книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

3] СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ 91

Таким образом, систему (2.2) можно привести за время Тг + Т2 в начало координат с помощью управления

которое в силу условий (10.3), (10.4) удовлетворяет нера­

венству

т.+т,

ствующих местах нужно рассматривать расстояния d (т]°,

N s), области F’n (Ns), QT (Na) и Q™ {ANS). По существу,

доказательство сохраняется без изменений. При тп = 6, 7 нужно рассматривать расстояния d (т)° , P s, N s), области

вида (4.12) при тп = 2 и функцию вида (4.5) при тп = 3.

(

Тогда интеграл ^ и?(х) dx будет непрерывной функцией

о

раничениях (1.2) на управление описывается соотноше­ нием

L = {х = — А^Ви: I Kg| M s (s = 1, . . г)}. (11.1)

Систему (1.1) можно с помощью невырожденного пре­ образования (9.1) расчленить на две подсистемы (9.2) и (9.3), причем все собственные значения матрицы А х имеют положительные действительные части, а все собственные значения матрицы А г имеют неположительные действи­ тельные части и среди них нет чисто нулевых собственных значений.

При этом проекции множества L на подпространства Yn и Yn записываются в виде

где В1 cz Yn — ограниченное открытое множество, пред­ ставляющее собой область управляемости системы (9.2).

Таким образом, для того чтобы выяснить условия, при ко­

торой все собственные значения имеют положительные действительные части, предположим, что все собственные значения матрицы А исходной системы (1.1) имеют поло­ жительные действительные части, и будем заниматься ею. При этом, в соответствии с теоремой 7.2, область управляемости Q1 системы; (1.1) является ограниченным открытым множеством.

94 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I

Поставим следующую задачу: найти условия, при кото­ рых L d Q1.

Эта задача представляет самостоятельный интерес, кроме того, результаты ее решения будут использованы при исследовании устойчивости релейных систем и систем] с сухим трением (см. гл. IV).

Множество Ls возможных стационарных состояний си­

при всех s = 1, . . ., г, то L d Q1-

Рассмотрим задачу о выяснении условий, при которых

имеют место включения N s d Ql, Ls d Ql- При этом будем предполагать, как указывалось выше, что все кор­ ни уравнения (3.1) имеют положительные действительные части.

Имеет место следующая лемма.

Из этого соотношения, вследствие того, что матрица А не вырождена, получается

т

^ e~Az dr = (Еп — е~АТ) И-1.

о

Отсюда, пользуясь тем, что все собственные значения мат­ рицы А имеют положительные действительные части, получаем

со

Введем вместо и3 новый управляющий параметр ws с по­ мощью соотношения

получающихся при всевозможных допустимых управле­ ниях ws (т) и значениях Т 0, принадлежит подпро­ странству Xps. Множество точек (11.16) обладает свой­ ством 2°, сформулированным в § 2 (свойство «роста»). При этом начало координат является внутренней в подпрост­ ранстве Xps точкой множества векторов (11.16), поскольку

точка ws — 0 лежит внутри отрезка (11.15). Длина век­ тора (11.17) стремится к нулю при Т —>• оо. Тогда из свой­ ства 2° вытекает, что найдется такое значение Т, при ко­ тором начало координат принадлежит множеству точек

отрезка Ls области (Д, нужно, как видно из леммы 1, вы­

яснить вопрос о принадлежности области Q} концов этого отрезка.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 2. Если рs = п и уравнение (3.1) имеет хотя бы один действительный положительный коренъ А^, то L s ф

Ф Ql

Путем невырожденного преобразования из системы (2.2) можно выделить скалярное уравнение вида

98 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I

в выражение (3.3). Тогда выражение (3.3) предстанет в виде (7.15). В выражении (7.15) почти-периодическая функция Д (т) является суммой конечного числа синусо­ ид; при этом среди слагаемых не содержится постоянной

отрицательные, так и положительные значения. При этом множество

Е = {т е [0, оо): щ -АхЪ, > 0 }

имеет полную меру, поскольку функция це-^Ь, непре­ рывна. Тогда из формулы (11.23) следует, что

при всех единичных векторах ц £= Xps.

Величина (11.23) является непрерывной функцией ар­ гументов т] и Т. Из неравенства (11.24) следует, что для всякого вектора ц найдется такое значение Г, при котором d (ц, Т) 0. Из непрерывности функции d (ц, Т) по ар­ гументу г; и компактности множества единичных векторов ц 6Е Хрз вытекает существование такого значения Т, для

которого d (ц, Т) 0 при всех единичных векторах ц е €Е Хрв. При этом значении Т начало координат будет

внутренней в подпространстве Х Ра точкой множества (11.16) (несмотря на то, что точка ws = 0 не является внут­ ренней на отрезке (11.22)).

Длина вектора (11.17) стремится к нулю при Т — оо. Тогда из свойства 2° множества (11.16) вытекает, что при некотором значении Т начало координат принадлежит множеству векторов (11.14). При этом значении Т точка

(11.21) принадлежит области <2s (Т), что доказывает справедливость леммы.

При условии леммы 3 имеет место также включение

L с Q1.

Теперь возвратимся к общему случаю, когда не все собственные значения матрицы А имеют положительные действительные части. Все доказанные выше леммы яв­ ляются справедливыми для подсистемы (9.2). Поэтому Имеют место следующие теоремы.