Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 374 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2І Расстояния До опорных плоскостей 31

Для	расстояния		d (г\|,		Т) получается			выражение
					т
		d (г\|, Т) =		М, ^ I г\е-АѢ 31dx.				(4.2)
					о
Рассмотрим теперь				случай,		когда		тп — 3 (случай
тп ~ 2 получится из			него); при			этом	будем считать, что
bs		0.
Если	Т	PJMt,	то		управление		(4.1)	принадлежит
классу		(Т) и является максимизирующим.
Будем дальше исследовать случай, когда
			Т >		P J M I			(4.3)

Именно этот случай представляется интересным, поскольку в дальнейшем предполагается устремить Т к бесконечности.

Для решения задачи максимизации интеграла (2.10) рассмотрим вспомогательный функционал

18 (Us, О) = ^ [г\е~АѢ &иа(т) — и\ (т)] dx,

(4.4)

Рде er > 0 — множитель Лагранжа. Среди измеримых функций и$ (т), удовлетворяющих только условию (1.2), найдем функцию, которая максимизирует функционал (4.4). Для того чтобы это сделать, рассмотрим подынте гральное выражение в (4.4) как функцию величины иа и найдем при каждом значении х величину и8, максими

зирующую это выражение. Функция^т)е_АгЬ8ив-----§~U^J Д°"

стигает своего максимума либо на одном из концов отрезка


I м8\| ^	M s, т. е.	при	us = M s sgn {x\e~A'ba), либо внутри
отрезка, т. е.		при	us = — х\егА^Ъа.
Таким образом, искомая максимизирующая функция
(она	является	единственной), очевидно, имеет вид
		Маsgn (т\е~АхЬа)		при	х с = Е 3(Т, с),
	u t ( r , 6)	-і- ц е -А%		при	(4.5)
		-і- ц е -А%		при	X <=G, (Т , а).

ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ

[ГЛ. I

Здесь (на рис. 4.1 множество Es (Т, а) показано жирными линиями)

Es (Т,	о)	=	{т S	to,	TV.	I Ле-*Ъ %\| >		аМ,},	(4.6)
Gs (Т,	о)	=	{т е	tO,	Л :	I тів-**	Ь. I <	o M s}	(4.7)
	(Я, (Л о) U Gs (Т, а) =						[О, Л ).
Введем, кроме того, такое обозначение
Fs (Л	о)	=	{т G	[О,	Л :	I x)e~A'z bs \|		= oMs}.

При a = 0 максимизирующим является верхнее выражение в формуле (4.5).

Подставим уравнение (4.5)			в	левую		часть соотноше
ния (1.7):
т		4-		J
\ и\ (т, с) dx = Ml[iEs(Т, а) +		4-		J	{це-АѢ 3)2 dx = Ф (Т, а).
						(4.8)
Здесь	(Т, а) — мера в смысле Лебега множества (4.6).
Покажем	теперь, что уравнение
	ф (Л	а)	=	Р 3		(4.9)
имеет единственное решение а0			=	о0	(Т)	0. Далее будет

показано, что управление us (т, о0) максимизирует функ ционал (2.10) в классе функций (Т).

2]		РАССТОЯНИЯ		ДО	ОПОРНЫХ		ПЛОСКОСТЕЙ			33
Функция г)e~Mbs является аналитической. Поэтому
могут представиться два случая.
1. При всех значениях а						0	равенство		\| r\e~A'cbs \| =
= oMs имеет место лишь в						конечном числе точек т ЕЕ
ЕЕ [О,	Т\	и, следовательно,				pFs (Т,		а) = 0.	Множество
E s (Т, а)		состоит при этом из конечного числа интервалов.
Координаты концов этих						интервалов — непрерывные
функции		величины		а.
2. При некотором значении а Е> 0 имеет место тож
дество I		т\e~Mbs I =		oM s и,		следовательно,			Fs (Т, а) =
= Gs (Т,		о) = [0, Т], \iFs (Т, а)					=	\iGs (Т,	о) =	Т при
этом	значении		а.
Рассмотрим			сначала		первый		случай. Пусть
			б' =	1	min I пе-^б.
				М
				S	*е[о,Т ]					(4.10)

