Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 3737

31 ЛЕТАТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ 361

В точке пересечения гиперболы (50.3) с осью с2 = 0

	рСДг	(50.9)
	Сз ~ [aTR '	(50.9)
	Сз ~ [aTR '

Заметим, что соотношение (50.7) является уравнением границы области, обусловленной неравенством (49.15).

Знак числителя уравнения (50.3) при значении (50.4) величины с2 равен знаку выражения 13Дх (13ѵ — СРА^. Вид области устойчивости зависит от знаков сомножите лей, входящих в это выражение. В каждом из различных случаев сочетаний знаков этих сомножителей структуру области устойчивости легко выяснить с помощью выписан ных выше соотношений (50.3) — (50.9). Ниже приведены все эти случаи.

Для шести случаев области устойчивости изображены (заштрихованы) на рисунках 50.1 — 50.6. Номера рисун

ков соответствуют				номерам			рассматриваемых случаев:
(1)	13ѵ	-	С*А,	> 0	,	13 >	0,	Аі > 0;
(2)	13ѵ	-	С«3А,	> 0	,	13 <	0, А х < 0 ;
(3)	13ѵ -		С*А,	< 0	,	13 >	0,	Аі > 0;
(4)	13ѵ -		С*А,	< 0	,	13 <	0,	А і < 0 .

На рис. 50.1 и 50.2 буквой D обозначена точка пере сечения асимптоты (50.4) с осью с3 = 0. На рис. 50.3 и 50.4 буквой D обозначена точка пересечения одной из вет вей гиперболы (50.3) с осью с3 = 0, координата с2 этой точ ки пересечения определяется выражением (50.6). Объеди няя формулы (50.4) и (50.6), можно получить выражение для координаты с2 точки D во всех приведенных выше че тырех случаях

с2 = sgn h max	(50.10)
	С«»Ді ’

В случаях (1) и (2) прямой угол, образованный осью Сз = 0 и асимптотой (50.4), принадлежит области устой чивости. В случаях (3) и (4) угол, образованный осью с3 = 0 и прямой (50.6), принадлежит области устойчи вости. Множества точек, принадлежащих этим углам, описываются соотношениями (50.1), (50.11)

c.sgnIs> i m « I ( j X _ , i ) .

( 50. 11)

3Ö2 СИСТЕМЫ С ТРЙІШ ЕМ И РЕЛЕЙ НЫ Е СИСТЕМЫ [ГЛ . ІѴ

Таким образом, соотношения (50.1), (50.11) во всех приведенных выше четырех случаях являются достаточ ными условиями асимптотической устойчивости.


(5) 13ѵ — С&Ах ^>0,	13 > 0,		Дх	0. Этот случай
делится в свою очередь на два случая, в				зависимости от
знака выражения Ах +	13%СА3,	который определяет взаим
ное расположение точек (50.6)		и (50.7).

Рис. 50.4 .	Рис. 50.5.	Рис. 50.6.
(5а) Аг + 13%СА2	0. В этом случае,	в соответствии
с выражением (50.8),	точка (50.6) расположена левее

точки (50.7). При этом неравенства (49.15), (50.1), (50.2)

описывают область, показанную на рис. 50.5. Эта область, в отличие от предыдущих случаев, ограничена.

(5Ь) Ах + 13%СД2 > 0. При этом точка (50.6) распо лагается правее точки (50.7) либо совпадает с ней. В этом случае область устойчивости — пустое множество.

3]			ЛЕТАТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ				363
(6)	l3v — C^A]		0,	l3 <( 0,	Ax )> 0.		В этом случае,
так же как и в предыдущем, возможны два варианта.
(6а)	Ах +	l3yjCA2		0. В этом случае область устой
чивости существует и ограничена (см. рис. 50.6).
(6Ь)	Aj +	і3%СА2		0. При наличии этого неравенст
ва область		устойчивости — пустое				множество.
(7)	l3v —		0,	і3 < 0 ,	Ах	0.	Область устой
чивости — пустое			множество.
(8)	13ѵ — С-4Аг <[ 0,			13 ^>0,	Ах <( 0.		Область устой
чивости — пустое			множество.				этого равенства
(9)	13ѵ — С&Aj = 0.			При наличии

ветви гиперболы (50.3) вырождаются в две прямые, кото

рые описываются уравнениями (50.4)			и (50.5).	Значение
(50.4)	совпадает при	этом со значением (50.6).			В этом
случае возможны следующие четыре варианта.				В	обоих
(9а)	13 ^>0, Aj	0; (9Ь) 13 < 0 ,	Ах < 0.

