книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

при 2К Р > М \

при 2Ік2Р <^М 2.

Область управляемости Qm (т = 1, 2, 3) представляет собой открытое множество точек, заключенных между дву­ мя плоскостями. При т = 1 уравнения этих плоскостей выглядят так:

Уравнениям (12.36), (12.41) удовлетворяют всевозможные единичные векторы р, ортогональные вектору g =

= (ah ’ с42), а®). Как следует из выражения (12.34), макси­

Множество внутренних точек области управляемости Qm при всех т = 4 — 7 представляет собой внутренность цилиндра, ось которого направлена по вектору g.

случае при т = 1, 2, 3 система (7.1) превращается в одно уравнение

= 0. (12.42)

Величина ф 0, т. е. ранг системы (12.42), равен еди­ нице, поскольку р — п. Следовательно, уравнениям (12.36), (12.42) удовлетворяют всевозможные единичные векторы г]0, у которых

Л°і = 0.

Область управляемости Qm при т — 1, 2, 3 представ­ ляет собой множество внутренних точек цилиндра, осью которого является ось хѵ

При т = 4 -ь- 7 область Qm представляет собой в рас­ сматриваемом случае ограниченное в фазовом простран­ стве Х 3 множество.

Подводя итоги исследования примера (12.31), отметим, что во всех рассмотренных выше трех случаях располо­ жения на комплексной плоскости собственных значений А2 и А3 область управляемости Qm при т = А ~ 1 «мень­

связаны с наличием в системе (12.31) нулевого собствен­ ного значения.

В главе II (см. § 16), в связи с рассматриваемыми там задачами, будут приведены еще некоторые примеры по­ строения областей Qm при т = 5.

ГЛ Д В А II

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

1.ЗАДАЧА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ В СИСТЕМАХ

СОГРАНИЧЕННЫМИ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ УПРАВЛЯЮЩИМИ СИЛАМИ

Вряде реальных систем в качестве органов регулиро­ вания применяются реактивные двигатели. Управляющей силой в таких системах является тяга двигателя, пропор­ циональная секундному расходу топлива. Секундный расход топлива ограничен, поэтому ограничена величина управляющей силы (условие вида (1.2)). Запас топлива двигателя также является величиной конечной, поэтому ограниченным будет импульс управляющей силы (условие вида (1.4)). В настоящем разделе рассматривается задача построения оптимального по быстродействию управле­ ния в случае, когда управление удовлетворяет одновре­ менно двум указанным выше условиям.

При наличии интегральных ограничений на управление задача синтеза оптимального управления обладает опре­ деленной спецификой. В случае ограничения вида (1.4), например, при синтезе управления нужно в качестве до­ полнительной фазовой переменной вводить величину, ха­ рактеризующую «запас топлива на борту объекта» в теку­ щий момент времени.

Еще одна из математических особенностей задачи бы­ стродействия при условиях (1.2), (1.4) состоит в том, что область достижимости при этих условиях не является строго выпуклой.

§13. Постановка вопроса

Будем рассматривать управляемую систему, которая описывается матричным уравнением (1.1) (уравнением (2.2) при наличии одной управляющей силы).

В качестве допустимых управлений примем измери­ мые функции us (т) (s = 1, . . ., г), удовлетворяющие од­

1] ОГРАНИЧЕННЫЕ НО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ 115

новременно двум неравенствам (1.2), (1.4). В соответствии с терминологией главы I, допустимыми управлениями счи­

таются функции из множества Qm (Q^) при т = 5. Ин­ декс т в настоящем разделе будем опускать, если это не затрудняет понимания, всюду, где т = 5.

Будем рассматривать задачу быстрейшего приведения системы (1.1) (системы (2.2)) в начало координат с по­ мощью управления, удовлетворяющего условиям (1.2), (1.4), в частности, задачу синтеза оптимального управ­ ления.

Из работ, посвященных задаче оптимального быстро­ действия с несколькими ограничениями на управление, отметим статьи [17, 63, 65].

