книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

и »СЯЯхПуеличнАя

Н£У*І о тг: - ИЧЕСКАЯ

Управляемость и устойчивость систем с ограни­ ченными ресурсами. А. М. Ф о р м а л ь с к и й . Глав­ ная редакция физико-математической литературы изд-

ва «Наука», М., 1974, 368 стр.

Ограниченность ресурсов управления в реальных системах автоматического регулирования приводит к тому, что не из всякого начального состояния можно вывести систему на желаемый режим работы. В книге рассматривается задача определения таких начальных состояний, для которых это возможно.

Для разомкнутых систем автоматического регули­ рования задача решается путем построения областей управляемости, а для замкнутых—путем построения об­ ластей притяжения. При этом исследуются случаи, ког­ да ограничены сила, энергия и импульс управляющего воздействия. Изучаются некоторые вопросы бы­ стродействия. Рассматриваются летательный аппа­ рат, гироскопический стабилизатор и другие примеры.

Илл. 79. Библ. 90 назв.

© Издательство «Наука», 1974.

Александр Моисеевич Формальский

УПРАВЛЯЕМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ОГРАНИЧЕННЫМИ РЕСУРСАМИ

(Серия: «Теоретические основы технической кибернетики»)

М., 1974 г., 368 стр. с илл.

Редактор В. В. Александров

Технический редактор В. Н. Нондакоса

Корректоры Е. А. Белицкая, А. Л. Ипатова

Сдано в набор 27/ХІ 1973 г. Подписано к печати 28/11 1974 г. Бумага 84хЮ8Уа2. Физ. печ. л. 11,5. Условн. печ. л. 19,32. Уч.-изд. л. 18. Тираж 4000 экз.

Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

2-я типография издательства «Наука». Москва, ІНубинский пер., 10

30501-041

179-74

Ф 053(01)-74

1.Необходимые условия устойчивости и оценка обла­

ПРЕДИСЛОВИЕ

В реальных системах автоматического регулирования ресурсы органов управления обычно бывают ограничены. Вследствие этого систему регулирования не из всякого начального состояния можно вывести на желаемый режим работы. Так в теории регулирования возникает проблема об определении области начальных состояний, из которой систему можно привести в желаемое состояние. Задачи, рассматриваемые в первой и третьей главах настоящей книги, примыкают к этой проблеме.

Наличие ограничений, накладываемых на ресурсы управления, вызвало к жизни в теории автоматического регулирования проблему оптимального управления, ко­ торой посвящено огромное количество работ. Задачи, рас­ сматриваемые во второй главе, относятся к этой про­ блеме.

Между упомянутыми проблемами существует тесная связь. Этим объясняется родство математических методов, применяемых для решения задач первой и второй глав.

В настоящей книге рассматриваются три вида огра­ ничений: ограничение величины (силы), энергии и им­ пульса управляющего воздействия. В системе может иметь место какое-нибудь одно из этих ограничений, либо не­ сколько ограничений одновременно.

В первой главе для систем регулирования, описыва­ емых линейными дифференциальными уравнениями, ис­ следуется задача об определении множества начальных состояний, из которых систему можно привести в начало координат. Это множество называется областью управ­ ляемости. В большинстве опубликованных работ, которые затрагивают вопрос об областях управляемости, рас­ сматривается только ограничение на величину управля­ ющего воздействия. Задачу о построении области управ­ ляемости при этом ограничении впервые поставил и ис-

следовал Р. Е. Калман. В настоящей книге, кроме этого ограничения, исследуются два других, а также изучаются случаи, когда на управление наложено несколько огра­ ничений одновременно. При этом рассматриваются все­ возможные сочетания указанных выше трех ограничений.

Несмотря на большое количество (семь) всевозможных сочетаний, структура области управляемости, как выяс­ няется при решении задачи, может иметь всего два вида, в зависимости от того, наложено ограничение на импульс управляющей силы или нет.

Решение задачи начинается с изложения свойств об­ ластей достижимости. Эти свойства исследуются в работах многих авторов и хорошо известны специалистам, зани­ мающимся вопросами теории оптимального управления.

Вторая глава, посвященная исследованию некоторых задач быстродействия, состоит из трех разделов.

В первом разделе изучается проблема быстрейшего приведения в начало координат линейной стационарной системы в случае, когда ограничены величина и импульс управляющего воздействия одновременно. Эти два огра­ ничения присутствуют одновременно в тех системах, в ко­ торых органами регулирования являются реактивные двигатели. Задача быстродействия при наличии этих ограничений обладает определенными особенностями, по сравнению с задачей быстродействия при наличии только одного ограничения на величину управляющего воздействия. Поясним в двух словах эти особенности. Допустим, что система содержит один управляющий параметр и является вполне управляемой. Тогда при наличии ограничения только на величину управляющего воздействия область достижимости будет строго выпуклым множеством. В то же время при наличии ограничения на импульс область достижимости не является, вообще говоря, строго выпуклым множеством, т. е. ее граница содержит плоские участки. Это обстоятельство осложняет решение задачи, в частности, доказательство теоремы единственности. Ограничение на импульс управляющего воздействия вызывает трудности также при исследовании вопроса о синтезе оптимального по быстродействию управления. При решении задачи синтеза нужно в ка­ честве дополнительных фазовых переменных вводить величины, характеризующие импульсы управляющих

10 ПРЕДИСЛОВИЕ

воздействий в текущий момент времени. Поэтому, на­ пример, в системах второго порядка с одним управляю­ щим параметром картину синтеза приходится строить в трехмерном пространстве. Подобная ситуация в задаче синтеза является типичной при наличии интегральных ограничений на управление.

Во втором разделе решается задача о быстрейшем при­ ведении системы на заданную в фазовом пространстве гиперплоскость. В процессе исследования показано, что переключение оптимального управления нужно произ­ водить на гиперплоскостях фазового пространства, урав­ нения которых удается выписать. Таким образом, задача быстрейшего попадания на плоскость является одной из немногих, в которых удается аналитически построить поверхности переключения оптимального управления.

Некоторые обстоятельства, позволяющие осуществить приближенное решение задачи синтеза оптимального управления, рассматриваются в третьем разделе второй главы.

Третья глава посвящается исследованию замкнутых систем автоматического регулирования, т. е. систем с обратной связью, в отличие от разомкнутых систем, рассматриваемых в первой главе. Ограниченность ресурсов органов управления накладывает ограничения на сигнал обратной связи.

В первом разделе третьей главы изучаются системы с линейной обратной связью. При этом рассматривается каждое из трех упомянутых выше ограничений, наклады­ ваемых на сигнал обратной связи. Исследуется вопрос о построений в фазовом пространстве области притяжения начала координат, т. е. множества начальных состояний, из которых система асимптотически приходит в начало координат. Искомые области притяжения находятся внут­ ри построенных в первой главе областей управляемости. В тнекоторых случаях области притяжения и управляе­ мости совпадают. Следовательно, с помощью области управляемости можно оценить «сверху» область притя­ жения.

Случай нелинейной обратной связи изучается во вто­ ром разделе. Здесь, применяя критерий В. М. Попова абсолютной устойчивости регулируемых систем, удается построить «достаточную» область притяжения, т, е, мцо-