книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

3l СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ 6t

следовательно, z1 GE RT- Пусть теперь задана точка х1 GE

Таким образом, х G E Q? тогда и только тогда, когда хх GE

е і ? Г (рис. 7.1).

Вследствие того, что неравенства (7.5) являются стро­

тое множество.

Если ps = тг (система (2.2) вполне управляема), то Хр =

== Хп. При этом уравнения' (7.1) линейно независимы, по­ скольку система (7.1) являет­ ся частью системы (3.4) ран­ га ps = п. Размерность под­

пространства Xps = Хп в этом

случае равна размерности фундаментальной системы ре­ шений уравнений (7.1). Раз­ мерность фундаментальной системы равна

Г3 г,

п2 Рк ~ 2 Pkt

R™ С Xjg — ограниченное открытое множество (сечение цилиндра). При рs = п размерность подпространства

Хр„ равна числу собственных значений матрицы А с по­ ложительными действительными частями с учетом их кратностей.

Сформулированный результат для случая т = 1 со­ держится, например, в работе 128].

Полученные в настоящем параграфе формулы для рас­ стояний d (rj°) до опорных гиперплоскостей ПГ (т]°) об­ ластей управляемости QГ (т = 1, 2, 3) могут быть исполь­ зованы для построения областей управляемости в кон­ кретных случаях. Это видно в приведенных ниже частных случаях, а также иллюстрируется на примерах, рассмат­ риваемых в конце настоящей главы.

непосредственно к системе уравнений (7.1), то легко уви­ деть, что она совпадает в настоящем случае с системой (3.4), которая при ps = п имеет только нулевое решение. Следовательно, d (р, Т) -> оо при Т —>■ оо для всякого вектора г) ф 0. Для m = 1 настоящий случай при неко­ торых дополнительных предположениях рассматривался,

например, в [9, 26, 47].

2. Матрица А имеет одно положительное действитель­ ное собственное значение Я15 кратность которого p t = 1, все остальные собственные значения имеют неположитель­ ные действительные части. В этом случае система (7.1) состоит из п — 1 уравнений, которые при ps = п линейно независимы. Уравнения (7.1), (7.2) имеют при этом толь­ ко два решения, отличающиеся друг от друга знаком: т)° и —т]°. Для функции I r\°e~Ar:bs1имеет место выражение

О

64 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I

Эти равенства имеют смысл при 2ХгР а 7> М\. Из выраже­

-V $ (лп<*іA )2e~2^xdx = Ps-

ao 0

Пользуясь этим соотношением, из (7.9) получаем

Таким образом, при т = 3 имеем

*>р,

ІИ2в при 2ХіPs)>M 2i

при 2A,iPs Mf. (7.21)

Нижняя строка в (7.21) совпадает с выражением (7.20).

Область (?Г (иг = 1, 2, 3), как следует из теоремы 7.1, представляет собой в рассматриваемом частном случае множество точек х ЕЕ Х п, заключенных между двумя ги­

перплоскостями ПГ(л°) и ПГ (—г)°), ортогональными век­ тору т]0 и находящимися на расстоянии d (л°) от начала координат. Этот результат для т = 1 содержится, на­ пример, в работах [26, 30].

Корни kh уравнения (3.1) пронумерованы так, что содержащиеся в выражении це-АхЬв (см. формулу (3.3))

е~х*т X1, содержащиеся в выражении (3.3), не являются ограниченными на полуоси [0, оо).

Приравняем в выражении (3.3) нулю коэффициенты при неограниченных функциях е"г^х1:

Будем рассматривать соотношения (8.1) как уравнения относительно компонент вектора г|. Количество уравнений, входящих в систему (8.1), определяется числом

Г 2 г 3 г 3

личина г2 — гг равна числу корней уравнения (3.1) с ну­ левыми действительными частями без учета их кратностей.

Векторы р, которые являются решениями уравнений

ряют условиям (3.10), т. е. область Q\ принадлежит под­ пространству Х р .

Если yfe~Mbs ф 0, то d (р°) Ф 0, область управляе­ мости Qi заключена при этом между плоскостями

nf (г)°) (7.4). Для тех векторов ц0, для которых функция d (ц0, Т) строго монотонно возрастает с ростом Т, мно­

Функция d (ц0, Т) не при всяком векторе т)° строго монотонно возрастает. Если, например, вектор ц0 такой,

конечном значении Т и больше «не расширяется в направ­ лении т]°». При этом на плоскостях П* (т)°) существуют

точки, принадлежащие множеству (Д- Из сказанного выше следует существование таких

векторов т]°, что координаты точек х ЕЕ Qt удовлетворяют

Из неравенства (8.5) следует, что условиям (3.10),

Рассмотрим случай т = 5 (при условии (6.2) такое рассмотрение охватывает также и случай т — 7).

Из соотношений (5.17), (5.13), (5.16) вытекает нера­ венство

монотонно возрастает с ростом Т для каждого фиксиро­ ванного значения %. При каждом фиксированном значе­

дует, что функция Хо (Л> являющаяся решением урав­ нения (5.16), строго монотонно возрастает с ростом ве­

Выражение для функции |r\e~Axbs | можно записать в виде (7.15). При этом, в отличие от случая m = 3, в рас­ сматриваемом”*' здесь случае пг = 5 имеем: если ц уь ц0,

то всегда е~гк'~ т1' -а- оо при т ->■ оо. В §’7 доказано, что если е~е]с'~ г 1' —>- оо при т —>■оо, то

\xEs (Г, С) оо при Г —V оо.

Из неравенства (8.8) получаем

(Л Хо (Л ) 00 при Г -> оо,

а это противоречит тому, что Хо (Л — решение уравнения (5.16). Предположение (8.7) приводит к противоречию, зна­ чит, Хо (Л при Т -*■ оо. Из неравенства (8.6) полу­ чаем, что d (г), Т) -а- оо при Т ->• оо.

Рассмотрим при условии (6.3) случай m = 7.

Пусть при некотором векторе ц Ф ц0 для всякого сколь угодно большого значения Т' найдется такое значение