книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами
.pdf21 |
БЫСТРЕЙШЕЕ ЙОПАДАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ |
181 |
|
Рассмотрим теперь траекторию, выходящую |
из точ |
ки М, не являющейся точкой переключения. Если точ ки М и Г близки, то в силу непрерывной зависимости ре шения системы (1 .1 ) от начальных условий траектории,
выходящие из этих точек, близки при 0 |
t |
Ѳ1. При до |
|
статочной близости |
точек М и Г траектория, начинаю |
||
щаяся из точки М, |
попадает при t — Ѳ1 |
в ту часть пря |
|
мой П, где ті dxldt )> 0. Тогда на интервале СА есть точка С (рис. 18.1), в которой траектория, начинающаяся из точки М, пересекает прямую П, переходя из области
х\х |
d в область х\х |
d. Этого, однако, не может быть, |
|
так как в точке С' имеет место неравенство ц dxldt |
0. |
||
Иначе говоря, такого расположения траекторий, как на рис. 18.1, быть не может. Это противоречие доказывает теорему.
Так же, как относительно гиперплоскости П1, можно утверждать, что, вообще говоря, не все точки гиперплос кости П2 могут быть точками переключения оптимального
управления.
Рассмотрим теперь задачу быстрейшего приведения на плоскость (17.1) системы (2.2) с одним управляющим параметром. Будем предполагать, что система (2.2) вполне управляема, т. е. ps = п.
При условии ps = п систему (2.2), как известно [29, 62], можно с помощью невырожденного преобразования привести к одному дифференциальному уравнению вида
У(п) + аіг/(п_1) + • • • + Оп-іУ + апУ = и» |
(18.33) |
где öj (і = 1, . . ., п) —- постоянные коэффициенты. Обо значая у через хх, у через х2 и т. д., запишем уравнение (18.33) в виде системы
% = х2,
х2 = х3,
(18.34)
Х п — |
O/fiX1 |
t l ;i i'T o |
. . . |
О [Хи ! u s . |
Можно предполагать, не ограничивая общности, что уже исходная система (2.2) имеет вид (18.34). Тогда
1Ö2 |
ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
to i . i t |
столбец bs записывается в виде
О
1
Уравнение (18.8) для определения моментов переклю чения оптимального управления в системе (18.34) имеет вид
|
|
11еА\ |
= |
\]іеы |
+ . .. + г\пепп = 0, |
(18.35) |
|
где |
т]£ |
(і = 1 , . . |
., |
п) — |
компоненты вектора |
rj, |
а |
еіп |
(і = |
1 , . . ., п) |
— элементы последнего столбца |
мат |
|||
рицы еАѳ. |
|
|
|
|
|
||
|
В уравнениях гиперплоскостей, на которых происходит |
||||||
переключение оптимального управления (см., например, уравнения (18.13), (18.18)), коэффициент при координате хп равен, как легко видеть, величине цeAObs, где Ѳесть ко рень уравнения (18.35). Следовательно, в уравнениях ги перплоскостей переключения коэффициент при координа те хп равен нулю. Этот факт имеет место независимо от вида уравнения (17.1) гиперплоскости П. Полученный ре зультат сформулируем в виде теоремы.
Теорема 18.5. В уравнения гиперплоскостей, на которых происходит переключение оптимального управления, осу ществляющего быстрейшее приведение системы (18.34) на заданную гиперплоскость, не входит фазовая координа та хп.
Применительно к уравнению (18.33) эта теорема утвер ждает, что в уравнения плоскостей переключения не вхо дит величина г/(п_1>. Если, например, (18.33) является урав нением третьего порядка (тг = 3), то в уравнения плоско стей переключения входят только переменные у и у. При п = 2 в уравнения поверхности переключения входит
только координата у. Следовательно, при синтезе опти мального управления в системе третьего порядка не нуж но производить измерение второй производной у, а при синтезе оптимального управления в системе второго по рядка не нужно измерять первую производную у. Подоб ная ситуация имеет место при любом уравнении гипер плоскости П.
2] |
БЫСТРЕЙШЕЕ ПОПАДАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ |
183 |
Результаты, полученные в настоящем параграфе, не дают возможности построить полностью картину синтеза оптимального управления в общем случае. Дело в том, что в разбиении пространства Х п на области, в которых управ ление принимает значение — М а, либо M s, участвуют не только гиперплоскости переключения. Это будет видно на одном из примеров в следующем параграфе. Основным ре зультатом настоящего параграфа является утверждение теоремы 18.2 о том, что точки переключения оптимального управления лежат на гиперплоскостях фазового простран ства Х п, причем эти гиперплоскости могут быть эффектив но построены.