этих вариантах область устойчивости описывается соот

ношениями (50.1) и (50.12)
c2sgnZ3> - l - .	(50.12)

При этом неравенство (50.12) получается из неравенства

(50.11)	в результате предельного перехода.	0. В обоих
(9с)	13 < 0 , Ах 0;^ (9d) 13 ^ 0, Ах	0. В обоих

этих вариантах область устойчивости — пустое множество. При тех значениях параметров летательного аппарата, при которых область устойчивости — пустое множество, желаемое движение не может быть стабилизировано ре

лейным управлением (40.4) при условии с4 = 0. Рассмотренные выше случаи исчерпывают все возможные

случаи расположения на плоскости е2, с3 области устойчи

вости системы (48.4), (40.4)			при с4 = 0.
Если	принять допущение, что в			уравнениях (48.1)
О = С6 — 0, но		тш^ 0 и	тѣ=f= 0,	то из	неравенства
(49.19)	при с4 =	0 получаем
	с\ + Ch2c3 — c3sgn l3 >			0.	(50.13)
Область	устойчивости на		плоскости	переменных с2, с3

при этом описывается соотношениями (49.17), (50.13). Вместо гиперболы (50.3) получается гипербола

(50.14)

S g n Is — С 3 С2

364	СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ И РЕЛЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ				[ГЛ. IV
Уравнения асимптот к гиперболе (50.14) имеют вид
	с2 =	sgn h	’	sgn h	(50.15)
		Cß		(Cß)2'

Одна из ветвей гиперболы касается оси с2 в начале координат.

Вид области (49.17), (50.13) зависит от знака величины 13. Здесь могут представиться только два случая, 13 0 и 13 С 0, поскольку 13ф 0. Используя выражения (49.17),

Рис. 50.7.

(50.13) — (50.15), можно легко выяснить структуру об ласти устойчивости в обоих случаях.

Области устойчивости при 13 ^> 0 и 13 <Ч) показаны на рисунках 50.7 и 50.8 соответственно. При І3 0 область устойчивости «похожа» на область, построенную в случае

(1) (см. рис. 50.1), а при 13 < 0 — на область, построен ную в случае (2) (см. рис. 50.2).

Легко видеть, что соотношения	(50.1) и (50.16)
c2sgnZ3> ^ -	(50.16)

являются достаточными условиями асимптотической ус тойчивости. Неравенство (50.16) совпадает с первым не равенством (49,20).

ЛИТЕРАТУРА

1.А й з е р м а н М. А. , 0 сходимости процессов автоматического регулирования после больших начальных отклонений. Автома

тика и

телемеханика,

т.

№

1946.

Р.,

Абсолютная

А й з е р м а н

М. А.,

Г а н т м а х е р

Ф.

устойчивость регулируемых систем. Изд-во

АН СССР, 1963.

А н д р е

Дж.,

З е й б е р т

П.,

Движение после конечной

точки и

анализ его устойчивости для общего случая разрыв

ных систем регулирования. Труды

I Международного конгрес

са ИФАК, М.,

Изд-во АН СССР,

1961.

А т а и с

М.,

Ф а л

П.,

Оптимальное управление. М., «Ма

шиностроение»,

1968.

Р., Неравенства. М., «Мир»,

Б е к к е н б а х

Э., В е л л м а н

1965.

В. В., Движение искусственного спутника

Б е л е ц к и й

относительно

центра

масс.

М.,

«Наука»,

1965.

О., Некото

Б е л л м а н

Р., Г л и к с б е р г

И., Г р о с с

рые вопросы математической теории процессов

управления.

М., ИЛ., 1962.

Теория

автоматического

управления поле

Б о д н е р В. А.,

том. М., «Наука»,

1964.

