книги из ГПНТБ / Бровкин Л.А. Температурные поля тел при нагреве и плавлении в промышленных печах учеб. пособие
.pdfг л а в а n. LiLSLJLS=LL==l=^=LI:= -lL b !=4 =-S=4=LI=3 J=IJ=l=P=ILLP=P=P^=LiJ=LT=z
Линейная задача теплопроводности состоит в решении системы ли нейных относительно искомой функции Т уравнений в частных произ
водных: уравнения теплопроводности (12-1) и краевых условий, мате матическая физика разработала ряд методов решения линейных задач теплопроводности, позволяющих свести уравнения в частных производ ных к уравнениям в полных производил: и получить интегрированием точные решения любых самых сложных линейных задач. Уетоды решения подробно освещены в монографиях [ 11,1 o j.
В литературе приводятся все новые решенные линейные задачи при вое более усложняемых краевых условиях. Практически в настоящее время решены все линейные задачи, представляющие какой-либо инте рес для печной теплотехники. Многие из известных реше^й никогда не найдут применения в инженерной и научной практике из-за крайней громоздкости и трудоемкости и большой погрешности. Ре следует за бывать, что точные сами по себе решения линейных задач идеализи рованы и в рада случаев далеки от действительности, т.к. не учи тывают лучистого теплообмена, зависимости коэффициентов и парамет ров теплообмена от температуры, фазовых превращений и т . п . ’
»!ы ограничимся ниже систематизацией наиболее простых готовых решений линейных задач и их приложением к инженерной практике.
- 50 -
§ 1. ТЁРДЁРАТУрсОЕ noLg ТёлА ПГССТОЛ ФСР„!Ы П?й сАРДРРШ ЬАлОНЁ йокЗКЕКЯ TiE!ЛП5FAТУРЫ ЕГО СЬОГРЁВАЕЫОЛ ПОЗВЕХРОСШ T(l. Fo)
1._05обя\ер^ая рсчет^ая фор^ла
Дифференциальное уравнение теплопроводности (13-1), начальное условие Т(Х;0)и граничные условия (26-1) и (37-1) образуют сис тем линейных уравкедай. Общее решение подобных систем не встреча ет принципиальных трудностей и получается наложением частных реше ний. В нашем случае:
T(X,F„) = T /(x,Fo) + T"(x,Fo)t
где |
|
|
|
|
|
Т '( Х ,В ) = Т ( 1,го) - г | 4 |
^- 1Х р ( - $ Fo) ■ |
||
|
|
• Г е - х р А б Й |
|
d t |
т*(х, Fo) = e |
00 |
р |
|
|
l A f txp(-b;Fo) JA 1[T(X,0)-T(f'0j]clx |
||||
«В форьулах (2-П) |
и (3-П) через А , |
обозначена обобщенная на все |
||
три простейших формы (пластина, шлиндр, шар) |
функция, отражающая |
|||
вакок изменения температуры по сечению тела |
(лямбда-функция тем |
|||
пературного поля при граничных условиях 1 рода): |
||||
|
X2,-К |
|
...4-П |
|
|
А . |
3^ 5t ) |
|
|
|
|
|
|
|
где |
( и ) - |
функция Еесселя первого рода порядка " т " от аргу |
||
|
|
мента " Мн| |
|
|
4* ' |
- 51 - |
б[> - корни уравнения |
|
с / к - г ( &(. ) ~ О' |
. . Л |
Z |
|
саметим, что для дробных порядков функции |
Бесселя выражаются |
через тригонометрические по формулам ; |
|
с о > и ‘, |
|
^пи:
Э* Ы - Ш л¥ : - 0* и);
Для конкретнее (рорм тела запись приведенных выше формул упроща-
2*_А^лиз обобщеной_фор^уды (1-П)
* Как и во всех других линейных задачах теплопроводности темпера турное поле (1-П) представлено наложением (суперпозицией) двух нева.
висимо развивающихся во времени температурных полей. Первое из этих полей 7" (X} Foj (формула (2-ГО) отражает заданное гранимое усло-
- 52 -
•Ив Т (t >F b ) - T 0 , 0 ) * ' n F o ) и никак не связано с законом ис |
|
ходного распределения температуры в теле T(X^D) . Второе поле |
|
Т fX) Ь)^(форцула (5-ГО), |
наоборот, учитывает влияние только на |
чального условия 7"fX,ОJ. |
Заметим, что температура поверхности |
тела в исходный момент времени 7"(V, 0) обычно входит в |
запись и |
граничного и начального условий, но при наложении полей |
~Т/(XJFo) |
и Т \ Х; Го)должна учитываться только один раз и ее абсолютное зна чение должно быть отнесено к записи или первого или второго поля,
В формулах (1-П) |
и (2-П) мы отнесли |
Т ( 1 0) к первой составляющей |
|||
■суммарного поля. |
Тогда для второго |
поля следует, принять Т(^О) = О |
|||
и отсчитывать все |
поле 7 "(X ,F o ) |
от этого УСЛОВНОГО нуля. Говоря |
|||
другими словами, |
в этом случае второе поле следует записывать Для |
||||
приращений T(X,Fo)-~T(l,о), что мы и имеем в формуле |
(3~П). Так, в |
||||
частном случае Т (f} 0) |
5» T f X , о). |
(в момент |
Fo = |
0 в сечедаи |
|
тела температура даже, |
чем'на его поверхности |
X. = 1) |
полеТ" (Х) Fo) |
||
будет представлено отрицательными температурами. |
\ |
||||
|
|||||
3.__Вяи®ие_на температурное поле_тала начальное условий .
