книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

систему (1 .1 ) можно с помощью управления и (т) €5 привести на плоскость 11 , то существует оптимальное по времени управление, переводящее систему (1 .1 ) из со­

стояния X (0) на плоскость П.

Если из состояния X (0) систему (1.1) можно привести на плоскость П, то, как следует из определения (18.1), существует такое значение Т, при котором хотя бы одна точка плоскости П принадлежит области S (Г), Обозна­ чим через Т° нижнюю грань таких значений Т. Из леммы 1 следует, что хотя бы одна точка плоскости П принадлежит области S (Т°). При Т < Т° ни одна точка плоскости П не принадлежит области S (Т). Из сказанного вытекает утверждение теоремы.

Из формулы Коши (1.5) получаем следующее выраже­

кость И; соответствующее оптимальное управление и траекторию обозначим через и°(т) и а;°(т). Рассмотрим следующую вспомогательную задачу: найти управление и (т) £Е й , которое максимизирует скалярное произведе­ ние г]х (t) при t = Т°, т. е. максимизирует величину

'F (/'")•

Имеет место следующая лемма.

Лемма 2. Управление и0 (т) максимизирует скалярное произведение г\х (Тп).

Докажем эту лемму от противного.

Предположим, что существует управление и (х) ge Q,

Управление и (т) является кусочно-непрерывной функ­ цией, поэтому, как видно из выражения (18.2), вели­ чина х\х (t) является непрерывной функцией времени t. Рассматриваемое начальное состояние х (0), по условию, удовлетворяет неравенству (17.2). Из неравенств (17.2)

172 ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. IX

и (18.3) следует существование момента времени t ' , удов­ летворяющего соотношениям

Соотношения (18.4) означают, что попадание на плос­ кость П из начального состояния х (0) возможно за время, меньшее, нежели Т°. Это противоречит условию. Лемма доказана.

Из выражения (18.2) имеем

Из соотношения (18.5) следует, что управление и0 (т) е= й, максимизирующее величину цх (Г0), имеет вид

и°я(т) = Ms sgn (цеА(Т°~т>bs) {s = 1, ... , г). (18.6)

Функция т]еА(Т0_т) bs является аналитической, по­ этому она либо тождественно равна нулю, либо обраща­ ется в нуль конечное число раз на всяком отрезке. Если

то управление (18.6) определяется однозначно. Для того чтобы имело место условие (18.7), достаточно, чтобы вы­ полнялось равенство ps = п (см. § 3). Если р = п, то можно утверждать, что существует хотя бы одно значение индекса s, при котором имеет место условие (18.7).

Если т]аА(Т0-'с) bs = 0 при всех s = 1, . . ., г, то

•цх (t ) — r\eAt X (0),

т. е. величина цх (t) не зависит от управления а (т). При этом задача быстрейшего попадания на плоскость (17.1) не имеет смысла.

В дальнейшем будем предполагать, что при всех s = l , . . . , г имеет место условие (18.7) (это предполо­ жение не ограничивает общности задачи).

где величина Ѳ = Т° — т представляет собой время, ос­ тавшееся до момента достижения точкой х (т) заданной плоскости П. Расположим положительные корни урав­ нения (18.8) в порядке возрастания и обозначим их так;

При этом будем считать, что в последовательности (18.9) учтены только те нули уравнения (18.8), в которых про­ исходит смена знака функции т\eMbs. Если, например, все собственные значения матрицы А действительны, то в последовательности (18.9) не более, чем п — 1 кор­ ней [53].

Выберем среди чисел Ѳц , Ѳ21, . . ., ѲГ1 наименьшее и

мальное управление и0 (т) не имеет ни одного переклю­ чения

где 0 <[ Ѳ<[ Ѳ1. Для тех значений индекса s, при которых

Для тех начальных состояний, для которых время бы­ стродействия Т° Ѳ1, оптимальное управление имеет по крайней мере одно переключение. При этом последнее переключение управления при движении по оптимальной траектории происходит за время Ѳ1 до попадания на за­ данную плоскость П. Если Ѳ1 = ѲЙ1І = ѲЙ2І = . . . = 0ft;1,

то последними переключаются управляющие параметры

ность, на которой происходит последнее переключение

будем считать изменяющимся «назад» от 0 до —Ѳ1. Тогда

оо

Следовательно, если существует матрица А~х, то выраже­ ние (18.13), учитывая соотношение (18.14), можно запи­ сать в виде

целв'х (- Ѳ 1) = d -f- г) (Еп — еАй') А~гВих. (18.15)

Выражение (18.13), а также (18.15), представляет со­ бой относительно переменных ху (—Ѳ1), . . ., хп (—Ѳ1) уравнение гиперплоскости, которую обозначим через Пх. Плоскость Пх является «изохронной» плоскостью: систе­ ма (1 .1 ) при и = и1 из каждой точки этой плоскости по­

падает на заданную плоскость П за время Ѳ1.