оmax I r\e~Axbs

					te [o ,Т]
При	0 <! о ^		о'	имеем		[xGs (Т,			о) = pFs (Т, а) = 0,
pÈs (Г, а)		= Г, управление ws (т, а) всюду на отрез
ке	[0, Т]	определяется				верхним			выражением в (4.5),
Ф (Т, о) =		М\	цЕ3 (Т, о)			=	Ml Т.		Из (4.3) следует, что
уравнение		(4.9)	на отрезке				[0,	о']	решений не имеет.
Пусть		о'	а		а +	Да		а".	Тогда из соотноше
ний	(4.6),	(4.7)		имеем
		Es (Т, а + Да) с Es (Т, а),
		Gs (Т,			а +	Да) ID Gs(7\ а),
где			ДЯ8 (Г, а)			=	AGS (Г, а),
где	АEs (Т, а) = Es (Т, а ) \ Es (Т, а + Да),
	АEs (Т, а) = Es (Т, а ) \ Es (Т, а + Да),
	ДGs (Г, а) = Gs (Г, а + Да) \ Gs (Т, а).
Из	(4.5),	(4.8)	получаем
Ф (Т, б + Дб) - Ф (Г, б) =
=	J	и\ (т, б + Дб) d r -j-						J	Ws (т, б -j- Дб) d r —
Bs(T,a+Aa)							Gä(T,o+Aa)
					— J ul (т, б) d r — j ul (т, б) d r —
					Е,(Т,<з)				Ga(T,o)
2 А. М. Формальский						а

.©ч I

ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ

ІГЛ. I

+ AG4(T,0)i			AE4(T,a)UGsT (о)
				— u\ (t , a)] dx.
Функция [Mg (т, 0 +		Act) — ul (r, a)] <[ 0 почти всюду
на множествах AEs (Т,			о) и Gs (Т, о).	Из того,	что
pAEs(T, о )	0, следует,		что Ф (Г, а +	До) <[ Ф (Т,	а),
т. е. функция Ф (Г, а)		строго монотонно убывает с изме
нением величины о от значения о' до значения о".
При о	а" из (4.8)	имеем

и Ф (Т, о) -> 0 строго монотонно при а -А- оо.

Пользуясь свойством полной аддитивности меры [59а, 60], легко показать, что pEs (Г, о) и pGs (Т, о) — непре рывные функции величины о.

Таким образом, функция Ф (Г, а) при изменении величины 0 от значения о' до со убывает непрерывно и

строго монотонно от значения М\Т до 0. Используя усло вие (4.3), можно сделать заключение о существовании

единственного решения	0О о'	> 0	уравнения	(4.9).
Пусть теперь имеет место второй случай \| т)e~A^bs \| =
= 5 M s = const Ф 0. Как	видно	из	выражений	(4.6),

(4.7), при этом для любого значения о либо Es (Т, о) = = [0, Т] либо Gs (Т, о) = [0, Т]. Вследствие этого функ ция ц8 (т, о) на всем отрезке [0, Т] определяется верхним либо нижним выражением в соотношении (4.5). Верхнее выражение в силу неравенства (4.3) не удовлетворяет уравнению (4.9). Поэтому уравнение (4.9) имеет един

ственное	решение		<з0 = 5M s1 /		0.
			'	S	(4.9) всегда	имеет
Итак, доказано, что уравнение
единственное		решение а0		0.
Покажем, что функция us (т, 0О) является искомым
управлением,		максимизирующим			функционал	(2.10)
в классе	(Т) [17,		18]. При любых управлениях и3 (т) ЕЕ

РАССТОЯНИЯ ДО ОПОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

е= (Т) имеет место следующая цепочка неравенств:

/ , (И, (*, ао)) - Is (И, СО)

—Г|e~A*bsus (т, з0) dx — ^ т\e~Azb,us(х) dx >

о	о
т	г
• UЛe-ATbsus ( X , о0) dx —	[Р, — J и?( X ) dxJ -
о	о
т

—^ т\e~A^bsus (т) dx =

= ^ [iie-ATbsu5 (т, а0) — -у -и\ (т, б0)] dx —

§ \^\e-Mbsus (т) - ~ и$ (т) dx

h [ws (*, б0), <30] — I s [us (T), o0] > 0.

Последнее неравенство становится строгим, если функ ции us (т) и иа (т, а0) отличаются на множестве положитель ной меры, поскольку функция us (т, о0), и только она, максимизирует функционал I s (us, о0).

Таким образом, доказано, что единственным управ лением, максимизирующим функционал (2.10) в клас

се	(Т),	является	функция	(4.5)	при	о = о0, т. е.
us (т, (То).			d (ц, Т)	получается		выражение
	Для расстояния		d (ц, Т)	получается		выражение
d (ц, Т) =		М в j	I т]e~Axbs I dx +		j	(т}(гАт65)2 dt.
					Gs(T,Oo)
						(4.11)

Проанализируем теперь соотношения (4.5) — (4.9) при M s — оо. Решение уравнения (4.9) <т0 зависит от М 3, т. е. Оо = ст0 (M s). При M s —V оо первое слагаемое в со отношении (4.8) МІцЕв (Т, ст0 (М а)) должно быть огра ниченным. Для этого необходимо, чтобы pi£s (Г, о0 (М s)) —>

