книги из ГПНТБ / Бровкин Л.А. Температурные поля тел при нагреве и плавлении в промышленных печах учеб. пособие

i* текущем температурном поле' тела. Тогда решение (IS-Л)

запишет­

ся для установившегося режима в

очень простом виде;

T - - y o ) , K F

o

+ - f j X

z- f ^

•••14—П

Й8 (14-П)

следует, что в сечении тела между любыми двумя коорди-

наташ

Xj и

У а устанавливается постоянство

перепада температуры

Т(Х■: , Х « ) - Ж , К ) - £ ; ( х Г - х Л

, 15-П

Максимальное значение перепада составит

■ Д Т - T(t,Fo)-T(o,Fb)

=

пост

. . .16-Г

Если перейти к скорости нагрева

Ц град/сек,

то формула

(16—П)

запишется в виде ;

IJ-RZ

.. Д7-П

Д Т = ~Я-....Л- = пост .

2 кСи

Градиент* температуры на обогреваемой поверхности составит

9 J

К

UR- = ПОСТ

I•16-П

э х .

к - а

Тепловой поток на тело навдется равным

2 . Э Т

3

URZ

cRU

пост

..19-П

Я * К эх " К ' к а."

К

Пример расчета

Задача;

Рассчитать нагрев от (Яс пластины стали ( R -0,4 м;

0,= 2

КГ5 м2/сек ),

склонный к хрупкому разрушению при температуре

К =2к дТ =2 1 400,=

800 град/ или

/7 =

К ' р а ,

к

8 С0 — Ц -

= U,i град/сек.

i\

о,4г

д*

*»

Приняв ражим нагрева при

/<( =

800 = пост до достижения в цент­

ре температуры 50С°С, найдем нео.ходикое для этого время F o ^

из

более простого уравнения (14-П):

500 =

о + eco-Fo + ^29 (о ~JL)

*

2 1

2+1

Откуда

f o = ~

= 0,792.

1»(ы нз вправе были^очевидно,применять уравнение.

(14-П), т .к .

0,792

< 1,6

я полученный результат недостоверенПроведем

расчет

значения

F o K по уравнения (18-ГО:

/> чл

( п 1,

Решая подбором уравнение (20-IT) относительно

/ Ч . подучим

06».

§ 3,

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ TEA ПРИ ГРАНИЧНОМ УОЛОШ

2 РОДА ( <^= ПОСТ1)

U

Обобценная,расчетная формула

^

Решение уравнения теплопроводности

(13-1)

при начальном условии

7*(Х? О)и граничных условиях (27-1) л (37-1)

можно записать наложе­

нием двух независимо развивающиеся во времени полей;

T ( X ,F o ) - T '(X ,F o ) + T "(X, Fo)f

...а-п

где, как и в 1§ 1,

поле T ' ( X j F o )

определяется граничными условиями.

а поле Т r' ( X , F o )

зависит только

от начального условия.

\

В развернутом виде поле

Т

( Х } Fo) записывается как решение

уравнения теплопроводности

при начальном условии Т ( Х ^ о )

для

теплоизолированного тела.

Так,

для пластины имеем;

,

■

£-f

\

■J Т(Х,о) с о б ( 1 л Х ) с 1 ) ( '

. . . 22-П

при Т(х,о) = Т0

интеграл в (22-П) равен нулю и

~Т ( X , F o ) ~

' /

= \ ( о ) ~ ' Т 0,

В раеверцутом виде т л е

X,/-(^записывается как решение

уравнения теплопроводности

при граничных условиях (27-1) и (37-1)

и при «уловом начальном условии:

Т Ь Л ) = 4 * [к Fo +

-

Х ^

дф(»еЮ

A J » t h -

;

. ■,

%

Vg - корни характеристического уравнения

3 *О >г)

= 0.

...25-П

k Fo +

У

.-..s m

_ . . .

С*/ VI

где 0 — - f o * ' ^ ~-^5^-безразмертя температура..

В частном случае, когда

Т

( XjFo)~ ~[Ср(о), безразмерная темпера­

тура запишется в виде ;

[T(x,Fo)-TJo)l

2

5._йзазистациопасный ражим нагрева

Начиная о момента времени

, сумма рада в

(26—П) стано-

вится ничтожно малой. Тогда

Q - к го ■+ х а

к

...27-П

&

2 ( Z,+ кj

в (xt,Fo) - 9(XZjFo)= ^t fХ1Z~ X l) = пост..

...28-П

3 инженерных расчетах формулу (26-П)

чаде применяют з размерном

виде:

~Т(Х, ,Fo)~ T (X Z iFo)-=

. Х % ) .

. . . 2$vn

д Т ^

Я А

Jjd.

,.30-П

Время запаздывание

в достижении значений температуры в точке /■ ^

по сравнению с точкой

X^ является величиной постоянной:

a Fo

Л

-

АХ

...31-П

г к

' - г

Скорость тгрева. любой точки тела выражается формулами:

U

_ У !

