книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами
.pdf3] |
СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ |
101 |
|
Из выражений (12.2), (12.3) получаем |
|
||
г\г~АхВ — e~tx ^ті2 cos У i — еат — у |
1sin У i |
— е2т^ • |
|
|
|
|
(12.4) |
Здесь |
и тіа — компоненты вектора г|. |
|
|
Функция (12.4) асимптотически стремится к нулю при т —>- оо для любого вектора г|. Следовательно, уравнений
типа (7.1) при т = 1, |
2, 3 или типа (8.1) при т = А — 7 |
в настоящем примере не существует. Иными словами, рас |
|
стояние d (т], Т) при |
Т ->• оо остается ограниченным для |
любого вектора г|.
Построим область управляемости Qm для значений тп = = 1, 2, 4. При m = 1 для расстояния d (ц) из выражений (7.3), (12.4) получаем формулу (верхний индекс у вектора Л° опускаем, поскольку для всех единичных векторов т) расстояние d (ц) конечно)
<*(л) = ^ $ g-ET т|2 cos У 1 — е2т — ^ + ет12 sjn у |
I |
е2т Jdx. |
||
О |
/ 1 |
— е 2 |
|
|
|
|
|
(12.5) |
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
% = cos ф, т)2 = |
sm ф. |
|
(12.6) |
Вычислим интеграл (12.5) только при 0 ^ |
ф < |
я, пос |
||
кольку он является четной функцией величины ф (область управляемости симметрична относительно начала ко ординат).
Подынтегральное' |
выражение |
обращается в нуль |
|
в точках |
|
|
|
arctg Y i |
— |
в3 s in ф . |
(1 = о ,± 1 ,...) . |
COS Ф + |
8 s in ф — |
|
|
|
|
|
(12.7) |
Для вычисления интеграла (12.5) нужны только положи тельные значения (12.7)
Хі( — То Д |
к |
{к = 0 , 1 , . . . ) , |
(1 2 .8 ) |
102 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I
где
V 1 —( |
■arctg V i — e 2 s in cp |
|
|
|
|
|
|||
coscp |
- { - e |
sin cp |
|
|
|
|
|
||
|
|
при ■ |
'sin ф |
|
> 0 , |
|
|||
|
|
v |
COS Ф - f |
8 S in Ф |
|
|
|||
|
arctg |
V i — 82 S in ф |
4- я] |
(12.9) |
|||||
V i |
|
|
^ |
|
|||||
|
COS Ф + |
8 s inІП ф |
|
J |
' |
' |
|||
|
|
|
|
s in |
|
ф |
|
.. A |
|
|
|
при ------- :——--- <T0, |
|
||||||
|
|
r |
COS ф + |
8 Sjn ф |
|
^ ’ |
|
||
при cos ф + e sin ф = 0.
V'i —82 2
Интеграл (12.5) можно представить в виде ряда
d(r\) |
= I (0, т0) — I |
(т0, тх) + . |
• • + |
Xk+1) + . . |
|
|
|
+ ( - l ) fe+1/ |
(Tft> |
(12.10) |
|
где |
|
|
|
|
|
1 ( 0, т0) = |
|
|
|
|
|
= М ^ егг~^г]2 cos / і |
— е2т — |
|
sin / 1 — в2т^ dx — |
||
|
= М [— Th + / l |
+ |
28ТІІТІ2 б-"*], |
(12.11) |
|
I ftki *fc+i) ^ |
|
|
|
|
|
|
т/с+1 |
|
|
|
|
— М |
^ е~ЕТ cos У i — 82т — |
|
s in / 1 — &%x\dx — |
||
|
хк |
|
|
|
|
= l t f / l +2ет]1т]2 ( - l)*+i (<feT* + e'"*+i). (12.12)
Подставляя выражения (12.11), (12.12) в (12.10), по лучаем ряд]
d(p) =
- М [— Лі + 2 / 1 + 28TUT12 (б-"« + «г"1+ ... + е 'ет*+ ...)].