—*■0 при М в — оо; при этом pGs (Т, а0 (M s)) -*• Т. Тогда для того чтобы второе слагаемое в соотношении (4.8)

36	ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ				ГЛ. I
было ограниченным, необходимо чтобы функция					а0 (M s)
была «отделена»		от нуля некоторым числом б =			const )>
0, т.	е. чтобы при Mg		оо имело	место неравенство
(Mg)	б. Как следует из соотношений (4.6), (4.7),
при достаточно		больших	значениях	M s имеем
Eg (Г, Оо (Ma))CZEg (Т, б) = ф, Gg (Т, но (М,)) =					[0, Т].
При	этих значениях M s уравнение			(4.9) приобретает
вид		т

(хіе-АѢ $У d t = Pg.

Управление (4.5) при а = о0 приобретает вид

Щ(т, б0) =

(4.12)

Для расстояния d (ц, Т) получаем выражение

d ( x \ , T ) = y	P g ^ e r ^ b g f d x .	(4.13)
	О
При управлении (4.12) достигается, очевидно, макси
мум функционала (2.10)	в классе функций	(Т) [36а].

Выражение (4.13)г описывает искомое расстояние до опор

ной плоскости n s (Г|, Т).

Выражения, полученные для максимизирующих функ ций и расстояний до опорных гиперплоскостей, позволяют

свойства 1°, 2°, 4° областей Q? (Т) при m = 1, 2, 3 сфор мулировать в более сильной форме.

Для рассмотренных случаев m = 1, 2, 3 максимизи рующее управление является единственным, если г\e~Axbs^~ ^feO. Вследствие этого опорная гиперплоскость П™ (ц,

Т) содержит только одну точку множества Q™ (Т). Следо вательно, если r\e~Axbg ф 0 для всякого вектора ц Ф- 0, т. е. rang Ws = ps = п (см. § 3), то область достижимости

QT (Т) является строго выпуклой. Если существуют век

РАССТОЯНИЯ ДО ОПОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

торы х\Ф 0, для которых г]e~Axbs = 0, т. е. rang Ws = рs <^п,

то множество Q™ (Т) принадлежит подпространству Хр

К8

пространства Х п размерности ps. В этом подпространстве

область Q™ (Т) строго выпукла. Итак, имеет место следу ющее свойство.

в	1°. Множество QT (Т) при m = 1,			2, 3 строго выпукло
	подпространстве	X Pg, которому		оно принадлежит.
то	Из выражений (4.2),		(4.13) видно, что если і\е~Л'сЬ3фО,
	расстояние d (ц,	Т)	при m — 1,	2 является строго

монотонно возрастающей функцией величины Т. Покажем,

что при m =		3 имеет место тот же самый факт.
Решение		уравнения (4.9)	а0 зависит от Т, т. е. сг0 —
= п0 (Т).	Максимизирующей при Т = Тг является функ
ция us [т,	По (Т’і)]. Пусть Тг		Тг. Функция
		us [т,б0(7’і)]	при	0 < г < Г 1,
us(т) = (0			при	7 \ < т 1\
		0

доставляет функционалу (2.10) (при Т = Т2) то же зна чение, что и функция us [т, о'о (7\)] при Т = Тг. Един ственной максимизирующей при Т = Т2 является функ ция us [т, а0 (Т2)Ь которая не равна тождественно нулю ни на одном отрезке оси т. Отсюда следует, что

> d (ті,Гі) при Т2 > Тх.

Таким образом, пользуясь неравенствами (2.7), можно сформулировать при m = 1, 2, 3 следующее утверждение.

2°. Если Гг < Т2, то Q T iT jd Q ? (Tt), где QT (Г2) -

множество внутренних точек области Q™(Т2).

Максимизирующие управления (4.1), (4.5), (4.12) — кусочно-непрерывные функции времени. Поэтому, как вытекает из свойства 1° строгой выпуклости, все гранич

ные точки области Q™ (Т) (m ~ 1, 2, 3) принадлежат об ласти Q™ (Т) и тогда, когда в качестве допустимых управ лений принимаются кусочно-непрерывные функции вре мени.

Свойство 4° можно сформулировать так.

4°. Множество Qrsn (Т) замкнуто, если допустимыми управлениями при т = 1, 2, 3 являются кусочно-непре рывные функции времени,

33		ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ		[ГЛ. J
§ 5.	Р асстоян и я	до опорны х гиперплоскостей
при	т = 4,5
Рассмотрим		случай	т — 4.
Функция I i\e~Mba I			непрерывна на отрезке	[О, Т),

следовательно, она достигает на нем своего максимума.

