Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 376 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2]	расстояния до опорных плоскостей						51
Последнее		неравенство становится			строгим,		если
функции	us (т, Хо)		бо) и us (т)	отличаются		друг от
друга на	множестве положительной меры,					поскольку
us (т!	Оо) — единственная функция, максимизирующая
интеграл	I s (us,	%Q,	а„).	<з0) в интеграл			(2.10),
Подставив функцию и, (х,
получим выражение для расстояния d (ц,					Т) до плоскости
П 7. (Л, ту.
d (ц, T) = MS		^	I це АѢ31dx +
	E S(T, Xо,о„)
	+ ^Г	\	ІПе~АхЧ (I		— %o)dx.		(6.14)

F s ( T , X o , ° o )

Перейдем теперь к рассмотрению случая m = 6. Будем предполагать, что управление (4.12), максими

зирующее функционал (2.10) в классе	функций £2^ (Г),
не удовлетворяет условию (1.8), т. е.	не принадлежит

классу функций £2®(Т). В противном случае задачу мак симизации интеграла (2.10) при m = 6 можно считать решенной.

Подставим функции иР( (т) (5.4) в левую часть нера венства (1.7)

р	m	N\k
\	[u^ (х)]2 dx =	•
о

При значениях

2Р А

/с >

1ѵ;2

функции u f \ х) не удовлетворяют условию (1.7) и, значит,

не принадлежат классу функций £2®(Т).

Для решения задачи максимизации интеграла (2.10)

в классе функций £2®(Т) нужно среди измеримых [функ ций us (х), свободных от каких-либо ограничений, найти функцию, максимизирующую вспомогательный функционал (6.4). Такая функция получается из (6.5)

ОЁЯАСТЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ

ІГЯ. 1

при Ms->• оо:

щ (г,х, б) =

4* (I W~A% I — %) sgn (r\e~Mbs)

= '	при т е F, (Т, %,oc) = Es (Т, X, 0),

0 при r<=Gs(T,%). (6.15)

Выражения (6.9) и (6.10) в данном случае приобретают вид

	§	(I Це~АѢs I “	^	dx =	Фі	G)’
	Ee(T, X,0)
4	^	(I ^ ” Ax^ I —	5C)	=	Ф 2 ( J , X, O).
	Е„(т,х,0)

Путем таких же рассуждений, как в случае m = 7, можно показать, что уравнения (6.11), (6.12) имеют ре шение Хо > 0, б0 > 0, а управление us (т, Хо, о0) (6.15)

максимизирует функционал (2.10) в классе £2® (Т). Для расстояния d (ц, Т) получается выражение

d{r\,T) = - L ^ I ч\е~А% I (I г\е~А% | — Хо) dx. (6.16)

Es(T,Xo, 0)

В параграфах 4—6 получены выражения для расстоя ний d (ц, Т) от начала координат до опорных гиперпло

скостей ПГ (ц, Т) (т = 1, . . ., 7). Эти выражения будут использованы в следующих параграфах для построения областей управляемости.

3. СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ

Найденные в предыдущем разделе расстояния до опорных плоскостей областей достижимости позволяют выяснить структуру областей управляемости. В настоя щем разделе для каждого из семи классов допустимых управлений получены теоремы о структуре областей управляемости. Эти теоремы формулируются в терминах собственных значений системы.

31 СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ 53

Рассматривается задача о так называемой расширенной области управляемости.

В случае первого класса допустимых управлений (огра ничена величина управляющего воздействия) в системе может существовать состояние равновесия не только в на чале координат, но также и в других точках фазового пространства. Здесь изучается вопрос о том, принадлежит множество возможных стационарных состояний области управляемости или нет. Решение этого вопроса пред ставляет самостоятельный интерес, кроме того, результаты его решения используются в четвертой главе при исследо вании устойчивости релейных систем и систем с сухим трением.