§19. Примеры. Особенности функции Веллмана
Рассмотрим в качестве примера систему уравнений вто рого порядка (16.2). Эта система имеет один управляющий параметр. Индекс s в этой системе опущен. Будем считать,
что М = |
1, т. е. |
I и I |
1. |
Для |
системы |
(16.2) |
имеем |
0 і|
0 о|
О |
(19.1) |
рАх |
|
1 ’ |
|
Поставим задачу быстрейшего приведения системы (16.2) на прямую П:
хх — х2 = 0 . |
(19.2) |
Систему (16.2) можно, в соответствии с теоремой 7.1, при любых начальных условиях привести в начало коор динат. Следовательно, при любых начальных условиях эту систему можно привести на прямую (19.2). Тогда, в соот ветствии с теоремой 18.1, для любых начальных состояний существует управление, осуществляющее быстрейшее при ведение системы (16.2) на прямую (19.2).
В качестве вектора г] выберем строку
Л = 11 , - 1 II- |
(19.3) |
Тогда неравенство (17.2) приобретает вид
< х2. |
(19.4) |
Поставленную задачу будем решать сначала для начальных состояний, расположенных в полуплоскости (19.4).
184 ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. II
Из выражений (19.1), (19.3), получаем, что уравнение (18.8) для определения моментов переключения оптималь ного управления в настоящем примере имеет вид
т]еАвЪ = Ѳ — 1 = 0 . |
(19.5) |
Уравнение (19.5) имеет единственное решение Ѳ1 = |
1. Сле |
довательно, оптимальное управление имеет не более од ного переключения. При тех начальных условиях, при которых имеет место переключение управления, это пере ключение происходит за время Ѳ1 = 1 до попадания систе
мы на прямую (19.2).
Из выражений (18.11), (19.5) получаем, что управле ние на последнем участке оптимальной траектории, т. е.
на участке, на котором нет переключений, равно |
|
и1 = sgn (т]6) = —1. |
(19.6) |
Пользуясь уравнением (18.13) (уравнение (18.15) в на стоящем примере неприменимо, поскольку матрица А вы рождена), находим уравнение прямой П1; на которой рас
положены точки переключения: |
|
X, = - Ѵ2. |
(19.7) |
Уравнение прямой (19.7) не содержит координаты хг, что находится в соответствии с теоремой 18.5.
Теперь найдем на прямой П2 множество D xточек, явля
ющихся точками переключения. Система (16.2) имеет вто рой порядок, поэтому, в соответствии с теоремой 18.4, для нахождения множества достаточно использовать нера венства (18.24) и (19.4). Из выражений (19.1), (19.3) полу чаем, что неравенство (18.24) в настоящем примере имеет вид
х2 > |
0. |
(19.8) |
Из выражений (19.4) и (19.7) |
получается условие |
|
я2> —V*,
которое, однако, является более слабым, нежели условие
(19.8) .
Следовательно, точки переключения принадлежат полу прямой, определяемой условиями (19.7), (19.8) (рис. 19.1). До переключения управления, т. е. при и = + 1 , система (16.2) движется по параболе, принадлежащей однопара
2] |
БЫСТРЕЙШЕЕ ПОПАДАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ |
185 |
|
метрическому (параметр С) |
семейству |
|
|
|
Хі = ~ |
4 + С. |
(19.9) |
После переключения управления, т. е. при и’-—и1 — —1
(19.6), система движется по параболе, принадлежащей се мейству
|
хг = - ± - 4 |
+ С. |
(19.10) |
|
Через точку А (— Ѵ2, 0), |
которая является |
кондом |
||
луча (19.7), (19.8), при и = |
—1 |
проходит парабола из |
||
семейства |
(19.10) |
|
|
|
|
* != |
|
|
(19.11) |
Парабола (19.11) касается прямой (19.2) в точке |
В (—1, |
|||
- 1). |
состоящая из «куска» |
AB параболы (19.11) и |
||
Линия, |
||||
луча (19.7), (19.8), делит полуплоскость (19.4) на две части. В левой части оптимальное управление и = + 1 и движе ние происходит по параболам (19.9), в правой части и = = — І и движение происходит по параболам (19.10).
