книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

жество начальных состояний, для которых гарантируется асимптотическая устойчивость.

Важным при изучении проблемы устойчивости является вопрос о том, имеет ли система, кроме желаемого стацио­ нарного состояния, еще и другие, «лишние» состояния равновесия. Если система имеет «лишние» состояния рав­ новесия, то она не является устойчивой «в целом», т. е. область притяжения желаемого стационарного состояния занимает часть фазового пространства. В третьем разделе рассматривается вопрос о количестве стационарных состоя­ ний систем с нелинейной обратной связью, в том числе с обратной связью, описываемой разрывной функцией. Ис­ следуется вопрос об устойчивости «лишних» состояний рав­ новесия. Задача о количестве стационарных состояний и об их устойчивости представляет интерес также для выяс­ нения общих свойств фазового портрета регулируемой системы.

.Последняя, четвертая глава посвящена вопросам ус­ тойчивости механических систем с сухим трением и релей­ ных систем.

Системы с сухим трением имеют множество состояний равновесия, называемое «зоной застоя». Для исследо­ вания устойчивости этого множества удается применить результаты первой главы, связанные со структурой обла­ сти управляемости. Такое применение оказывается воз­ можным благодаря тому, что силы сухого трения, которые ограничены, можно рассматривать как ограниченные по величине управляющие воздействия.

Содержание первого раздела четвертой главы состав­ ляют некоторые общие теоремы о неустойчивости систем с сухим трением, а также о возможности оценки «сверху» области притяжения с помощью области управляемости. Полученные результаты распространяются на релейные системы, состояние равновесия которых не является изо­ лированным.

Большую часть четвертой главы занимает второй раз­ дел, в котором исследуется силовой одноосный гироскопи­ ческий стабилизатор с сухим трением. Здесь изучается вопрос об устойчивости в малом множества состояний равновесия корректируемого и некорректируемого гиро­ стабилизатора, производится оценка области притяжения этого множества.

12 ПРЕДИСЛОВИЕ!

В третьем разделе изучается асимптотическая устой­ чивость релейной системы стабилизации движения лета­ тельного аппарата. В этом же разделе доказана теорема о неуправляемости. Теорема утверждает, что при опре­ деленном расположении рулевых органов система урав­ нений, описывающих плоское движение аппарата, не является вполне управляемой. При этом желаемое пря­ молинейное движение не может быть асимптотически устойчивым ни при каком управлении.

Каждая глава содержит примеры. Некоторые из них носят иллюстративный характер, другие представляют, по-видимому, самостоятельный интерес. Ко вторым отно­ сятся, в частности, задачи об устойчивости, рассматрива­ емые в последней главе.

В книге принята сквозная нумерация параграфов. Теоремы, формулы-и рисунки нумеруются двумя числами. Первое число означает номер параграфа, второе число — порядковый номер внутри параграфа.

В книгу вошел материал опубликованных автором статей, на которые делаются ссылки в процессе изложе­ ния, а также материал лекций, прочитанных автором на Отделении механики механико-математического факуль­ тета МГУ и в Московском физико-техническом институте.

Автор выражает глубокую благодарность Г. И. Хо­ ботовой и А. В. Якименко, оказавшим большую помощь при оформлении рукописи.

ГЛАВА

ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ

1.ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ

Внастоящем разделе описан ряд возможных огра­ ничений на ресурсы органов управления, поставлена задача об областях управляемости. Для решения этой задачи в рассмотрение вводятся области достижимости. Исследование свойств этих областей представляет само­ стоятельный интерес, кроме того, оно является важным для теории оптимального управления.

§1. Постановка задачи

Рассмотрим управляемую систему, которая описы­ вается линейным матричным дифференциальным уравне­ нием с действительными постоянными коэффициентами

описываются некоторые механические управляемые си­ стемы. Уравнения (1.1) являются также уравнениями первого приближения для ряда нелинейных систем управ­ ления. В реальных системах регулирования ресурсы управ­ ления всегда так или иначе ограничены. Будем рас­ сматривать три вида ограничений, накладываемых

14 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I

гралы, фигурирующие в соотношениях (1.3), (1.4), су­ ществуют.

Условие (1.2) с физической точки зрения означает ограниченность величины управляющей силы, М а — максимально возможное значение этой силы. Если управ­ ляющее воздействие и3 представляет собой электрический ток, то величина P s представляет собой запас энергии управляющего воздействия. Поэтому условие (1.3), на­ пример, для электромеханических систем характеризует ограниченность энергии управляющего воздействия. Не­ равенство (1.4) соответствует условию ограниченности импульса управляющей силы. Если управление объектом осуществляется с помощью реактивного двигателя и ве­ личина us пропорциональна секундному расходу топлива, то неравенство (1.4) означает ограниченность запаса топлива этого двигателя. Величина N s в этом случае про­ порциональна запасу топлива реактивного двигателя.

условиям (1.2) и (1.4) одновременно,— через Q®, условиям (1.3) и (1.4) одновременно,— через Q®, и, наконец, через обозначим множество измеримых функций и, (х), удо­ влетворяющих трем условиям (1.2) — (1.4) одновременно.

Таким образом,

=ßs = ßj fl ßs,

ßs = QfПßs, ßI=Qlnö!nfi2-

Пусть, далее,

е Q? (s = 1, . . ., г).