К 3 : • / / * jL L - *

• /X

= К

д г

с р^

^

Л

ЭРо

^

у Л

Э Р о

Заметим,

что закономерности

квазиетациокаркого режима и уста-

невивсегоея режима при К = пост

(§2 гл.П)

совпадают, поскольку и

-

64 -

T (x ,F o )~ ^ o

Jt}(Fb-i)Tf (x,e)dai

...s 2-n

где

-Р

О

(21-П) при

=1=пост.

- температурное поле по формуле

В общем случае,

любой закон (7 ( Fo) можно представить полиномом

/"■41-V

'

со

П/

9* I A Fo

«••33-П

'

« - о

Тогда для неограниченной пластины имеем;

и*э

а- Г т - т О - 2

+

7Г

■1 = 0

t 4

,«+( .

...3 4 -П

где

[h)

п -го порядка

от функции

/ с '

- проиаводная

С^(гОJ,

5. Заказ 719/р

- 65 -

ф

я + K j x ' - i M j x " - г л i j +

+ K J F - s A ? * г- # h K J x ‘- $ A f x - f л

^ ) +

K

j x 1- i M

+ M X - 3 1 0 x ‘l+ 3 B f X z- - ^ ) + . . . ,

...35-П

где

К ,

31си)

'С»)

ty‘(Zn+z)!

режимом нагрева пластины при монотонном характере

закона

С^{Fо )

Средняя по массе температура пластины ив

(35-П)

определится

выражением;

Fo

'

Т ^ - у о ) = j - J q ( F o ) d F o .

. . . Зб-П

T.о., первое слагаемое.правой части решения (35-П) определяет значе­

ние .србдней температуры тела,

а последующие слагаемые отражают sa-

кон распределения температуры в его сечении.

В первом приближении

можно ограничиваться двумя слагаемыми, и тогда вакон Т(Х)

выража­

ется квадратичной параболой.

Во втором приближении учитывается 3

слагаемых, и вакон т г х ) описывается параболой четвертой

степеш

и т.д.

Коэффициенты перед слагаемыми К ^

быстро уменьшются по

мере роста номера слагаемого,

что обеспечивает хорощую сходимость

решения (25-П). Найдем

для такой разновидности установивше­

гося нагрева, как, например,

регулярный режим (см.ниже § б),когда

I/

J_

“ of

W/2'

.

/ / _

0*1

.

К _

_

“ еем “ (О)

Z J

Z4

’

'V )

Й-ZO

’

^(Ь)

*W3>ZO

где

f •

b T - T o , F o ) - T ( o , F o ) = 4 f K r V

V

5*

- 67 -

§ 5. РАСЧШЩ НАГРЕВА МЕТАЛЛА

В ПЕЧАХ ПРИ

ГРАНИНЫХ

УСЛОВИЯХ 2

РОДА

Граничные условия

=пост или <^, = Д т )

могут быть заданы и

емого тока.

В печах топливных величина (р

зависит

от законов

теп­

лообмена печь-металл и температурных полей металла,

обцуровки,

га­

зового

тела и величину

трудно контролировать и жестко выдержи­

вать по заданного закону

^ ( q )

Ь-Кагрев металла при _^_=пост

Задача:

Рассчитать

нагрев .пластины стали

( R =0,4 м; & = 2

/\ = 20 вт/м град;

t 0=

0°С), склонной к хрупкому разрушению при

температурах нике 500°С.

Величина термических напряжений допустима

для целостности

металла,

если перепад температуры по сечению тела

не превысит

д£"

= 400°С.

Решение:

Перепады температуры в сечении тела по формуле (21-П)

можно связать с величиной теплового потока на тело

. В предполо­

жении,

что

в ходе шгрева устанавливается квазиетаыионарный режим,

можно воспольвоваться более простой формулой (27-Ю

и вытекающим

ие нее следствием

(30-П).

Тогда допустимая в ходе нагрева величина

У

R

0,4

Примем ва режим нагрева пластины режим при

=4000СЬпост- и найдем

по формуле (27-П)

время нагрева

Гок из условия ~Ь(0) Рок) =500°С

или

Q (0, Ро*)= 20 § ^ = - 2 ^ =

0,625.

40000

0,4

о

0,625 = 1 FoK + j

-

2 О?-И)

0,7*92 0,42

Откуда FoK = 0,792 или

''t-H ~

6340 сек=1,76 часа.

2

10"5

Расчет мокко считать

окончательна!.поскольку

0,792 > 0,5; и мы

ненной к постоянной величине (£Ср , равной удвоенному потоку С^к ,

• который обеспечивается печью в момент Fok

при достижении заданной

конечной температуры нагрева металла 7* .

Значение

к , в свою .

очередь, определяется тепловой мощностью печи и ее температурой,ко­

Тк -Сформулируем условия задачи:

Рассчитать

время нагрева условно­

го

плоского стального слитка

( R - 0,4 м} О. =1 1СГ® м^/сек; Я =

=20

вт/м

град; tQ= 0°С) в нагревательном колодце до достижения по­

верхностью

слитка темпер муры

~ЬК= 1200°С,

если можно принять тем­

пературу печи в конце нагрева

Ьп

= 130(ЯС,

приведенный коэф}ипиент

излучения печь-металл (£п = 4 10"® вт/м^град

и коеффициект теплоот­

дачи конвенщей сА = 30 вт/м^град.