книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

162 ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ [ГЛ, II

Отсюда видно, что равенство (16.79) имеет место также

фиксированного значения ф при достаточно больших значениях к будет иметь место неравенство |ф| •< arcsin %0. При этих значениях к множество Е (Т, %0) состоит из од­

Огибающей семейства (16.80) является окружность радиу­ са х3. Точки этой окружности не принадлежат области управляемости Q.

Таким образом, область управляемости Q представ­ ляет собой внутренность круга радиуса х3, т. е. описыва­ ется неравенством

Тот факт, что граница Г не может быть ни чем иным, кроме окружности, следует также из того, что фазовые траектории системы (16.73) при и (т) = 0 представляют собой окружности. Действительно, если систему (16.73) можно привести в начало координат из какой-либо точки г б і г ПРИ заданном ограничении х3, то такое приведе-

Следовательно, при начальных условиях, принадлежащих множеству D 0, имеет место неравенство (16.84).

Введем обозначение

которое означает, что к — целая часть выражения, стоя­ щего в квадратных скобках.

Если Т — время быстродействия, то, очевидно, су­ ществует примыкающий к точке х = Т интервал времени (Т — е, Т), на котором и (т, % о) ф 0. Для выполнения

этого условия необходимо наличие одного из двух соот­ ношений:

Ф — Т — —як -г arcsin %0,

либо (рис. 16.9)

—я (к -f 1 ) + arcsin Хо < Ф— Г<С —л/с — arcsin х0-

В последнем случае уравнение (16.78) приобретает вид

(см. рис. 16.9)

чение (1.4) отсутствует) оптимальное по времени управ­ ление принимает значения + 1 . Линия переключения S оптимального управления в такой задаче быстродействия для системы (16.73) построена в работе [47]. Уравнения (16.96) или (16.97), если рассматривать в них х3 как пара­ метр, представляют собой как раз уравнения этой линии

ляемости Q разделена кривыми (16.91)—(16.94) на обла­ сти, в которых оптимальное управление в начальный момент времени равно —1 , 0 (область заштрихована) и 1 .

Рассматривая соотношения (16.91)—(16.94), (16.97) в полупространстве х3 0 , можно полностью понять кар­

тину синтеза оптимального управления в пространстве Х 3. Эта картина изображена на рис. 16.8. На этом рисунке внутренность конуса (16.81) разделена цилиндрической поверхностью (16.97) и поверхностями (16.91)—(16.94) на области, в которых оптимальное управление прини­ мает значение — 1, 0 и 1. На рис. 16.10 показано сечение

приведения из точки (ху, х2) в начало координат системы

неравенства (13.5)), и только в ней оптимальное управле-

Если начальное состояние (xlt х2, х3),будучи в конусе (16.81), находится в области 0 (хг, х2) х3, то для него

оптимальное управление на конечном числе отрезков времени обращается в нуль. При этом в конце интервала приведения существует отрезок времени, на котором оп­ тимальное управление отлично от нуля. Оптимальная траектория на этом и только на этом отрезке времени

т. е. на множестве точек і ё і 3 нулевой меры. В случае, когда X = О, V < 0 , множество точек і Е І 3і в которых

оптимальное управление равно нулю, является множе­ ством полной меры.

2.ЗАДАЧА БЫСТРЕЙШЕГО ПОПАДАНИЯ НА ПЛОСКОСТЬ

Внастоящем разделе рассматривается система (1.1) при ограничениях (1.2) на управление. Задача быстрей­ шего попадания этой системы на заданную в фазовом про­ странстве гиперплоскость является одной из немногих задач оптимальности, в которых удается аналитически построить поверхности переключения оптимального упра­ вления.

Куказанной задаче сводится вопрос о быстрейшем

приведении (но не удержании) одной из фазовых коорди­ нат системы к заданному значению.

Задача быстрейшего попадания на плоскость может представить интерес для некоторых итерационных вычис­ лительных процессов, например, для процесса Итона [9, 11, 33, 61], поскольку ее можно использовать в каче­ стве промежуточной в этих процессах.

Здесь излагаются результаты, полученные в статье

[55ж].

§17. Постановка задачи

Будем рассматривать управляемую систему, которая

влетворяющие неравенству (1.2). Множество таких век­

вектор, то d — расстояние от начала координат до ги­ перплоскости П.

Поставим задачу быстрейшего приведения системы (1.1) на плоскость (17.1). Управление и (т), приводящее систему (1.1) из начального состояния ж (0) на плоскость (17.1) за минимально возможное время, будем называть опти­ мальным, а соответствующую траекторию — оптимальной траекторией.

Будем считать в дальнейшем, что начальные состоя­ ния принадлежат области

T[x<C.d. (17.2)

Для тех начальных состояний, которые не удовлетворяют условию (17.2), вместо вектора р можно выбрать вектор

— р и записать уравнение плоскости (17.1) в виде

—г\х = —d. Тогда условие типа (17.2) будет выполнено. Поэтому предположение (17.2) не ограничивает общности постановки задачи.

§ 18. Решение задачи

Приведем схему доказательства теоремы существова­ ния оптимального управления в поставленной задаче.

Рассмотрим при фиксированных начальных условиях X (0) область достижимости S (Т):

В выражении (18.1) вектор х (Т) определяется формулой Коши (1.5) для решения уравнения (1.1). Область дости­ жимости S (Т), так же как и область (У (Т), обладает свойствами (§ 2) выпуклости (1°) и замкнутости (4°). Свойствами «роста» (2°) и симметрии (3°) область S (Т) обладает при х (0) = 0 .

Для множества S (Т) справедливы утверждения, «по­ хожие» на утверждения, высказанные в леммах 1 и 2

§ 15.

Утверждение, высказанное в лемме 2 § 15, в настоя­

Доказательство этой леммы приводить не будем. С по­ мощью леммы 1 докажем теорему существования.