Б о л т я н с к и й

В. Г., Математические методы оптимального

10.

управления. М., «Наука», 1969.

Б р о м б е р г

П. В., Матричные методы в теории релейного

и импульсного регулирования. М., «Наука», 1967.

И . Б у д а к

Б. М.,

В а с и л ь е в

Ф. П.,

Приближенные методы

решения задач оптимального управления. Вып. 2, М., МГУ,

12.

1969.

Б. В.,

Колебания.

Гостехиздат,

1954.

Б у л г а к о в

13.В е л е р ш т е й н Р. А., Ф о р м а л ь с к и й А . М., О задаче синтеза оптимального управления. Автоматика и телемеханика,

14.	№ И , 1969.
	В и н е р		Н., Интеграл Фурье и некоторые его приложения.
15.	М.,	Физматгиз, 1963.				А. И., О г у л ь н и к	М. Г.,
	В о л о д и н			JI. А., М о р о з
	К вопросу реализации оптимальных по времени синтезирующих
	функций для одного класса линейных систем третьего порядка.
16.	Автоматика			и телемеханика,	т.	30, № 4, 1969.
	В о р о н о в			А. А., Основы теории .автоматического управле
17.	ния,	ч.	II,	«Энергия», 1966.	В. Б., К оптимальным процессам
	Г а б а с о в			Р., Г и н д е с
	в линейных системах с двумя ограничениями на управляющие
18.	воздействия. Автоматика и телемеханика, т. 26, № 6,						1965.
	Г а б а с о в			Р., К и р и л л о в а		Ф. М., Качественная теория
	оптимальных процессов. М.,				«Наука», 1971.

366		ЛИТЕРАТУРА
19.	Г а л ь п е р и н	Е. А., Д е р г а ч е в а	Е. И., К задаче об
	оптимальной стабилизации линейной управляемой системы с не
	полной информацией. Автоматика и телемеханика, т. 29, № 8,
20.	1968.	Е. А., К р а с о в с к и й	Н. Н., О стабили
20.	Г а л ь п е р и н	Е. А., К р а с о в с к и й	Н. Н., О стабили
	зации установившихся движений нелинейных управляемых
21.	систем. ПММ, т.	27, вып. 6, 1963.
21.	Г а н т м а х е р	Ф. Р., Теория матриц,. М., «Наука», 1967.
22.	Г е л и г А. X.,	К о м а р н и ц к а я	О. И., Абсолютная
	устойчивость нелинейных систем с неединственным положением
	равновесия. Автоматика и телемеханика,		т. 27, № 8, 1966.

23.Д е м и д о в и ч Б. П., Лекции по математической теории устойчивости. М., «Наука», 1967.

24. Д ж у р и Э., Л и Б., Абсолютная устойчивость систем с мно гими нелинейностями. Автоматика и телемеханика, т. 26, № 6, 1965.

25.Д м и т р и е в Ю . А., Асимптотическая устойчивость в «боль

шом» некоторых динамических систем. Труды семинара-симпо

зиума «Второй метод Ляпунова и его применение в энергети ке», ч. II, Новосибирск, «Наука», 1966.

26.3 у б о в В. И. а) Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л., «Судпромгиз», 1962. б) Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л., «Судостроение», 1966.

27.й ш л и н с к и й А. Ю., Механика гироскопических систем.

28.	М., Изд-во	АН СССР, 1963.
	К а л м а н	Р. Е., Об	общей теории систем управления. Тр.
	I Международного конгресса ИФАК, т. II, М., Изд-во АН СССР,
29.	1961.	Р., Ф а л б	П., А р б и б М., Очерки по математи
	К а л м а н
	ческой теории систем.		М., «Мир», 1971.

30.К а н а р е в Л. Е., О синтезе оптимального по быстродей ствию управления. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 2, 1962.

31.К а т к о в н и к В. Я., П о л у э к т о в Р. А., Многомерные дискретные системы управления. М., «Наука», 1966.

32.К и р и л л о в а Л. С., Общая задача терминального управле ния в линейных системах. Автоматика и телемеханика, т. 26, № 12, 1965.