(12.13)
Из формулы (12.8) видно, что ряд (12.13) представляет
3] СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ 103
собой геометрическую прогрессию, сумма которой равна d (л) = d (Ф) =
= М 2е ет* Y i + |
8 s i n 2<р |
— COS ф |
(0 < ф < я ) . |
(12.14) |
1 — е |
У1-е* |
|
|
|
Границей области управляемости Q1 будет огибающая |
||||
однопараметрического семейства прямых |
|
|||
xl cos ф + |
ж2 sin ф = |
d (ф). |
(12.15) |
|
Продифференцируем равенство (12.15) по параметру ф
— хг sin ф + хг cos ф = d' (ф). |
(12.16) |
Из выражений (12.9), (12.14) — (12.16) получаются сле дующие уравнения границы области Q1:
Xi — М
2 е tT° (c o s <р + 2 е s in ср) |
- 1 |
|
(1 — е |
Е‘ ) Y i - ) - e s in 2 ( p |
|
х2 = М ■ |
2e- t '', s in ф |
(12.17) |
|
|
|
(1 — е |
*2) У і+ 8 8 Іп 2 ф |
|
( 0 < ф О ) .
Границу области Q1можно строить по формулам (12.17), но можно также и путем построения семейства прямых (12.15). Построив достаточно много прямых (12.15), мож но достаточно точно найти границу области Q1.
На рис. 12.1 приведены результаты построения обла
сти Q1 при е = |
)/"2/2, М = 1. На этой фигуре показаны |
|||
также прямые |
семейства (12.15), построенные при ф = |
|||
= 0°, 50°, 90°, |
140° и симметричные |
им относительно |
на |
|
чала координат. |
При определении |
границы области |
О1 |
|
было построено значительно больше прямых. |
|
|||
Множество L возможных состояний равновесия систе мы (12.1) представляет собой отрезок оси хг
104 |
ОБЛАСТИ |
УПРАВЛЯЕМОСТИ |
[ГЛ. I |
|
Из выражений (12.17) |
при ср = 0 |
получаем |
|
|
|
= М cth -----7 |
..— у м . |
х2=--0. |
|
|
|
2 V 1 - 8s ^ |
|
|
|
|
|
|
(12.19) |
Из сравнения |
соотношений (12.18) и (12.19) следует, что |
|||
L cz Q1. Этот |
факт находится |
в полном |
соответствии |
|
|
|
/ _ |
X |
|
Рис. 12.1. |
|
|
с теоремой 11.3, поскольку собственные |
значения систе |
|
мы (12.1)являются комплексными. На рис. |
12.1 видно, что |
|
отрезок L = [— 1,1] принадлежит области Q1. |
|
|
В работах [26а, 57] задача построения области управ |
||
ляемости Qm системы (12.1) при т = 1, |
решена |
иначе. |
В этих работах показано, что граница области Q1 |
состоит |
|
из двух симметричных относительно начала координат дуг Рг и Р2. Для построения дуги 7Д нужно найти интег ральную кривую системы (12.1) при и = —М, которая, начинаясь из точки { х г (0), 0), при изменении t в положи
тельном направлении в первый раз пересекает ось х2 = 0 в точке (— хх (0), 0). Дуга Рх представляет собой «кусок» этой интегральной кривой, ограниченный точками
3] |
СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ |
105 |
(хг (0), 0) и (— хг (0), 0). Для значения хх (0) получается выражение, совпадающее с (12.19):
ЕЯ
хі (0) = — М cth 2 У 1
Уравнения для дуги Рг имеют вид
х1 = М |
2 |
^COS Y 1 — е21 |
гп |
||
1 — еУ 1-е* |
sin Ѵ і - вяЛ - 1 |
|
|
Ѵі |
|
|
|
|
|
|
( 12. 20) |
х2 — М у 1 — е2 |
- 4 ^ |
еег sin |/Ч — е2 £ |
|
Уі-£2 _ J |
|
( ° < ‘ < 7 Т = г ) -
Уравнения (12.17) и (12.20) описывают одну и ту же часть границы области Q1. Различной является лишь параметри зация граничной кривой. В уравнениях (12.17) параметр ср есть угол между нормалью к опорной прямой и осью хг.