§ 7 .	Структура	областей управляем ости
при	т —1 , 2 , 3
Для того чтобы понять, какова структура области
управляемости		Q™,		высним, как ведут		себя		функции
d(rp	Т) при Т -*•		оо	для каждого вектора тр Точнее го
воря, найдем		те	векторы тр для		которых		расстояние
d (т],	Т) остается ограниченным при				Т —>• оо,		и	те век
торы	тр для которых d (тр Т) -> сю при					Г — оо.

Собственные значения %k матрицы А пронумерованы так, что содержащиеся в выражении r\e~A':bs (см. формулу

(3.3)) функции е~х		х1, в которых I =	0, 1, ..., p h — 1,
к = 1, . .	ги стремятся к нулю при X		->• оо. Остальные
функции	вида	X 1, содержащиеся в выражении (3.3),

к нулю не стремятся.

Приравняем в выражении (3.3) коэффициенты при

функциях	X 1, где Z=		0,1,	..., p h — 1,	к = г1 + 1, ...
. . ., г3, нулю:
		цак1	bs	= 0	(7.1)
(1 = 0, 1 ,	. . ., p h — 1;		к = гг + 1 ,		. . ., г3).
Будем рассматривать соотношения (7.1) как уравне
ния относительно компонент				вектора гр	Система (7.1)
		п	Ph уравнений.
линейна и содержит		2	Ph уравнений.		Иначе говоря,
количество	к=>‘і+І
количество	уравнений	в системе (7.1) равно количеству

54 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I

собственных значений матрицы А с неположительными действительными частями с учетом их кратностей.

Присоединим к уравнениям (7.1) условие нормировки векторов р:

П
S -Пі = 1-	(7-2)
І=1

Векторы р, которые являются решениями уравнений (7.1), (7.2), обозначим через р°. Тогда имеем

г,	Pfc-i
I р°e~Axbs К 2	2 I г)°а« ^ ^ х' I-> 0
k=i	і=о

при т — оо, причем каждое слагаемое в правой части не равенства стремится к нулю не медленнее экспоненты. Отсюда получаем

т	п л-		т
5 I rfe~A% I dx <	2	2	I Л0®*/Ь» I $ I е~хь\ 11dx,
о	k = i	г = о	о

и интеграл, стоящий в левой части неравенства, сходится при Т —>■оо, поскольку сходится каждый интеграл в сум ме, стоящей в правой части неравенства.

Если р°е~АхЬа ф 0, то при m = 1 функция d (р°, Т) строго монотонно возрастает с ростом Т и при Т —*■оо стремится к конечному пределу

оо
d (р°, оо) = М, § I r\°e~Axbs I dx,	(7.3)
о

который будем обозначать через d (р°).

Из неравенств (2.7) следует, что область управляе

мости Q\ заключена между	плоскостями
у]°х — d (р°),	—р°ж = d (р°),	(7-4)

которые будем обозначать через ПГ (р°) и ПГ (—р°) {ш = 1). При этом для любого конечного значения Т множество

(?з (Т) не содержит ни одной точки, принадлежащей какой-либо из плоскостей (7.4), поскольку d (р, Т) —

3] СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ 55

строго монотонная функция Т. Следовательно, коорди наты точек X ее Ql удовлетворяют строгим неравенствам

				I	ц°х I <	d (т)°).			(7.5)
Если	г\|° — такой				вектор,		что	г\|°е_АтЬ5 =	0,	то
d (т)°, Т) =	0, d (т)°)			=	0 и координаты точек х Ez Ql удов
летворяют	(см. (3.10))				равенству(
					гі°ж =	0.			(7.6)
Легко	видеть,		что
			со
			^	(т\|0е-Ат68)2 dt			оо.
			о
Если г\°e~Axbs ф 0, то при m = 2 функция d (ц°,										Т)
строго монотонно возрастает с ростом Т и при									Т —*• оо
стремится	к	конечному пределу
d (т)°, оо) =				d (т]°) = I /		PsJ (rfe~A% y d t •			(7.7)
							о
Точки области управляемости Ql, так же как и области
(?8> удовлетворяют условиям (7.5), (7.6).
Из (4.11)		и (4.7)		для пг = 3 имеем
d (ц, Г ) < 1 ,		^	I це~АѢ вI d t +
		Еа(Т, о„)					T
							T
^ - L		a3Ms I і}е~А% I d t = Ms \| r\e~A% \| dt.							(7.8)
Gs(T,o„)							0
Если ті°е~АтЬ8 ф				0, то при тп = 3 функция d (ц°,						Т)
строго монотонно			возрастает с ростом					Т и при	Т —>•	оо,

