книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

[596]. Этот факт, однако, в дальнейшем нами использо­ ваться не будет.

Из сказанного выше следует, что множество Е точек, лежащих в области S~ и удовлетворяющих неравенству

\ X (А'Ѵ + VA) X - х*ѴЬМ> О,

не пусто. Поэтому функция W (х) не является отрица­ тельной во всем пространстве Х п. При этом нельзя

утверждать, что система (23.1), (23.3) является устойчивой «в целом».

Построим с помощью функции Ляпунова V (х) множест­ во начальных состояний, для которых гарантируется ус­ тойчивость системы (23.1), (23.3), т. е. множество, принад­ лежащее области притяжения G1. Для этого найдем такую величину D, при которой эллипсоид

касается поверхности (24.6) в области S~ (рис. 24.1). При этом внутри эллипсоида (24.7) не должно быть точек, при­ надлежащих поверхности (24.6).

В точке касания поверхностей (24.6) и (24.7) имеет место векторное равенство

где а — некоторая постоянная величина. Из выражений

(24.1), (24.3) получаем

grad V (X) = Ѵх,

grad W (x) ■--- (Л*7 + VA) x — VbM.

Тогда уравнение (24.8) принимает вид

Решение уравнения (24.9) имеет вид

Точка (24.10) лежит на поверхности (24.6), поэтому, подставляя выражение (24.10) в уравнение (24.6), получа­ ем следующее уравнение для определения величины а:

Ь*Ѵ(А*Ѵ + V A - аѴу1 ><

X [4 - (А*Ѵ + VA) (A'V + VA - aV y1 - En Vb = 0. (24.11)

Обозначим через В (а) матрицу, присоединенную к мат­ рице А*Ѵ + VA — aF, т. е.

В (a) (А*Ѵ + VA — aV) = А (а) Еп,

где

А (а) = det || А*Ѵ + VA — aV ||.

Тогда уравнение (24.11) можно записать в виде

Ь*ѴВ (а) [(А*Ѵ + VA) В (a) - 2А (a) Еп] Vb = 0. (24.12)

Степень уравнения (24.12) равна 2n — 1. Пусть a 0 — некоторый действительный корень уравнения (24.12). Под­ ставив значение а — а 0 в выражение (24.10), получим ко­ ординаты точки х0, принадлежащей поверхности (24.6).

(24.7) при D — D0 и поверхность (24.6) касаются в точке X = х 0. Таким образом, каждому действительному корню а0 уравнения (24.12) соответствует значение D0, при кото­ ром эллипсоид (24.7) касается поверхности (24.6) в точке х0.

Выберем из всех значений D0 наименьшее. Тогда в об­

не содержится точек, принадлежащих поверхности (24.6). Иначе говоря, в области (24.14) полная производная (24.2) функции (24.1) в силу системы (23.1), (23.3) является оп­ ределенно-отрицательной, поэтому имеет место следую­ щая теорема.

Теорема 24.1. Если начальное состояние удовлетворяет условию (24.14), причем величина D 0 определяется уравне­ ниями (24.12), (24.10), (24.13), то система (23.1), (23.3)

асимптотически устойчива.

Точка касания х0 лежит вне множества S, поскольку поверхность (24.6) лежит вне этого множества. Следова­ тельно, построенная область (24.14) (см. рис. 24.1), а зна­ чит, и область притяжения G1 всегда содержит как точки, принадлежащие множеству S, так и точки, принадлежащие множествам S~ и S+. Иначе говоря, область притяжения G1 представляет собой объединение трех подобластей, при­ надлежащих множествам S ', S и 5+. Каждая из этих под­ областей является множеством полной меры.

§ 25. Области притяжения для трех видов ограничений

Решение системы (23.8) при начальных условиях х (0) имеет вид

Если управление определяется выражением (23.3), тогда при тех значениях t, при которых | и (t) | М, для функции и (t) имеет место выражение

При управлениях (23.4) или (23.5) для функции и (t) выражение (25.2) имеет место при тех значениях времени t, при которых

f

^ [се<А+Ьс)тж (О)]2 dx

J I ce(A+bc-)Tx (0) I dx ^ N

о

соответственно.

В случае управления (23.3) введем в рассмотрение мно­

t—» оо.

Вслучае управления (23.4) введем в рассмотрение мно­

жество U 2 векторов X G E Х п:

со

f/2 = lx: ^ А+Ьс>тгс]2 dx sgC Р І .

