книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами
.pdf21 |
РАССТОЯНИЯ ДО ОПОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ |
41 |
при этом приобретает вид и (т) = —N8 (Т). Для рассто яния d (ц, Т) из (5.8) получается формула
d (ц, Т) = N (Tcos ср — sin <р).
Уравнения опорных прямых имеют вид
хх cos ф + x2sin ф = 'N (Tcos ф — sin ф).
Все эти прямые, так |
же |
как |
и прямая х2 = — N, |
||||||||
проходят |
через |
точку |
А |
(рис. |
5.2) |
с |
координатами |
||||
(.N T - N ). |
|
|
|
|
максимум функции |
| х\е~ЛтЬ | до |
|||||
При ф = arctg гІ2Т |
|||||||||||
стигается в двух точках: т = |
0 и т |
= |
Г. В качестве мак |
||||||||
симизирующей можно выбрать функцию и (т) = N ö (0) |
|||||||||||
либо и (т) |
= —TVS (Т), |
либо линейную комбинацию этих |
|||||||||
функций и (т) = N [А,8 |
(0) |
+ |
|
|
|
|
|||||
+ (Я — 1) 8 (Т)], |
где 0 < Х < |
|
|
|
|
||||||
< 1 . Уравнение опорной пря |
|
|
|
|
|||||||
мой, получаемое из приведен |
|
|
|
|
|||||||
ных выше уравнений, |
имеет |
|
|
|
|
||||||
вид |
хх+ |
-і- Тх2 = |
-J- NT. |
|
|
|
|
||||
Эта |
прямая проходит |
через |
|
|
|
|
|||||
точку А и точку В (см. рис. |
|
|
|
|
|||||||
5.2) с координатами (0, N). |
|
|
|
|
|||||||
При arctg г/2Т |
|
Ф <С я/2 |
|
|
|
|
|||||
максимум |
функции |
| це~Ат&| |
|
|
|
|
|||||
достигается |
в точке |
т = |
0. |
|
|
|
|
||||
Формула |
|
(5.9) |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|||
и (т) = N 8 |
(О). Для расстоя |
|
|
|
|
||||||
ния d (ц, Т) получается вы
ражение d (ц, Т) = Уэіп ф. Уравнения опорных прямых записываются в виде
хг cos ф -f- х2 sin ф — N sin ф.
Все эти прямые проходят через точку В.
При ф = л/2 имеем це~Ат&= 1, d (ц, Т) = N, урав нение опорной прямой имеет вид х2 = N.
При я/2 Ф <С Зя/2 получаются опорные прямые области Q4 (Т), симметричные построенным относительно начала координат. Таким образом, область достижимости Q4 (Т) представляет собой параллелограмм ABCD (см.
42 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛЛ
рис. 5.2), ограниченный четырьмя опорными прямыми:
х2 |
— — N, |
Ху + \ - Тх-г — -J- NT, хъ —N, |
||||
|
|
|
Хі -|—g-Тх2—---2" NT. |
|
||
Точки |
А |
и |
В получаются |
при |
и (т) = |
—N8 (Т) и |
и (т) = N8 (0) соответственно. |
Все |
точки |
отрезка А В |
|||
получаются |
при |
|
|
|
|
|
и (т) |
= |
N [Хб (0) + (К — 1) б (Г)] |
( 0 < Ь < 1 ) |
|||
и принадлежат области Q4 (Г), если дельта-функции пред полагать допустимыми управлениями. Все точки отрезка ВС получаются при
и (т) = N 1X8 (0) + (1 - X) 8 (Т)і ( 0 < Х < 1 )
и также принадлежат области Qi (Т) при указанном пред положении. Доказательство того, что все точки отрезков AB и ВС принадлежат области (>4 (Т), можно провести следующим образом. Если точки А, В и С принадлежат области Q4 (Т), то, поскольку эта область — выпуклое множество, постольку отрезки AB и ВС также при надлежат этой области. Следовательно, область Q4 (Т) является замкнутой, но не является строго выпуклой.