как следует из неравенства (7.8), стремится к конечному пределу

d (г)°, оо) = d (т)°) = Ms J	I У]°е~АѢ аI d t +
Es(oo, O0)
+	- ~ ^ (p°e_ATbs)2 d t .	(7.9)
	G^oo,a0)

56	ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ	[ГЛ. I
Точки области управляемости Qf удовлетворяют усло
виям (7.5),	(7.6).	этом d (р, Л'~ѵ
Пусть теперь р=Ьр°. Докажем, что при

—оо, если Т -> оо. Рассмотрим сначала случай m = 3.

Из соотношений (4.11), (4.6), (4.8) и (4.9) вытекает

неравенство

d (р, Т) > <Зо {Т)МІ [iEs(T, о0 (Т)) +

+ о0 (Т) [Ps - М \ p£s( f , Go (Г))1 = Psöо (Г)- (7.10)

Покажем, что	о0 (Т) —	оо при	Т — оо.
когда, например,	\| ре_4іЛ	\| =	= const,

из полученного в § 4 выражения о0 (Г) = oAfs

В случае, это видно

Функция Ф (Г, о) при каждом фиксированном зна чении о строго монотонно возрастает с ростом Т. При фиксированном значении Т функция Ф (Т, а), как пока зано в § 4, строго монотонно убывает с ростом величины <з (если только о о'). Отсюда заключаем, что функция о0 (Г), являющаяся решением уравнения (4.9), строго монотонно возрастает с ростом величины Т.

Предположим, что при р Ф р° функция о0 (Т) огра ничена некоторой константой

	о0 (Т) < С	при	0 <	Т <	оо.	(7.11)
Тогда из (4.8) имеем
Ф(Т,а0(Т))>М*#Е,(Т,С) + ~			^	(y]e-^bsf d x .		(7.12)
			G J T ,	С)
Из	неравенства (7.12)	следуют	два	неравенства:
	Ф (Г, оо (Г)) > MltiEs (Т, С),					(7.13)
	ф (Л б „ ( Л )>	^	(ре Atbs)2 dx.			(7.14)
		GJT, С)
	Выражение для функции \| ре At6s \|				можно записать
в виде
I ре	I = е Е*'ТТ" I Д (т) + /2 (т) I >

> e-Eft'V'(|/i(у)I — 1/2(t) I), (7.15)


а]	СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ у п р а в л я е м о с т и		57
где е~ч ''х1' — функция, имеющая при т		оо наибольший

порядок роста по сравнению с другими функциями вида е_Е*х X1, входящими в выражение (3.3); f1 (т) ф 0 — функ ция, являющаяся суммой конечного числа синусоид и

константы; / 2 (t)	0	при		м .	Из условия		ц ф ц0
следует, что — ек>> 0 ,		Г ;> 0, т.		е.	функция е~Е,с'т х1' не
стремится к нулю при т			оо.	когда е~ЕА'т х1'
Рассмотрим сначала случай,							оо при
т — оо, и покажем, что в этом случае рі^ {Т,						С) -*■	оо при
Т — оо.
Из соотношений (4.6), (7.15) получаем
Es (Т, С) = {т е [0 , Т] : I це~А% \| > СМ,} тэ
{т <= [0, Т]	: <fE*'V ' (IU (т) I			-	I /2 (т) \|)>	СМ,} =
= {t ЕЕ [0, Я :	I h (г) I >		/з (т)=	е^ х-і'СМ ,		+ \| /2 (т) \|} =
					=	Е 1{Т). (7.16)

Функция /з (т) — 0 при т —> оо, поэтому множество Е1 (Т) не пусто для достаточно больших значений Т.