Пусть этот максимум достигается при х =	Тх:
max I г\e~MbsI = I r\e~AXibs I.	(5.1)
т е [о ,т ]

Если pe~ATfts ф const, то в силу аналитичности функции pe_AT6s максимум может достигаться в конечном числе точек. При этом для любой измеримой функции us (х), удовлетворяющей неравенству (1.8), т. е. для функции

us (т) £= Qf (Т),	имеет место неравенство
т		т
h («,) = ^ тіе-АтЬ,и, (т) d x <		^ I tie-Atbs 11 щ (т) \| dt <
О		О
	т
< max	I г\е-АѢ, \|\	\| u5 (т) \| d x = \ гр~А^Ъа\| N s. (5.2)
te[o ,T ]	а

Если г\е~А^Ьа = const, то вместо строгого неравенства (5.2) имеет место нестрогое неравенство

	т
I . К ) < I	\| jj \| us(т) [ d x = [ Х\е-Аѣ , \ N а. (5.3)
	О

Рассмотрим бесконечную последовательность ступен чатых функций

№)	ч	ПРИ		+
uf>	(т) =
	1°	при	т £ [тх — —	, хі +	-J-] ,
		(й = 1, 2,...),			(5.4)
где	Д — const >	0 — такая величина, что [тх		— Д,	тх +

+ Д] £Е [О, Т] (рис. 5.1). Функции (5.4) являются допу стимыми при всех значениях индекса к, т. е. и®'1 (т) ^

2] РАССТОЯЙЙЯ ДО ОПОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ 59

<= О* (Г).		Пользуясь		теоремой о среднем, получаем
		' * + 4		Nk
I S(U(P ) =		J	\це-^Ъ8\^ с 1 т = \че-А^ Щ а\Ыг,			(5.5)
		д
		Tl F
где	\| £ \|	А/к.	Отсюда имеем
			lim Is (и(Р) =		I r\erAx'bs I Ns.	(5.6)
			k-*oo
что	Из неравенств (5.2), (5.3) и соотношения (5.6) следует,
что			sup	/ 8 (и,) = NaI г\erAx'bs \|.		(5.7)
			sup	/ 8 (и,) = NaI г\erAx'bs \|.		(5.7)
		«s(t)en\(Т)
Из	выражений		(2.9),	(5.1),	(5.7) вытекает формула для

расстояний d (р, Т) до опорных гиперплоскостей области

Qi ( Л :

d (rj, Т) = N s max \| r\e~Axbs \|.		' (5.8)
	ie[o,T]
Последовательность	допустимых управлений	(5.4)
определяет дельта-функцию
us(т) =	N ssgn (це~АхЬв) б (Ті).	(5.9)

ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ

tn i, I

Дельта-функция (5.9) (обобщенная функция) не является функцией в обычном смысле этого слова и, значит, не будет допустимым управлением. Поэтому для тех векто ров ц, для которых r\e~A'Tbg ф const, максимум интеграла Js (us) на допустимом управлении не достигается. Если це~Аг bs = const, то максимум интеграла I a (us) достига ется не только на управлении (5.9), но также и на допу стимых управлениях. При этом допустимых управлений

иа (т) ее {Т), максимизирующих этот интеграл, беско нечное множество.

Из сказанного вытекает, что граничные точки мно

жества Qi (Т),	лежащие на опорных плоскостях П8 (ц, Т),
для которых	t]e~Arbs ф const,	области	(Т1) ие при
надлежат. Отсюда следует, что		область	достижимости

Ql (Т) не является замкнутой. На опорных плоскостях Пд (г|, Т), для которых r\e~Mbs = const, есть точки, при

надлежащие области Qi (Т).

Если отнести дельта-функции к допустимым управле

ниям класса Qi (Т), то множество Qi{T), как можно доказать, будет замкнутым. Для строго выпуклого мно

жества Qi (Т) такое доказательство не представляет труда.

Построим в качестве примера область достижимости при m = 4 для системы второго порядка [41]:

3/2,

Для этой системы

I ,

- U .

-At __	•! н : і - - « мu (t )<2t .

Индекс s опускаем, поскольку в системе только один управляющий параметр. Выражение г\е~А'сЬ имеет вид

у\е~А'сЬ = — Xcos ф + sin ф,

где cos ф =	Гц,	sm ф = ц2. :	d (ц, Т) = N,
При ф	—л/2 имеем г\е~А^Ь = —1,
уравнение опорной прямой имеет вид хг — —N. В интер
вале —я/2	ф	arctg Ѵ2Г максимум функции \| т}е~АхЬ \|
достигается	в единственной точке т = Т.		Формула (5.9)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 374 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