В уравнениях (12.20) параметр 1 — е 2 £ представляет
собой полярный угол граничной точки в некоторой по лярной системе координат. Если в уравнениях (12.17) в качестве параметра выбрать величину — т0 и с помощью соотношения (12.9) выразить через него величину ср, то получатся уравнения (12.20).
Работы, в которых для системы (12.1) производилось бы построение области Qm при т = 2, автору не известны.
Для расстояния d (ц) при т — 2 из выражений (7.7),
(12.4) |
получаем формулу |
|
|
|
о |
|
( 12. 21) |
|
|
|
|
где |
R (т) = т)2 cos Ѵ і — е2т |
Т]1 + ВТ]2 |
sin V 1 — в* X. |
|
|
у г ^ & |
|
106 |
ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ |
[ГЛ. I |
После вычисления несобственного интеграла, которое описывать здесь не будем, из (12.21) получаем
d.(Ti) = - r l /A - r - |
(1 2 .22) |
Выражение (12.22) не зависит от угла ср, следовательно, все опорные прямые (12.15) находятся на одном расстоя нии от начала координат. Из формул (12.15), (12.16) сле дует, что огибающей такого семейства прямых будет окружность радиуса (12.22).
Таким образом, область управляемости Q2 представ ляет собой в настоящем примере круг (без границы) радиуса (12.22). Расширенная область V2 содержит гра ницу круга.
Построим область управляемости Qm при т = 4. По строение области Q4 отличным от рассматриваемого здесь способом производится в [41].
Для расстояния d (ц) из выражений (8.3), (12.4) по
лучаем формулу |
|
d (ц) = N max егг ^2 COSі/ і |
|
те[о. «о I |
|
_ i]i + ег]2 sin / 1 - е 2т^ |
(12.23) |
У 1 — е* |
|
Максимум, фигурирующий в формуле (12.23), дости гается при х = 0 либо при наименьшем положительном значении т = тх, при котором равна нулю первая произ водная функции (12.4), т. е. г\Ае~АгВ = 0. Если максимум достигается при х — 0, то из (12.23), очевидно, имеем
d (ц) = N I sin ф |. |
(12.24) |
Уравнение г\Ае~АтВ = 0 имеет вид
[ещ -f (2е2 — 1) rj2] sin]/rl — e2T —
— j^l — 82 (%'+ 2е%) cos 1^1 — e2t = 0. (12.25)
3] |
СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ |
107 |
Из уравнения (12.25) получаем выражение для вели чины
Ѵ'і — I ■arctg
ПРИ
^
(cos cp + 2e sin cp) уД — e2
e cos cp -f (2e2 — 1) sin <p |
|
|
cos cp 4- 2e sin cp |
_ n |
|
---------- I 4» А---- |
7^4------ |
>= U, |
8 cos cp -j- (2e2 — i ) sin cp |
’ |
|
х± — |
arctg |
(cos cp + |
2e sin cp) Y 1 — e2 |
|
-я] |
(12.26) |
||||
Vi |
|
8 cos cp |
(2e2 — 1) sin ф |
|
|
|
|
|||
|
при |
|
cos cp 4- 2e sin cp |
|
|
A |
|
|||
|
----------Т-тк-;----тт-4-----<Г 0, |
’ |
|
|||||||
|
г |
|
8 cos ср |
-{- (2е2 — 1) sin ср |
^ |
|
|
|||
Y 1 — e2 |
при е cos ф + (2е2 — 1) sin ф = |
0. |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для тех значений ф, при которых максимум дости |
||||||||||
гается в точке |
т = т1( |
получаем |
|
|
|
|
|
|
||
d (ц) = |
іѴе_ЕТ‘ У 1 + |
е sin 2ф. |
|
|
|
(12.27) |
||||
Из выражений (12.24), (12.27) получаем |
|
|
|
|
||||||
d ( r \ ) = d (ф ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N I sin фI |
|
|
при |
е~ЕТіУ 1 + |
е sin 2ф |
|
|
|||
___________ |
|
|
< І 8ІДС4 |
(12.28) |
||||||
Ne~tx1У 1 + |