При Т —ѵ оо параллелограмм ABCD «захватывает», очевидно, все точки, лежащие в полосе
II < N,
атакже точки, принадлежащие двум лучам:
х1 |
0, х2 = |
N; |
Ху |
0, х2 = —N. |
Это множество представляет собой область управля |
||||
емости Q* в настоящем примере. |
максимизации функцио |
|||
Рассмотрим теперь |
задачу |
|||
нала (2.10) в случае |
тп = 5; при этом будем считать, что |
|||
г|е~А'Ъ 0. |
|
|
|
|
Если Т ^ |
N J M S, |
то |
управление (4.1) принадлежит |
|
классу £2з (Т) и максимизирует интеграл (2.10). Будем предполагать далее, что
Т > N J M S. |
(5.10) |
2] |
РАССТОЯНИЯ ДО ОПОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ |
43 |
|
Для решения задачи при условии (5.10) введем в рас |
|
смотрение вспомогательный функционал |
|
|
|
т |
|
|
h (Щ, Х) = $ [Це-АѢ 3щ (т) — %I us(т) |] dt, |
(5.И) |
|
о |
|
где |
X ^ 0 — множитель Лагранжа. Найдем удовлетво |
|
ряющую только условию (1.2) функцию us (т), которая максимизирует функционал (5.11). Для нахождения этой
функции нужно при каждом значении т найти величи |
||
ну иа, максимизирующую подынтегральное выражение |
||
в (5.11). Функция |
г|e~Mbsus — у |
\ us | достигает своего |
максимума при us = |
Ms sgn (r|e~AT5s), если | T\e~Mbs | |
|
X* и ПРИ us = 0, если I г\е~м Ь3 | |
%. Если | цe~Azbs | = |
|
= у, то максимизирующим будет любое значение и3,
удовлетворяющее условиям sgn us = sgn (Tie_Ac5s), |
| us | < |
|||||
< M S. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, максимизирующей является функция |
||||||
|
ГMssgn (тргАтbs) при Т еЕ а ( Г ,х ), |
(5.12) |
||||
и^ Г’х ) - { 0 |
при x e e Gs(T,%). |
|||||
|
||||||
Здесь |
|
|
|
|
(5.13) |
|
Es (Т, X) - |
{т е [0, Т ) : I це~А% | > Х}, |
|
||||
СДТ,х) = |
{ т е [ 0 , П : | р е - ^ Ь 8|< х } - |
|
(5.14) |
|||
Введем также такие обозначения: |
|
|
|
|||
Es(T,x) = |
{x g [0, Т ] : I це-А% \ |
= Х], |
|
|
||
у' = |
min \ v[erAtba\, у” = max |
\x\e~A^bs\. |
(5.15) |
|||
|
те[о, Т] |
те[о, Т] |
|
|
|
|
Предположим сначала, что \iFs (Т, у) = 0 |
при любом |
|||||
значении у. |
Тогда при изменении величины у |
от значения |
||||
X' до значения у" функция цЕ3 (Г, х), благодаря свойству полной аддитивности меры [59а, 60], убывает непрерывно и строго монотонно от Т до 0. Из условия (5.10) следует
существование |
такого |
значения у ’ |
Хо = Хо (Т) <С Х"> |
|
при котором |
|
|
|
|
|
ІіЕа (Т, |
Хо) = N JM 3. |
(5.16) |
|
Управление |
и, (т, Хо) |
As (Т), поскольку оно удов |
||
летворяет условию (1.2), |
а соотношение (1.8) обращает |
|||
44 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I
в равенство- |
|
г |
|
\ I (т, Хо) l d r = |
jj M ß x = M s\xEs(T, Xo) = jVs. |
0 |
•Es ( ,r , X o ) |
При условии p /’g (Г, %) = 0 управление (5.12) будет единственной функцией, максимизирующей интеграл
(5.11).
Доказать, что управление us (т, Хо) является максими
зирующим в классе QÜ (Т), можно было бы так же, как и в § 5. Однако в настоящем случае приведем другое дока зательство этого факта, совпадающее в основных чертах с доказательством леммы Неймана — Пирсона [5, 7,17,18].