Таким образом, для всех начальных условий, для ко­ торых время быстродействия Т° Ѳ1, множество точек X (ЕЕ Х п, в которых следует производить последнее пере­ ключение оптимального управления, принадлежит «изо­ хронной» гиперплоскости Пг.

Этот результат является следствием общего утвержде­ ния, заключающегося в следующем. Все фазовые траекто­ рии системы (1 .1 ) при и = const, начинающиеся с какой-

либо гиперплоскости, оканчиваются в заданный момент времени также на некоторой гиперплоскости.

2] БЫСТРЕЙШЕЕ ПОПАДАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ 175

Для тех начальных состояний, для которых время быстро­ действия Т° ]> Ѳ2, оптимальное управление имеет, по крайней мере, два переключения. При этом предпослед­ нее переключение оптимального управления происходит за время Ѳ2 до попадания на заданную гиперплоскость П и за время Ѳ2 — Ѳ1 до попадания на гиперплоскость

и решим уравнение (1.1) при и = и1. Время t при этом будем считать изменяющимся «назад», от 0 до величины

Если существует матрица И-1, то выражение (18.17) можно представить в виде

цеАв'х (Ѳ1 — Ѳ2) = d Д- ц (Еп — елѳ1) А~гВих-f

+ т) (Еп — еА(ѳ2-ѳ’)) А~хВиг. (18.18)

уравнение гиперплоскости, которую обозначим через П2. Таким образом, для всех начальных состояний, для которых время быстродействия Т° )> Ѳ2, множество точек X t= Х п, в которых следует производить предпоследнее переключение оптимального управления, принадлежит

«изохронной» плоскости П2.

Из сказанного выше вытекает следующая теорема.

Теорема 18.2. Оптимальное управление в задаче быстрей­ шего приведения системы (1 .1 ) на гиперплоскость П явля­

ется релейным, точки переключения этого управления лежат на гиперплоскостях flj, П2, . . . фазового простран­ ства Х п.

Не все точки гиперплоскости Пх могут быть, вообще говоря, точками переключения оптимального управления. Переключение может происходить в тех и только тех точках X ЕЕ Пц которые удовлетворяют следующему ус­ ловию: траектории системы (1 .1 ) при и = и1, начинаю­

произойти переключение оптимального управления, че­

найдется такое t из полуинтервала (18.19), что неравенство (18.20) для него не выполняется, то множество D x пусто.

Неравенство (18.20) при t = Ѳ1 превращается в равен­ ство, поэтому производная (18.23) при t = Ѳ1 неотри­

цательна

Неравенство (18.24) означает, что траектории, удовлетво­

ности этой точки содержатся как точки переключения, так и точки, не являющиеся таковыми. Совокупность граничных точек множества D x обозначим через Г.

внутри множества D u имеет место строгое неравенство (17.2) и строгое неравенство

ряющих условию (18.26), попадают на плоскость П в об­

Выпишем уравнения для точек х ее Г, лежащих внутри области Di. Имеет место следующая теорема.

Теорема 18.3. Если точка х ее Г удовлетворяет усло­ виям (17.2), (18.26), то для нее существует t ЕЕ (0, Ѳ1),

Если точка х удовлетворяет условию (18.26), то все траектории, начинающиеся из некоторой окрестности этой точки, попадают на ту часть плоскости П, где имеет место неравенство (18.27). Каждой траектории,

начинающейся из окрестности бх, соответствует свое зна­ чение г| dz gl . Существует, очевидно, такое значение

а0 , что для всех траекторий, начинающихся из доста­

точно малой окрестности бх,

Из равенства х\х (Ѳ1) = d и неравенства (18.30) следует

(17.2). Следовательно, все траектории, выходящие из

в области (17.2). Этого, однако, не может быть, поскольку точка X является граничной для множества D 1. Значит, существует такое значение t ЕЕ (0, Ѳ1), при котором имеет место равенство (18.28). При этом значении t траектория X (t), очевидно, касается плоскости П, т. е. равна нулю производная (18.23). Это и означает, что имеет место ра­ венство (18.29). Теорема доказана.

Уравнения (18.31), (18.32) описывают границу множест­

ва D v

Уравнения (18.28), (18.29), (18.31), (18.32) описывают

Предположим, что D x Ф D\. Тогда на прямой Пх есть

точка Г, лежащая внутри множества D x и являющаяся граничной точкой множества D x. Эта точка удовлетворяет условиям (17.2), (18.26), поскольку она лежит внутри

множества D x. В соответствии с теоремой 18.3, траекто­ рия системы (1.1) при и = и1, начинающаяся из точки Г, должна, коснувшись прямой П в некоторый момент t, попасть на прямую П в области, где ц dx/dt )> 0. На рис. 18.1 показана точка касания С, в этой точке

т) -JP = 0. В точке А имеет место неравенство ц dx/dt Д> 0.

Это неравенство имеет место, очевидно, во всех точках интервала СА.