е sin 2ф |
при е ~ У 1 + |
е sin 2ф > |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
> |зіп ф |. |
|
|||
Таким образом, построив достаточное количество |
||||||||||
опорных прямых (12.15), можно найти границу |
обла |
|||||||||
сти Q*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведем теперь |
некоторый |
анализ |
соотношений |
|||||||
(12.26), (12.28). При ф =-^-, а также при значениях ф, близ
ких к имеет место верхнее выражение в формуле
(12.28), т. е. выражение (12.24). При этих значениях ф уравнения прямых (12.15) имеют вид
х± cos ф + х2 sin ф = N sin ф. |
(12.29) |
108 |
ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ |
[ГЛ. І |
Все прямые (12.29) проходят через точку |
|
|
|
хх = 0, х2 = N. |
(12.30) |
Из точки (12.30) систему (12.1) можно привести в начало координат с помощью управления и (т) = — N8 (0). Сле довательно, эта точка принадлежит области Q4; она яв ляется угловой точкой границы области Qi , поскольку через нее проходит не одна опорная
прямая.
При том значении ср, при котором имеет место равенство
е-ex, у1 е sjn 2ф = Isin cp I,
одновременно справедливы оба равенства, (12.24) и (12.27). При этом значении ф, как легко по казать, целый отрезок прямой (12.29) является границей обла сти О4, т. е. граница области Qi содержит плоские участки.
На рис. 12.2 показана об
ласть (?4 при е = |
■, N = 1. |
Граница области имеет две угловые точки и два плоских участка. Множество О4 является замкнутым.
Рассмотрим в качестве примера систему дифферен циальных уравнений третьего порядка, описывающих при некоторых допущениях движение крылатого летательного аппарата в горизонтальной плоскости [8, 44]:
гЁі = |
х2, |
I |
|
х2 = |
а22х2 + а23х3 + |
Ъ2и, > |
(12.31) |
х3 — и32х2 -Г а33х3 ~Г Ъ3и. ) |
|
||
Здесь хг — угол курса, х2 — угловая скорость курса, х3 — угол скольжения, и — управляющее воздействие. Второе уравнение системы (12.31) есть уравнение моментов сил относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, третье — уравнение проекций сил на нормаль- к траектории.
3] |
СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ |
109 |
||
|
Матрицы А и В в этой системе имеют вид |
|
||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
А = 0 |
(Z22 |
023 , я = |
(12.32) |
|
0 |
озг |
Озз |
|
Все коэффициенты, входящие в эти матрицы, предпола гаются постоянными.
В системе (12.31) присутствует только один управляю щий параметр, поэтому индекс s всюду ниже опущен. Если аппарат управляется аэродинамическими рулями, то угол и отклонения этих рулей ограничен, поэтому возникает условие (1.2). Если аппарат управляется реактивными ру левыми органами, то величина и пропорциональна тяге. Неравенство (1.4) соответствует ограниченности запаса топлива у таких органов управления.
Характеристическое уравнение однородной системы, получающейся из системы (12.31) при и = 0, всегда имеет один нулевой корень = 0; это связано с тем, что аппа рат нейтрален по отношению к курсу. Относительно двух других корней, А,2 и К3, будем предполагать пока только то, что они не равны нулю и различны.