^ о *

В случае управления (23.5) введем в рассмотрение мно­ жество U4:

оо

и 4 = lx: I се<А+Ьс)тж I dx ^ АГ| .

Несобственные интегралы, фигурирующие в описании множеств U2 и U4, сходятся, поскольку в силу условия (23.6) при X —> оо функция I се(А+Ьс)т ж | —» 0 не медленнее экспоненты при любом векторе х.

Начало координат х = 0 принадлежит множествам Um (т = 1, 2, 4). Покажем, что точка ж = 0 является внутрен­ ней точкой этих множеств.

216 ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ [ГЛ. Ill

При т = 2 с помощью неравенства Коши — Буняковского [59а] получаем

ею

^ {сеІА+ьс>т [%х1 + (1 — Х)х2]}2 dx =

о

—к) X2 ЕЕ Um при т — 1,2, 4. Свойство 1° доказано.

Свойство 2° является очевидным.

Докажем свойство 3°. Пусть х’ — предельная точка

мости интеграла Д (х) от вектора х существует такая ок­

1] ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ 217

рестность точки х', в которой имеет место неравенство

/ 2 (х) > Р.

Следовательно, эта окрестность точки х' не принадлежит множеству U2, что противоречит условию о том, что х' — предельная точка.

Предположение о том, что x' U4, также приводит к противоречию. При этом ход рассуждений остается таким

(23.8). Следовательно, в силу условия (23.6) система (23.1),

ласти притяжения G1, потому что U1 cz S, а область G1, как показано в предыдущем параграфе, содержит не толь­ ко точки из множества S. Множество Е71, таким образом,

218 ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ <ГЛ. Ш

эквивалентное выражению (23.2). При этом в течение

определяется формулой (23.3), (23.4), (23.5) соответственно, асимптотически устойчива.

Выше было показано, что область U1 занимает лишь часть области притяжения G1 для системы (23.1) с управ­ лением (23.3).

Рассмотрим теперь вопрос о соотношении между облас­

Обозначим через Х г подпространство состояний, из ко­ торых система (25.6) асимптотически стремится в начало координат. Размерность этого подпространства равна чис­ лу собственных значений матрицы А с отрицательными действительными частями с учетом их кратностей. В соот­ ветствии с обозначениями § 3 размерность подпростран­ ства Х г равна

Гз

2 Рч-

Ч=г,-1-1

Если г2 = 0, т. е. все корни уравнения (3.1) имеют отрица­

стремится к нулю при t —> оо тогда и только тогда, когда X (tm) ЕЕ Х г. Отсюда следует, что если г2 =- 0, то система (23.1) устойчива «в целом» при управлениях (23.4) и (23.5),

т. е. Gm = Х п (т = 2, 4).

Если г2 0, т. е. уравнение (3.1) имеет хотя бы один корень с неотрицательной действительной частью, то не

Теорема 25.2. Для того чтобы система (23.1) при управ­ лениях (23.4) и (23.5) была устойчива «в целом», необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А имели отрицательные действительные части.

Выше было показано, что Um Ф Х п. При г2 = 0 имеем Gm = Х п (т — 2, 4). Следовательно, при г2 = 0 область Um охватывает лишь часть области Gm (т = 2, 4). Построе­

и решим систему (23.8) «назад» при изменении t от нуля до момента — tm (т = 2, 4), определяемого из соотношений

О

Если выполняется неравенство (25.7), то вследствие усло­ вия (23.6) уравнения (25.8) и (25.9) имеют решения tm [х (0)] (т = 2, 4). Тогда, очевидно, изначальных состоя­ ний

Ж= е“(А+Ьс>(т [*(О)]ж(0)

система (23.1) асимптотически приходит в начало коорди­ нат, т. е.

Из выражений (25.8) и (25.9) следует, что

совпадает с подпространством Х г либо с подпространством меньшей размерности.

Рассмотрим в качестве примера следующую систему:

при всех — оо < t < оо. На примере системы (25.11) это

утверждение легко проверяется. Таким образом, получаем, что

где вектор х (0) ЕЕ удовлетворяет неравенству (25.7). Размерность многообразия Lm (то = 2,4) равна размер­ ности подпространства состояний х (0) ЕЕ Х г, удовлетво­ ряющих неравенству (25.7). При r2 0 эта размерность меньше п. Следовательно, при г2 Д> 0 мера множества Lm

равна нулю. ..