Функция /х (т) почти-периодическая в смысле опреде

ления	Г. Бора	[14,	23]. Поэтому для любого Я имеет
место	равенство	[14,	23]
			т

	Н т	^ \|/і (т) \dx = к ]> 0.	(7.17)
	Т-*<» 1	J
		J 1
Выберем произвольное значение а, удовлетворяющее
условиям 0	а <^/с,	и такое значение Ти что / 3 (т) <1 а
при т > Я -	Тогда

Е1 (Т) = { t e [0, Я: \|/х (т) I >	/з (т)}	э { т е [Я. Я:
\|/х(т)	\| > « }	= £* (Л- (7.18)

Множество Е2 (Я , очевидно, не пусто. Имеют место не равенства

			т
$	\| / i ( T ) \| d T > $	( \| / x ( T ) \| - c t ) d x > 5 (I/х( t ) I - а )dr.
Е*(Т)	EНТ)		Ti
Из соотношения (7.17) получаем
	т
	lim 4 Д	(I /і (t) I — а) dt =	к — а > 0.

Т—ОО * «[

58 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. (

Следовательно,			при Т -> оо
				$ \|/l(T )\|d T - > оо.
				ЕЦТ)
Функция	\| / х (т)		I	ограничена,	поэтому цЕ2 (Т) —*• оо при
Т —*■ оо. Из включений (7.16),					(7.18) следует, что p,7?s (Т,
С) —*■ оо при		Т -V		оо. Из неравенства (7.13) получается,
что Ф (Т,	а 0	(Г)) -> оо при Т -> оо, а это противоречит
тому, что	а 0 (Т)			— решение	уравнения (4.9). Следова

тельно, в рассмотренном случае неравенство (7.11) не

имеет	места.	е.
Рассмотрим теперь случай, когда гц> — 0 , 1 ' = 0, т.		е.
когда	т!' == 1. Если pT?s (Т, С) -*■ оо при Т —>-оо,	то

неравенство (7.11) является несправедливым. Предпо ложим, что величина \iEs (Т, С) остается ограниченной

при Т —>• оо. Тогда интеграл
(т)е ATfcs)2 dr	max (rje ATbs)2	(7\ C),
E S(T, C)	«[о, T]

и следовательно, представляет собой ограниченную функ

цию величины Т.		Поэтому		имеем
		T
J (r\e~A^bs)2 dr	=	^	(rje Mbs)2 dr —		^	(це A^bs)2 dr
Gt(T
T
= $ [/x(t) +	/2(T)]2^			— S	(це ATbs)2 dr =
о				ES(T,C)
T			T
$ fl (r) dr			+ $ [2Д (t) / 2 (T) +			ft (T)] d r -
0			0

E8(T,C)

при T —>• оо, поскольку /2 (т) —>■0 при T —>■ oo, a f\ (t> — почти-периодическая функция и

3]	СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ	59
		59

Итак, величина, стоящая в правой части неравенства (7.14), а вместе с ней и функция Ф (Т, а„ (Г)), стремятся к бесконечности при Т оо, чего не может быть, по скольку в 0 (Т) — решение уравнения (4.9).

Таким образом, предположение (7.11) во всех рассмот ренных случаях приводит к противоречию. Следователь

но,

а0 (Т)

—»-

оо при Т -*■ оо, и при тп =

как видно из

неравенства (7.10), d (ц,

Т)

оо

при

Т ->

оо,

что

требовалось

доказать.