Будем предполагать, что система (12.31) вполне уп равляема, т. е. р = п = 3. В главе IV исследуются усло вия, при которых система не является вполне управляе мой. Точнее говоря, показано, при каком расположении рулевых органов система не будет вполне управляемой.
При условии р = п область управляемости Qm при всех значениях т = 1, . . ., 7 будет трехмерным множеством.
Фундаментальная матрица решений однородной систе мы имеет вид (по предположению, все корни являются од нократными, т. е. рх = р2 = Рз = 1> поэтому второй ниж ний индекс в коэффициентах фундаментальной матрицы опущен)
Ат _ |
|
|
|
|
|
е |
|
+ а(1,2) вХ3т |
|
|
|
аа.2)+ а (1.2) е^ |
а (1.з) + |
а а .з ) |
е х2т + аа . з ) e x ST |
||
а(2,2) йХ,т + |
а(2,2) еХ3т |
<4a-3) ех*т + |
с42’3>ех-т |
||
а (3,2) е Х ,т |
а (3,2) |
gX jT |
<48-®) |
+ с43’3>е** |
|
|
|
|
|||
(12.33)
HO ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ tr ji . I
Здесь
|
|
азз |
|
(1,2) __ |
А2 — азз |
|
|
|
Аз — азз |
||||
<хііл = |
- |
АзАз |
’ |
а'2 |
|
кг (кг — Аз) |
’ |
а ? * = |
Аз (Аз — Аз) |
||||
<42 ’2 ) = |
Яг — ДЭЗ |
„(2.2) _ |
Аз - ■азз |
а,3’2»= |
а“ |
1 = |
азз |
||||||
Яг — Яз |
’ |
а з |
- |
кГ- -Аз ’ |
Яг — Яз 1 |
||||||||
а?’3) : |
Й23 |
|
с4Ь8) — |
|
агз |
|
|
„(і,»> |
|
Ö23 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АзАз |
|
|
|
кг (кг - Аз) |
|
3 |
Аз (Аз - |
Аз) ’ |
|||
|
с42,3) |
|
,(2 ,3 ) |
ага |
|
,(3.3) |
Аг — агг |
|
|||||
|
|
|
|
кг — Аз |
’ |
4 |
- |
к ^ й ’ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(з,3) __ |
Аз — азз |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а . ' = |
Аз — Аз |
|
|
|
|
|
||
Пользуясь соотношениями (12.32), (12.33), получаем |
|||||||||||||
выражение для функции r\e~AxB: |
|
|
|
|
|
||||||||
r\e~AxB = |
|
+ |
e-*‘x(T]1a41) + |
Tj2a(22) + |
T|3c43)) + |
|
|
||||||
где |
|
|
|
+ |
e-x»T(ri1c41) + |
T]2a(32) + |
r|3tx^3>), |
(12.34) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(/cl) = Ъ2о%'2) + Ь3с4г-s)
(i = 1 при к = 1; i = 1, 2, 3 при к = 2, 3).
Рассмотрим сначала случай, когда собственные значе ния А2 и А3 имеют отрицательные действительные части.
В этом случае при т = 1, 2, 3 область управляемости От совпадает со всем фазовым пространством Х 3. При т = 4 -н 7 дело обстоит иначе. Уравнения (8.1), (7.2), как следует из выражения (12.34), имеют вид
Л і«*} + Лгал} + т1зс43) = 0 |
(Ä = 2, 3), (12.35) |
Л2+ Л 2+ Л 2 = I- |
(12.36) |
Система (12.31), по предположению, вполне управляема,
поэтому уравнения (12.35), |
(12.36) имеют только два ре |
|
шения: ц0 и — ц0; при этом |
|
|
А. |
(і = 1, 2, 3), |
(12.37) |
Л? |
||
/ д * + д * + |
д» |
|
где |
|
|
|
a (2> |
Д ,= |
z |
|
4 » |
«4® |
|