Пусть в, (т) е (Т) — произвольное управление, тогда имеют место следующие соотношения:
т
Is (и, (Т, Хо)) —Is (И. СО) = Ü гр~АтЬгЩ(т, Хо) ÖT —
О
т |
г\e~Azbsus(т) dx |
|
I r\e~A^bs | M ß x — |
||
— ^ |
^ |
||||
О |
|
|
E S( T , |
Хо) |
|
— $ I це~АѢ $I I в, (т) I dx — |
$ |
I це~АѢ, | | us (т) Jdx = |
|||
E s C r , Xo) |
|
|
G s ( T , x o) |
|
|
|
= |
^ I x\é~A% I (Ms — I us (T) |) dt — |
|||
|
|
n s ('r,X o ) |
|
|
|
|
|
|
— |
ü |
I T]e^T6s 1 I Bs (t) I dt. |
|
|
|
|
G ä(T,|Xo) |
|
Если функции us (т) и us (x, Xo) отличаются друг от друга на множестве положительной меры, то, поскольку х' <С < Хо < постольку из выражений (5.13) — (5.15) вы текает строгое неравенство
|
J |
I W~Azbs [ (М, — I us (т) I)dx — |
|
-EjCi'.Xo) |
|
|
|
— |
J |
I |
6,| I щ {X) I dx > Xo J (Ms— I us(x) |) dx — |
|
G,(7’,xo) |
A’sU,Xo) |
|
2] РАССТОЯНИЯ ДО ОПОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ 45
— Хе 5 I Us |
I dx — Xo |
5 |
M*dx ~ |
M I Us ^ Idx ^ |
|||
G s (T,Xo) |
|
|
E S( T , X o) |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
= Xo(n s — 5 |u,(t)| dt). |
|||
|
|
|
|
|
' |
0 |
' |
Поскольку X o |
> 0 |
и функция U s (т) e |
Qs (T), |
постольку |
|||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
Xo [n s — 5 |
I щ (T) I dx\ > |
0. |
|
|
||
|
' |
o |
|
' |
|
|
|
Таким образом, функция ms (t, |
Xo) |
максимизирует |
|||||
интеграл (2.10) и для расстояния d (ц, |
Г) |
получается вы |
|||||
ражение |
|
|
|
|
|
|
|
d(x\,T) = Ms |
^ |
\r\e~M bs\dx. |
(5.17) |
||||
Н 8( Т , Х о)
Предположим, что рТ5 (Г, у) = Т для некоторого значения % 0, т. е. x\e~Mbs = const 0. В этом случае все измеримые функции us (т), удовлетворяющие условию (1.2) и условию
т
$ и&(т) d x = N s sgn{це~АѢ,),
о
являются, очевидно, максимизирующими. Максимизиру ющей будет, например, функция us (т, Xo)> если в выраже нии (5.12) положить Es (Т, Хо) = [0, N JM s), Gs (Т, %0) = = [NJMS, Т\. Для расстояния d (ц, Т) имеет место фор мула (5.17), которая в данном случае упрощается:
d (ц, Т) |
= N t I ле~*Ъш|. |
(5.18) |
§ 6. Расстояния до опорных гиперплоскостей |
|
|
при т = 6,7 |
|
|
Предположим, что |
\\e~A^bs = const =f= 0. |
При значе |
ниях Т, больших некоторого, в качестве максимизиру
ющей интеграл (2.10) как в классе |
(Т), так и в классе |
(Т), можно выбрать, например, |
функцию |
N
46 |
ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ |
ІГЛ. I |
При достаточно больших значениях Т эта функция удо влетворяет строгим неравенствам (1.2), (1.7) и обращает в равенство соотношение (1.8). Для расстояния d (ц, Т) при m — 6,7 получается выражение, совпадающее с вы ражением (5.18),
d (г], T ) = N t I це~м Ьа |. |
(6.1) |
При достаточно больших значениях Т существует беско
нечное множество функций us (т) £Е |
(Т) (т = 6, 7), |
максимизирующих интеграл (2.10). |
const. При этом |
Будем считать теперь, что г)e~A'cbs ^ |
рассмотрим сначала случай т = 7. Будем предполагать, что величина Т удовлетворяет одновременно неравенст вам (4.3) и (5.10) («маленькие» значения Т не представ ляют интереса для задачи построения области управля емости).