33.К и р и н Н. Е., Вычислительные методы теории оптимального управления. Л., Ленингр. ун-т, 1968.

34.К о г а н Н. Я. а) Об устойчивости одноосного гиростабилиза тора при наличии сухого трения в оси прецессии. Изв. вузов, Приборостроение, т. XI, № 12, 1968. б) Об устойчивости одно осного гиростабилизатора при наличии сухого трения в оси стабилизации. Изв. вузов, Приборостроение, т. XII, № 3, 1969.

35.К о р н Г., К о р н Т., Справочник по математике. М., «Нау ка», 1970.

36.К р а с о в с к и й Н. Н. а) Теория управления движением.

М., «Наука», 1968. б) Игровые задачи о встрече движений. М., «Наука», 1970. в) Лекции по теории управления. Свердловск, Уральский университет им. А. М. Горького, вып. I, 1968.

ЛИТЕРАТУРА

36?

37.Л е т о в А. М. а) Устойчивость нелинейных регулируемых сис тем. Изд. 2-е, М., Физматгиз, 1962. б) Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления. Дифференциальные уравнения, т. VI, № 4, 1970.


38.	Л е ф ш е ц		С. а)	Геометрическая	теория дифференциальных
	уравнений. М., ИЛ, 1961. б) Устойчивость нелинейных систем
39.	автоматического управления. М.,				«Мир», 1967.
	Л у р ь е	А.	И.,	Некоторые задачи теории		автоматического
40.	регулирования. М., Гостехиздат, 1951.
	Л ю с т е р н и к Л . А . , С о б о л е в				В. И., Элементы функцио
41.	нального	анализа.		М., «Наука», 1965.		Г. М.,		П о ж а -
	М а р х а ш о в Л.			М., П л о т н и к о в а
	р и ц к и й		Г. К.,	Импульсные быстродействия			в	линейных
	системах	второго порядка. ПММ,			т. 30, вып. 4,		1966.

42.М и н д л и н И. М., Об устойчивости систем авторегулирова ния с одним нелинейным элементом. Автоматика и телемеханика, т. 24, № 3, 1963.

43.М о р о з А. И. а) Синтез оптимального по быстродействию управления для линейного дискретного объекта третьего поряд ка, I, II, III. Автоматика и телемеханика, т. 26, № 2, 3, 8,


	1965. б) Синтез оптимального по времени управления для линей
	ных систем третьего порядка, I, II, III. Автоматика и телемеха
44.	ника, т. 30, № 5,			7,	9,	1969.		И. В., Динамика
	О с т о с л а в с к и й				И. В.,		С т р а ж е в а
45.	полета. М., «Машиностроение», 1965.							оптимальных по
	П а в л о в	А. А., Синтез				релейных систем,
	быстродействию. Метод фазового пространства. М., «Наука»,
46.	1966.		Л. Б., Ф о р м а л ь с к и й А. М., Область
	П а ч е п с к а я
	управляемости систем с двумя и тремя ограничениями на управ
47.	ление. ПММ, т. 35, вып. 5, 1971.							В. Г., Гамкрелид-
	П о н т р я г и н		Л. С., Б о л т я н с к и й
	зе Р. В., Мищенко			Б. Ф., Математическая теория оптимальных
48.	процессов. Физматгиз, 1961.
	П о п о в	В. М. а)		Об	абсолютной устойчивости нелинейных
	систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеха
	ника, т. XXII, № 8,1961. б) Гиперустойчивость автоматических
49.	систем. М., «Наука», 1970.
	П о р т е р	У.,	Современные основания общей теории систем.
50.	М., «Наука», 1971.			Я. Н.		а)	Гироскопы.	Физматгиз,	1966.
	Р о й т е н б е р г
51.	б) Автоматическое управление. М., «Наука», 1971.								систем
	С м о л ь н и к о в			Л. П.,		Синтез квазиоптимальных
	автоматического		управления. «Энергия», 1967.

52.С т е п а н о в В. В., Курс дифференциальных уравнений. Гос техиздат, 1950.

53.Ф е л ь д б а у м А. А. а) Вычислительные устройства в авто матических системах. Физматгиз, 1959. б) Основы теории опти мальных автоматических систем. М., «Наука», 1966.