186 |
ЗАДАЧИ f БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
[ГЛ. II |
Таким образом, в разбиении полуплоскости (19.4) на |
||
области, |
в которых оптимальное управление |
равно + 1 |
или —1, участвует не только линия переключения Пх, но также и одна из оптимальных траекторий (19.11). Пере ключение управления в процессе движения, однако, может происходить только на прямой Пх.
Фазовый портрет оптимальной системы является сим метричным относительно начала координат, поскольку прямая П проходит че рез начало координат.
Пользуясь этой симмет рией, можно получить картину синтеза опти мального управления на всей фазовой плоскости Х2. Эта картина изобра жена на рис. 19.1.
Функцией Веллмана в задачах быстродей ствия является зависи мость времени быстро действия от фазовых ко ординат Т° (X). В настоя щем примере функция Т° (X) обладает некото
рыми интересными свойствами, в частности, она является разрывной функцией фазовых координат. Эту функцию можно было бы выписать аналитически для рассматривае мого примера. Вместо этого, однако, опишем свойства функции Т° (хѵ х2), основываясь на свойствах фазового портрета оптимальной системы (см. рис. 19.1).
На рис. 19.2 показана поверхность Т° = |
Т° (хг, |
х2) в об |
ласти Ху <1 х2. На прямой П, очевидно, |
Т° (хѵ |
х2) = 0. |
В точках прямой П, расположенных левее точки В (—1, 1),
функция Т° (ху, х2) терпит |
разрыв. |
Действительно, |
Т°(х) = 0 при ж 6= П; при Ху |
—і , х 2= |
—хх + 0 функ |
ция Т° (х) принимает конечные положительные значения. На части AB параболы (19.11) функция Т° {х) является
непрерывной справа и разрывной слева. Таким образом, ли ния разрыва функции Т° (х) состоит из луча
Х у < — 1 , Х 2 = Х у
2] БЫСТРЕЙШЕЕ ПОПАДАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ 187
и «куска» AB параболы. При приближении по линии раз рыва к точке А разрыв между левыми и правыми значе ниями функции Т° (X) «сходит на нет». В точке А функция Т° (X) является уже непрерывной. Во всех остальных точ ках полуплоскости х2 > хѵ кроме точек указанной линии разрыва, функция Т° (х) непрерывна. Заметим, что опти мальные траектории нигде не пересекают линию разрыва функции Т° (х).
Луч (19.7), (19.8), на котором расположены точки пере ключения, является одной из линий уровня поверхности Т° (х). На этом луче Т° (х) = 1.
Линиями уровня поверхности Т° (х) являются, как вы текает из результатов § 18, прямые линии. Следовательно, поверхность Т° (х) является линейчатой.
Рассмотрим в качестве второго примера систему урав нений
хх = х2,
|
|
х 2 = — х х — 2 s x 2 + и, |
|
(19.12) |
|||
|
|
|
|
||||
где 0 |
е |
1. Будем считать, что |
| и \ < |
1 - |
|||
Для системы (19.12) |
имеем |
|
|
|
|||
|
|
О |
1 |
|
ю |
|
|
еАі |
|
А = - 1 |
- |
2 8 II ’Ь |
~ II 1 |
|
(19.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
-£Т(cos Y 1 — е2 т + |
|
|
Y |
- sin 1^ 1 — ( |
|||
|
|
|
|
|
V 1 - |
e3 |
|
|
|
■sin Y 1 — С2Т^ |
|
|
|
|
|
|
У і — I |
|
|
|
|
|
|
— er |
•sin Y i — 8 |
T |
[ c o s Y i |
82 T — |
|||
|
V |
1 —( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
■sm / 1 - |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(19.14) |
Поставим задачу быстрейшего приведения системы |
|||||||
(19.12) |
на прямую П |
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 = |
0. |
|
|
(19.15) |
|
Собственные значения системы (19.12) имеют отрицатель ные действительные части. Поэтому, в соответствии с теоре-
188 |
ЗАД АЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
ГГЛ. II |
мой 7.1, систему (19.12) можно при любых начальных ус ловиях привести в начало координат, а значит, и на пря мую (19.15). Тогда, в соответствии с теоремой’ 18.1, при любых начальных состояниях существует управление, ре шающее поставленную задачу.