В работах [7, 9, 36а, 47] решена задача оптимального быстродействия в случае, когда на управление наложено только ограничение вида (1.2). Оптимальное управление при этом описывается выражением (4.1). В работе [9] при решении задачи существенно используется, что в этом слу­ чае область достижимости системы (2.2), если она является вполне управляемой (р8 = п), представляет собой строго выпуклое множество. При ограничениях (1.2), (1.4) об­ ласть достижимости системы (2.2), как будет показано ни­ же, не является, вообще говоря, строго выпуклой даже при р„ = п, т. е. граница этой области содержит плоские участки. Это обстоятельство, осложняющее решение за­ дачи быстродействия, не рассматривалось в известных ав­ тору работах. Здесь излагаются результаты, полученные в [55е].

При наличии только ограничения (1.2) оптимальное по времени (минимальное время в этом случае обозначим через Ѳ = Ѳ (х)) управление является релейным. Задача синтеза такого управления заключается в «разбиении»

известно оптимальное управление как функция фазовых координат и — и' (х).

При наличии ограничений (1.2), (1.4) постановка за­ дачи синтеза видоизменяется. В начальный момент вре­ мени оптимальное управление зависит не только от вектора X (0) начального состояния, но также и от вектора N (0) =

чение на импульс управляющей силы us (т) в текущий мо­ мент времени t.

Таким образом, задача синтеза оптимального управ­ ления при ограничениях (1.2), (1.4) состоит в построении

1І ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ Ц 7

В области пространства Х„+г, обусловленной неравен­

найденное при начальных условиях, удовлетворяющих неравенствам (13.5), и при ограничении (1.2), удовлетворя­ ет, очевидно, ограничению (1.4). Следовательно, в области (13.5) синтез осуществляется с помощью функции и —

= и' (X).

При решении задачи быстродействия будем использо­ вать области достижимости Qs (Т), Q (Т) и их свойства, рассмотренные в предыдущей главе. Кроме того, докажем некоторые новые свойства этих областей, необходимые для решения задачи. В следующем параграфе как раз иссле­ дуются новые свойства областей достижимости.

§ 14. Плоские участки и угловые точки границ областей достижимости

функционал (2.10), в выражение (2.1) получается вектор (Т) (см. рис. 2.1) координат точки, которая является общей для опорной гиперплоскости П8 (ц, Т) и множе­ ства Qs (Т) (точки касания). Если вектор ц такой, что Y\e~Azbs ф const, то, как показано в § 5, функция us (т, %0) (5.12) будет единственным управлением, которое макси­ мизирует функционал (2.10). Гиперплоскость П« (ц, Т), ортогональная такому вектору ц, имеет только одну общую

с областью Qs (Т) течку.

Нумерация собственных значений Xk введена в § 3 та­ ким образом, что Re Kk = 0 при к = гг -f- 1, . . ., г2. Ус­ ловимся, кроме того, о том, что при к = гг 4-1 собственное значение = 0. Тогда из соотношения (3.3) следует, что

которые удовлетворяют системе линейных алгебраических

В обоих этих случаях управление, максимизирующее функционал (2.10), не является единственным. В случае (14.2) множество Qs (Т) целиком принадлежит гиперпло­

если матрица Ап не имеет нулевого собственного значения, то множество Qs (Т) является строго выпуклым в подпро­ странстве Х р (подпространство совпадает с фазовым

пространством системы (3.11)).

Рассмотрим теперь при условии ps = п случай (14.3). При условии рз = п все п — 1 уравнений, входящих в си­ стему (14.1), будут линейно независимыми. При этом урав­ нения (7.2), (14.1) имеют только два отличающиеся друг от друга знаком решения: т)° и — ц°.

П ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ Цд

Обозначим через соя (Г) множество измеримых функций us (т), удовлетворяющих одновременно неравенству (1.2) и условиям

Через Ps (Т) обозначим совокупность точек, симметрич­ ных точкам множества P s (Т). Гиперплоскость Пя (т)°, Т) остается без изменения при всех Т xnJrSIMs, т. е. Пя (т]°, Т) = Пя (ц°). Уравнение плоскости П8 (ц0) имеет вид

Множество Ps (Т) представляет собой сечение области Qs (Т) плоскостью (14.6), поэтому оно, так же как и Qs (Т), обладает свойствами Iе, 2°, 4е.

Докажем следующую лемму.