54.Ф и л и п п о в А. Ф. а) Дифференциальные уравнения с раз

рывной правой частью. Матем. сб., т. 51 (93), вып. 1, 1960. б) Приложение теории дифференциальных уравнений с разрыв

ной правой частью к нелинейным задачам автоматического

368	ЛИТЕРАТУРА

регулирования. Труды I Международного конгресса ИФАК, М., Изд-во АН СССР, 1961.

55.Ф о р м а л ь с к и н А. М. а) Построение области управляе мости для системы с неустойчивым объектом. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 5, 1965. б) Построение области управляемости для систем с ограниченными по импульсу управ ляющими силами. Вестник МГУ, серия матем. и механ., № 5, 1966 (Siam Journal он Control, vol. 5, № 2, pp. 211—221, 1967). в) Область управляемости систем с ограниченными ресур сами управления. Автоматика и телемеханика, т. 29, № 3, 1968. г) Определение области управляемости для линейных

стационарных систем. Со. Физика и математика, Труды 1-й

Московской конференции молодых ученых, М.,

«Наука»,

1968. д) Область управляемости систем, имеющих ограниченную

величину и энергию управляющего воздействия. Вестник МГУ,

серия матем. и механ.,

№ 5, 1970. е)

Задача быстродействия в

системах с ограниченными по величине

и импульсу

управляю

щими силами. ПММ, т. 34, вып. 5, 1970. ж) Задача быстрейшего

попадания на плоскость. Сб. «Анализ и синтез систем автомати

ческого управления», М., «Наука», 1968. з) Области устойчиво

сти для некоторых классов регулируемых систем. Труды Ин

ститута механики МГУ, JT» 10, М., 1971. и)

Построение области

устойчивости систем, не являющихся устойчивыми

«в целом».

Вестник МГУ, серия матем. и механ., № 1,

1967.

к)

стаци

онарных состояниях регулируемых систем. ПММ,

т. 35,

вып.

2,1971.

л)

Устойчивость систем с сухим трением, сило

вой гиростабилизатор. МТТ, № 4, 1972. м) Устойчивость сило

вого гиростабилизатора

с сухим трением.

МТТ,

JV» 4,

1969.

н) К

теории

силового

гиростабилизатора.

МТТ,

№ 4,

1967.

о) Устойчивость релейной системы стабилизации движения

56.

летательного аппарата. МТТ, № 4, 1968.

автоматического

Ц ы п к и н

Я. З. , Теория релейных

систем

57.

регулирования. М., Гостехиздат, 1955.

1956.

Ц я н ь

С ю э - с э в ь . ,

Техническая кибернетика. ИЛ.,

58.

Ч е т а

е в Н. Г.,

Устойчивость движения.

М.,

Изд-во АН

СССР,

1962.

59.Ш и л о в Г. Е. а) Математический анализ. Специальный курс. Физматгиз, 1961. б) Введение в теорию линейных пространств. Гостехиздат, 1956.


60.	Ш и л о в	Г. Е., Г у р е в и ч					Б. Л.,	Интеграл, мера и произ
61.	водная. М., «Наука», 1967.										Control.
	E a t o n	J. Н., An Iterative Solution to Time optimal
62.	Journal of Math. Anal, and Applic., October, vol. 5, No										2, 1962.
	K a l m a n R.			E.,	H o	Y. C., N a r e n d r a			K. S., Control
	lability of Linear Dynamical Systems. Contributions to Differen
63.	tial Equations,			vol.	1,	pp. 189—213,		1963.
	N e u s t a d t		L. W., Time Optimal Control Systems with Position
64.	and Integral Limits. J. of Math. Anal, and Applic., No										3, 1961.
	S c h a e f e r			I. F., C a n n o n			R. H., On the control of unstab
65.	le mechanical		systems.			IFAC, 3d Congress, London,				1966.
	S i n g h	R. N. P.,			Functional		analysis approach			to	optimal
	control problems with multiple constraints on the controlling
	function.	Internat.			Journ. Control, vol. 9. No				1, 1969.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 3737

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