 31, 36, 62] можно «разбить»