Рассмотрим ситуацию, когда управление ив (т, а0) (4.5), максимизирующее интеграл (2.10) в классе функций
Q® (Т), не удовлетворяет условию (1.8), т. е. и, (т, <з0) (Т). В противном случае задача максимизации ин
теграла (2.10) в классе функций QJ (Т) сводится к задаче максимизации в классе (Т), которая уже решена в § 4.
Подставим управление us (т, Хо) (5.12), максимизиру
ющее интеграл (2.10) в классе функций Q® (Г), в левую часть неравенства (1.7); тогда в силу соотношений (5.10) и (5.16) получим
Jт «s (*> Хо) d t — $ MtdT = МІцЕ, (Т, хо) = MSN S.
оE g(T,xо)
Если
M SNS< Р„ |
(6.2) |
то управление us (т, Xo)^^s(^)- Следовательно, при условии (6.2) задача максимизации функционала (2.10)
в классе функций Q,] (Т) сводится к соответствующей за
даче в классе Qs (Т), которая решена в предыдущем па раграфе.
Рассмотрим ситуацию, когда
M SN S> Ps. |
(6.3) |
2] |
РАССТОЯНИЯ ДО ОПОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ |
47 |
|
|
Среди измеримых функций us (т), удовлетворяющих только условию (1.2), найдем функцию, которая макси мизирует вспомогательный функционал
К , X, а) = $ Гце Axb,us (т) — XI иs (т) | |
‘(f) ] dx, |
(6.4)
гДе X ^ Я 6 0 — постоянные, представляющие собой множители Лагранжа. Для того чтобы найти такую функ цию, нужно при каждом зна
чении т найти величину us, максимизирующую подынте гральное выражение (6.4).
Величина ^гіе-Ат65н8 — %|н5|—
б 2І
-----2~ug , рассматриваемая
как функция переменной us, |
|
|
|
|
||||||||
достигает |
своего |
максиму |
|
|
|
|
||||||
ма |
либо |
на |
конце |
отрезка |
Рис. 6.1. |
|
|
|||||
I м* |
| < |
М„ т. е. |
при |
us = |
|
О, либо при |
||||||
= Ms sgn |
(цe~Axbs) (рис. 6.1), либо при и |
|||||||||||
_ |
1h |
(I це~А% |
I — |
х) sgn (це~АхЬа). |
|
|
|
|
||||
Таким образом, максимизирующая функция имеет вид |
||||||||||||
|
|
|
|
M ssgn (це Ах bs) при т е |
Es(Я %, а), |
|
||||||
щ (т, X, а) = |
< |
(I Це~АѢ$I —х) sgn (це~АтЪв) |
|
|
(6.5) |
|||||||
|
|
|
при теЯДЯх. б)» |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
при т e G s(T, х). |
|
|
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
I > |
|
öMs}, (6.6) |
||
Е. (т, |
х> |
ö) |
= |
{т е |
[0, ти I Щ-А% |
X + |
||||||
Я (Т, %,0 ) = |
{ г е |
[о, |
Я : х< \у\е-А% |
| < |
X + |
оМе},(6.7) |
||||||
Gs (Т, |
X) |
= |
{т е |
[О, |
TU I r\e-Axbs | < |
%}, |
|
|
(6.8) |
|||
(Es (Т, |
X, б) U Fs (Я |
X, а) U Я (Я |
X) = |
[О, |
Я ). |
|
||||||
При б = |
0 |
в выражении (6.5) остается верхняя и ниж |
||||||||||
няя |
строчки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Максимизирующая функция (6.5) является единствен |