что расстояние d (ц,

Неравенство

(7.8)

показывает,

Т)

до плоскости

n f (ц,

Т)

не больше расстояния до пло

скости П’(т], Т). Расстояние d (ц, Т)

при тп =

3, очевидно,

не

больше

соответствующего

расстояния

при

тп =

Из сказанного следует, что если г| ^

т)°,

то d (ц,

Т)

оо

при

Т -*■ оо для

значений тп =

расстояние

Таким образом, для значений тп — 1,

d (ц,

Т) остается ограниченным при

Т —*■ оо

только для

векторов ц = ц0,

которые

являются решениями системы

уравнений (7.1), (7.2). Иначе говоря, множество Q™(Т)

при

Т — оо «остается ограниченным только

по

направ

лениям Т] = Т]°».

Множество точек х, удовлетворяющих условиям (7.5),

(7.6)

при

всевозможных

векторах

ц°,

обозначим через

QГ-

Из определения множества QT в и д н о , что

Q™d qT-

Интуитивно ясно, что множество Q™ представляет собой

искомую

область

управляемости,

т. е.

что

Q™ = Q

Покажем, однако, это строго. Для этого докажем лемму. Лемма. qT c z QT.

Возьмем произвольную точку x' £Е()Г- Предположим, что х' Q™. Поскольку область управляемости Q™—

выпуклое множество, постольку через точку х' ф. Q™ можно провести гиперплоскость П, ни одна точка которой

не принадлежит области ()™. Пусть уравнение гиперпло скости П имеет вид

г\'х = d'.

Предположим, что вектор ц не удовлетворяет системе уравнений (7.1), (7.2); тогда d (ц', Т) -> оо при Т -> с». Для всех значений Т, начиная с некоторого, имеет место неравенство d (ц', Т) Д> d'. При этих значениях Т область

ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ

[ГЛ. I

достижимости Q?(T) содержит некоторые точки гипер плоскости П, а это противоречит тому, что ни одна точка

гиперплоскости П не принадлежит области QT- Предположим теперь, что вектор р' удовлетворяет

системе уравнений (7.1), (7.2). При этом могут предста виться две возможности: либо d (р', Т) = d (р') = 0, либо d (т)', Т) -*■ d (р') Ф 0 при Т — оо. Если имеет место первый случай, то, как следует из определения множества

d' = 0. При этом множество QT (Т) при всех значениях Т принадлежит гиперплоскости П. Во втором случае из

определения множества Q™ вытекает, что	d (т]') X d'.
При этом для всех значений Т, больших	некоторого,

d (т)', T)^>d’ и множество Q™ (Т) содержит некоторые точки гиперплоскости П.

Таким образом, предположение о том, что х' ф Q™, приводит к противоречию. Значит, лемма справедлива.

Из леммы следует, что Q™= Q

Уравнения (3.4), (7.1), равенства (3.10) и неравенства (7.5) позволяют полностью выяснить структуру области

управляемости

В § 3 через XPs обозначено подпространство размер

ности ps векторов X Er. Х п, удовлетворяющих равенствам

(3.10). Иначе говоря, XPg — подпространство векторов х, ортогональных векторам р°, которые удовлетворяют си стеме уравнений (7.1), (7.2) и для которых d (т)°) = 0. Обозначим через Xjg подпространство, являющееся линей ной оболочкой всех векторов р0, принадлежащих про странству Xps- Через Xps обозначим ортогональное до

полнение подпространства Xj до	пространства		Хр
т. е. ХІ X XI , X l + XI = Хр .
Обозначим через 7?Г множество	точек х	X J,	удо-
		S

влетворяющих неравенствам (7.5). Возьмем произвольную точку X QT; тогда имеет место разложение х = х1 + + х2, где X1 Xps, X2 GE XPg. Для всякого вектора т]0 GE

£Е ХІ имеем

d (т]°) Д> I т]°х I = I т)° (х1 -)- X2) I = I т)°х1 I,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 376 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