Итак, в качестве допустимых управлений будем рас­ сматривать вектор-функции и (т), удовлетворяющие усло­ виям (1.2) — (1.4) порознь, а также всевозможным соче­ таниям этих условий, т. е. будем рассматривать семъ классов допустимых управлений ß m.

Общее решение системы (1.1), описываемое формулой

ной системы [21, 38а, 506, 52], вектор х (0) характеризует начальное состояние.

Поставим следующую задачу. Определить в фазовом пространстве Х п множество Qrn (те = 1, . . ., 7) началь­ ных состояний X (0), для каждого из которых существует

допустимое управление, которое приводит систему (1.1) в начало координат за конечное время. Это время заранее не фиксируется. Искомое множество Qm называется об­ ластью управляемости.

Приведем теперь другую формулировку задачи об определении области управляемости.

Предположим, что при некотором допустимом управ­

Если допустимое управление удовлетворяет неравен­ ствам (1.3), т. е. принадлежит одному из классов Qm (m — 2, 3, 6, 7), то функция us (t) (s = 1, . . ., г) удовлет­ воряет, очевидно, условию

т

о

Если допустимое управление удовлетворяет неравен­ ствам (1.4), т. е. принадлежит одному из классов Qm

(т = 4, 5, 6, 7), то функция us (т) (s = 1, . . ., г) удов­ летворяет, очевидно, условию

т

о

Множество измеримых функций us (т), удовлетворя­ ющих на отрезке [О, Г] условию (1.2), обозначим через

Поставленную задачу можно переформулировать сле­ дующим образом. Определить в фазовом пространстве Х п множество Qm векторов х (0), для каждого из которых су­ ществует такое Т, что с помощью функции ц(т) е Qm (Т) (тп = 1, . . ., 7) можно обеспечить равенство (1.6).

Задача определения области управляемости для пер­ вого класса допустимых управлений Q1 рассматривалась многими авторами [9, 26, 28, 30, 47, 57] и получила исчер­ пывающее решение. В работах [46, 55а — е] указанная задача решается для всех классов допустимых управлений

1] ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ 17

с помощью единого подхода. Результаты этих работ изла­ гаются в настоящей главе.

Необходимо отметить, что все важные с прикладной точки зрения выводы об области управляемости, получа­ емые ниже, имеют место также и для случая, когда в ка­ честве допустимых принимаются не измеримые, а кусочно­ непрерывные функции времени и (т). Этот вопрос обсуж­ дается, например, в четвертом параграфе.

§ 2. Области достижимости и их свойства

Введем обозначения:

т

vs (Т) = ^ e~Axbsus (т) dx,

V(Т) = 2 vs (?) — \ е~АхВи (т) dx

и рассмотрим в фазовом пространстве Х п области дости­ жимости

QT(T) = {vt (T): us (x)^QT(T)},

Г

QmСО = 2 Q™СО = {VСО: и (Т)е= пт(Г)}.

S—1

Из определения множества QT (В) вытекает, что си­ стему

можно привести в начало координат за время Т с помощью управления us (т) £Е тогда и только тогда, когда ее

начальное состояние х (0) £Е <?Г (Т). Систему (1.1) можно привести в начало координат за время Т с помощью управления и (т) е= тогда и только тогда, когда ее начальное состояние х (0) 6Е Qm (Т).

Области достижимости и их свойства исследуются во

18 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I

поскольку они используются при определении областей управляемости.

4°. Множество QT (Т) замкнуто, т. в. QT (Т) содержит

все свои предельные точки (будем считать, что фазовое пространство Х п метризовано с помощью евклидовой мет­ рики).

Если множества QT (Т) (s = 1, . . ., г) обладают ука­

занными свойствами, то область Qm (Т) также обладает этими свойствами, поскольку эта область получается ал­

Если функции (т), и(2) (т) удовлетворяют условию (1.7), то с помощью неравенства Коши — Буняковского

[59а] получаем, что функция us (г) также удовлетворяет

1] ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ 19

условию (1.7):

(1.8), то функция ul (т) также удовлетворяет этому нера­

управление us (т) в соотношение (2.1), то получается

Е= ЙГ (ГД при любом значении индекса тп. Если подста­ вить управление щ (т) в соотношение (2.1), то получается

us (т) £= QT (Т) заменить на функцию — us (т) ЕЕ йГ (Т), то вместо вектора vs (Т) получится вектор — ѵа (Т).

Отметим, что приведенные доказательства свойств 1° — 3° остаются справедливыми также и в том случае, когда в качестве допустимых управлений принимаются кусочно­ непрерывные функции времени us (т).

Докажем теперь свойство 4°.

Пусть vs — произвольная предельная точка множества Q f (Т)ъѵі -> v s при i -> оо. Пусть векторы ѵі получаются при управлениях іД1) (т) ЕЕ йГ (Т). При m Ф 4 множество

довательности функций і4г) (т) можно выделить такую под­ последовательность (не ограничивая общности, можно

считать ее совпадающей с последовательностью іІа\х)), что для любой функции <р (т) ЕЕ Ь2 (0, Т) имеет место соотношение

lim \ <р (т) Ilf's ^(т) dx — \ ср (т) us (т) dx,

где функция us (х) принадлежит тому же шару простран­

ства Ь2 (О, Т), которому принадлежат все функции и? (т). Отсюда получаем

( 2. 6)

Покажем, что если все функции іДѴ (т) удовлетворяют

неравенству (1.2), то и функция us (х) удовлетворяет этому неравенству.