||||||||||||
ной |
с |
точностью |
до |
|
значений на множестве |
точек т, |
||||||
48 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I
в которых I r\e~Axbs | = %, либо | л\е~А,Ъ1 |
\ = |
% + aMs. Это |
||||
множество имеет |
нулевую меру, так как, |
по условию, |
||||
г|e~Axfes ^ const. |
|
в соотношения (1.7) |
и (1.8): |
|||
Подставим функцию (6.5) |
||||||
т |
|
|
|
|
|
|
5 и1(*, X, о) dx = |
{Т, X, о) • ф |
|
|
|
||
О |
|
|
|
|
|
|
+ -^г |
5 |
(111е~Ат&s I — Х)2 dx = |
Фх (Г, X, о), |
(6.9) |
||
Es (T ,x, о) |
|
|
|
|
||
Т |
|
|
|
|
|
|
5 I U, (т, X, ö) I dx = Ms[iEs (Т, X, а) + |
|
|
|
|||
О |
|
|
|
|
|
|
+ 4- |
5І |
(he~ATM —x)dt:= ф2(?’, х,5). |
(ело) |
|||
F S( T , Х , ° ) |
|
|
|
|
|
|
Покажем, |
что уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
Фт (Г, X, |
о) = Л , |
|
|
(6.11) |
|
|
Ф2 (Т, X, |
О) = N s |
|
|
(6.12) |
имеют |
решение Хо = Хо (Т) |
)> 0, <з0 = <з0 (Т7) |
0. Далее |
|||||
будет показано, что управление |
us (т, %0, бДмаксимизи |
|||||||
рует функционал (2.10) в классе функций Q,] (Т). |
||||||||
Функции Фх (Т, |
X, б), Ф2 |
(Т, X) о) будем рассматривать |
||||||
в первом |
квадранте плоскости |
Х> б (х j> Oj' а |
0). Из |
|||||
соотношения |
(6.7) |
получаем |
|
|
||||
4 “ |
$ |
|
(I ye“Axfcs I — х)2 dt < |
|
|
|||
ES(T, X, а) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
o2M2sdx — M\\iFs (7’, X, б), |
|
|
|
|
|
|
Fs(T,x,o) |
|
||
4" |
$ |
|
(I т1е~АтЬ* I — Х) dt < |
|
|
|
||
F,(T,x,a) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
< 4" |
$ |
oAfsdr = |
(2', X, б). |
|
|
|
|
|
F g(T,x,o) |
|
||
При |
б |
(Г, |
0 |
имеем |
p,Fs (T, |
%, |
<s) ->■ 0, [a2?„ (7\ |
x, 6) -> |
-V (xÄ'g |
Xi |
0), поэтому из приведенных неравенств вы |
||||||
2] |
РАССТОЯНИЯ ДО ОПОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ |
49 |
||||
текает, |
что функции Ф1 |
(Т, |
%, а) и Ф2 (Т, %, в) непрерыв |
|||
ны в точках, где о = |
0. |
Эти функции непрерывны также |
||||
во всех |
точках первого |
квадранта. При %->• 0 |
и 5 - > 0 |
|||
Фі (Т, х, б) -> |
М \Т , |
Ф2 (Т, X, о) -> |
МгТ. |
(6.13) |
||
Так же как в § 4 |
для функции Ф (Г, а), |
можно пока |
||||
зать, что при каждом фиксированном значении а функции Фх (Т, Xi о), Ф2 {Т, Хі °) строго монотонно убывают при изменении % от 0 до значения %" (5.15). При х >"х*\ очевидно, Фх (Т, х, а) == Ф2 (Г, х, а) = 0.
При каждом фиксированном значении х <С Х" функции Фх (Т, X, б), Ф2 (Т, X, б) строго монотонно убывают при возрастании значения о. При б —>■оо имеем
Фі (Г, X, а ) - * 0, Ф2 (Т, X, б) 0.