Вектор г] выберем таким:
л = | | 0 , - 1 fl. |
(19.16) |
Тогда неравенство (17.2) приобретает вид
х2 > 0. |
(19.17) |
Поставленную задачу будем решать для начальных состоя ний из полуплоскости (19.17).
Из выражений (19.13), (19.14), (19.16) имеем
г\емЬ="— е~ЕѲ^cos У 1 — е2 Ѳ---- i sin У і — е2Ѳ^ .
(19.18)
Уравнение (18.8) для определения моментов переключения оптимального управления принимает вид
tg / і - е2 Ѳ== |
(19.19) |
Это уравнение имеет следующие положительные корни:
|
1 |
г__ |
Ѵі—82 |
—}—itk |
|
Ѳ* = |
У і — е2 |
arctg• |
|
(к = 0, 1,...). (19.20) |
Наименьший положительный корень уравнения (19.19) имеет вид
0, = 7 T W a rc tg J^ - |
(19-21) |
Из выражений (18.11), (19.18) получаем управление на по следнем участке оптимальной траектории,
и1"= sgn (т]Ь) = |
—1. |
(19.22) |
Из выражения (19.14) имеем |
|
|
2ее-ч' е-'О1 |
(19.23) |
|
еАѳ1 - - |
0 |
|
— е-*ѳ‘ |
|
|
2] |
БЫСТРЕЙШЕЕ ПОПАДАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ |
189 |
Тогда, пользуясь уравнением (18.15), нетрудно найти пря мую n it на которой находятся точки последнего переклю чения оптимального управления:
хх = - 1 . |
(19.24) |
Уравнение (19.24) не содержит, как и следовало ожидать, координаты хг.
Для определения множества D x (ЕЕ Щ точек переключе ния воспользуемся неравенствами (18.24) и (19.17). Нера венство (18.24), с учетом выражений (19.13), (19.16), (19.22) и (19.23), приобретает вид
х2 > 0 .
Условие (19.17) является, однако, более сильным, нежели это условие.
Следовательно, точки переключения принадлежат полупрямой, определяемой условиями (19.17), (19.24) (рис. 19.3).
Следующий по величине, после Ѳ1, корень уравнения (19.19) получается из формулы (19.20) при к — 1:
1 / 1
Ѳ2 = |
8 |
|
190 ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. IX
Оптимальное управление на предпоследнем участке тра ектории равно
и2 = 1 .
Выберем произвольное начальное состояние на луче
(19.17), (19.24) и решим систему (19.12) при и = и1 = 1.
Нетрудно показать, что на отрезке траектории, соответст
вующем отрезку времени [0, Ѳ1 |
— Ѳ2], есть точки, распо |
ложенные в полуплоскости х2 |
0. Отсюда вытекает, что |
для начальных состояний, расположенных в полуплос кости х2 Д> 0 , оптимальное управление имеет не более од
ного переключения.
Луч (19.17), (19.24), на котором лежат точки переключе
ния, делит полуплоскость х2 )> 0 |
на две части, в левой |
части оптимальное управление и = |
1 , в правой части и = |
=—1 (см. рис. 19.3).
Фазовый портрет оптимальной системы симметричен
относительно начала координат. Пользуясь этой симмет рией, можно получить картину синтеза оптимального уп равления на всей фазовой плоскости Х 2. На рис. 19.3 эта картина изображена. Для оптимального управления имеет место следующее аналитическое выражение
и0 (хѵ х2) = — sgn {хх + sgn х2).
Функция Веллмана Т° (х) в настоящем примере явля ется непрерывной всюду, кроме точек, лежащих на лучах
хх |
— 1, |
х2 = 0, |
(19.25) |
хх |
1, |
х2 = 0. |
(19.26) |
На луче (19.25) функция Т° (х) непрерывна снизу и раз рывна сверху. На луче (19.26) функция Т° (х) непрерывна сверху и разрывна снизу. Оптимальные траектории не пере секают линий разрыва функции Т° (х).
Линиями уровня поверхности Т° (х) являются прямые линии, т. е. Т° (х) является своего рода линейчатой по верхностью.
3.О ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Втеории автоматического управления важным являет ся вопрос о приведении управляемой системы в заданную точку фазового пространства. Задача синтеза управления, осуществляющего такое приведение за минимально воз