Из условий (4.3), (5.10) и соотношений (6.13) следует, что уравнения (6.11), (6.12) определяют в первом квадранте
плоскости Xi 0 кривые, |
концы которых лежат на осях |
X = 0 и б = 0. Из непрерывности и монотонности функций |
|
Фх (Т, х> <з), Ф2 (Г, X, о) |
следует, что каждая из этих кри |
вых непрерывна, имеет только одну ветвь, не имеет само пересечений. Каждая из кривых монотонна, т. е. если две
точки |
(х(1\ ö(1)), (х(2), <J(D) кривой таковы, что |
х(2) |
Х(1)* |
|
ТО б(2) |
б(1>. |
|
|
|
Выясним взаимное расположение точек пересечения |
||||
кривых (6.11), (6.12) с осями X == О» о = 0. |
|
|
||
Пусть точки пересечения кривой (6.11)« |
осями х = 0 |
|||
и б = |
0 имеют координаты (0, б(1>) и (х(1\ |
0) |
соответст |
|
венно, а точки пересечения кривой (6.12) |
с этими осями |
|||||
имеют координаты (0, |
б<2>) и (х(2\ 0). Иначе говоря, |
|||||
Ф! (т, 0, б<1>) = Р„ |
Фх (т, х(1), 0) = |
Л , |
||||
Ф2 (Т, |
0, б<2>) |
= |
N „ - |
Ф2 (Т, х(2), |
0) = |
N s. |
Управление |
us (т, |
0, |
6<D), |
как следует |
из § 4, макси |
|
мизирует интеграл (2.10) в классе функций й® (Т). Это управление, по условию, не удовлетворяет ограничению
(1.8); это |
означает, |
что |
|
|
|
|
|
Ф2 (Т, 0, |
6(D) > N s = Ф2 (Т, |
0, |
б®). |
Из |
строгой монотонности функции Ф2 |
(Т, |
0, б) следует, |
||
ЧТО |
ö(D |
б® , |
|
|
|
50 |
ОБЛАСТИ |
УПРАВЛЯЕМОСТИ |
[ГЛ. I |
Управление и, (т, х<2\ |
0), как следует из § 5, |
максими |
|
зирует |
интеграл (2.10) |
в классе функций |
(Т). Это |
управление, по условию (6.3), не удовлетворяет ограни чению (1.7), т. е.
П ф х (Т, х Ч 0) = M SN S> Ps = |
Фх (Г, х(1\ |
0). |
||
Из строгой монотонности функции Ф,^ (Т, X, 0) следует, |
||||
что х(2) < |
Х(1)- Таким обра |
|||
зом, можно сделать заклю |
||||
чение, что кривые (6.11) |
||||
(6.12) (рис. 6.2) |
имеют |
|||
внутри |
первого квадран |
|||
та хотя бы одну точку пе |
||||
ресечения (х<ь ао)і т. е. си |
||||
стема |
уравнений |
(6.11), |
||
(6.12) имеет решение ХоЧО, |
||||
б0 > |
0. |
|
|
|
Действуя таким же об |
||||
разом, как и в § 4, |
можно |
|||
доказать, |
что управление |
|||
us (т, Хо, а0) максимизирует |
||||
интеграл |
(2.10) |
в |
классе |
|
функций Qj (Т). Действительно, при произвольных управ лениях и$ (т) 6Е ЙІ (Т) имеет место следующая цепочка соотношений:
|
т |
|
h К (Т, Хо. б0)) — /. (и, (т)) = |
5 цe~A% u s(т, Хо, б0) dx — |
|
|
о |
|
т |
т |
|
— § x\e~A%us (т) dx > |
§ 1]e~Azbsus(т, |
3о) dx — |
О |
о |
Т |
Т |
2 |
|
- Х о ( ч - 5 К ( т ) И т ) - ^ ( ч - $ |
ul(x)dx ) - |
|
т |
т |
|
— ^ г\e~Azbsus (т) dx = |
§ Гтіе'-^и, (т , Хо, о0) — |
|
о |
оL |
п |
— Хо I щ (Т, Хо, во) I - |
с* |
|
- f м2 (т, Хо, Oo)J dr — |
||
т |
|
|
- ^ Гх\е~А% щ (т)- Хо К (т) I |
d t > 0 . |
|
о L |
|
|