Обратим внимание на особенности той составляющей общего поля тела, которая учитывает начальные условия и записана выше в общем виде .формулой (2-П). Для наглядности анализа формулу (2-П) перепи шем для одного из частных случаев, например, неограниченной пласти ны ( К= I):
Г ( х , Р о ) = Z l c a s ( ^ i j r x ) e x p [ - ( S & l x f F o ] -
i |
С=1 |
|
|
■ |
' |
...6-n |
|
■J[T(X,0) - 7 ( i , o ) ] c o i ( ^ - j r X ) d X . |
|||
0 |
|
|
|
- 53 -
Ряд (б-П) быстро сходится по каре роста времени Fo и,начиная с Fo=0,2 с точностью до 25ь сумш ряда может быть представлена только одним первым членом. По мере роста Fo уменьшается и сама величина суммы ряда. При ho > 1,8 о погрешностью менее 1}с (пог
решность относим к максимальному перепаду температуры по сечению
тела в исходный момент |
T(1,0)~'T(0J0) ) |
моейо принять Т ( Х}Fo)= 0. |
|
Таким образом, начальное условие, выражаемое любил законом ~Т(Х^о), |
|||
отравится на температурном поле тела (1-П) |
при |
Fo > 1,8 только |
|
черев величину Т ( 1,0) |
, поскольку только |
ота |
величина уодтквает- |
ся в оставшейся составляющей поля Т (X,Fo') . |
Резким нагрева, в |
||
котором температурное поле тела уже не зависит от закона ~Т()(,0')
носит название установившегося при данном граничном условии режима.
Установившийся режим, естественно, |
описывается упрощенной матема |
|||
тической зависимостью. |
|
|
||
Из сказанного не следует, что, |
если нагрев тала продолжителен |
|||
и |
F o > 1,6, то закон 7f r o ) можно вообще не учитывать в расче |
|||
тах. |
Так, подсчет |
поглощения тепла телом за все |
время нагрева не |
|
возможен бев учета |
начального условия ~Т(Х,0) |
. Градиенты темпера |
||
туры (и тепловые потоки), обусловленные составляющей поля ~T/(XJFv^
макно найти дифференцированием |
(6-Л): |
|
|
% } |
|
4,0)- m |
...7 -П |
|
|
||
d T ' ( c , F o ) |
= 0 . |
|
. э х |
||
...8 -П |
||
- |
54 - |
саметам, что поле (3—П) (или его частный случай (6-Ш ) мажет трактоваться и как решение самостоятельной задачи теплопроводно сти при краевых условиях
Т(х,о) ■, то,Fo)*o |
* Щ |
г М - 0 . |
|
|
о л |
4,_%стнне_случаи начальных условий |
||
В частных случаях формула |
(3-П) |
может быть записана достаточно |
просто. Так, при исходном тепловом равновесии тела (Т(Х, 0)=Т(1, 0)-
=То) имеем Т(X,Fcj=0. Если Т(Х,о)=Т0, ко на поверхности в момент
Fo - О температура мгновенно повышается до некоторого постоянно
го в дальнейшем значения |
T(l^O)-=~l(j; Fc]^TnBg, то |
|
|
с о |
« |
|
|
T ‘( X , F o ) - z 7 ^ |
t x p ( - 5 * Т о )(Ъ - T „J . |
. ..9-П |
|
0=/ |
^ |
. |
|
При начальном условии |
(24-1) из (3-П) найдем: |
|
|
Т 'Г х , FoJ = ■ - А Т 0 £ |
% Л , t x p ( - « ?*> ). |
•»• |
|
Из начального условия (25-1) следует.’
Пх/Ь)~ € r b exp{-aF °P ,(-oeF A ] .
5 ._Пример расчета темпарат£ррого_подя по_форьуле__(1-Д)
Подсчитаем температуру на изолированной плоскости пластины
(Х= 0) по истечении времени Fo = 0,5 после мгновенного повышения температуры обогреваемой плоскости пластины (Х=1) до 100(ЯС и под-
55 -
дерзания граничного условия Т( 1,Fo)=1000+1000Fo, если исходное
распределение температуры в сечении пластины отвечает прямой ли нии Т(Х, 0) = 10QX.
Из формулы (1-П) следует; |
|
|
|
Т( 0; 0,5) = Т У( 0;0,5) |
+ тЛ о, 0,5), |
|
|
Составляющую Т/ ((^0,5) |
найдем по формуле |
(2-П), записав ее в со |
|
ответствии с условиями |
задачи |
|
|
Т (0 ;0 ,S j= {0 0 0 + 1 00 0 -0 ,5 - Z j_ |
W ( 6 t -O J" |
||
0,5 |
^ |
^ |
|
•t x p (- &*■0,5} J tx p (б*£j fj (1 000 + 1OOO4)d £
0
Или
T ' ( o ; o,5) = 1 5 o o - |
Z o o o У |
|
0- |
||||
|
|
||||||
- ex |
|
|
|
|
|
|
|
Или с точностью до половины градуса |
|
|
|||||
Т (0;0,5) |
= 1500 - |
Збб + 19,1 - |
4,1 + 1,5 - |
0,7+...= 1150°К. |
|||
"Вторую составляющую искомой величины Т (0;0,5) |
найдем по формуле |
||||||
16-П):г |
|
00 |
|
|
|
|
|
* *|"/// |
, |
s |
) |
= |
° ) е х р [ ~ ( |
) ^ d ' |
|
" ( о - o |
|||||||
■J[ioox-Юоо]соз(Щр1 г Х ) dx
- 56
или
Г (zlt-i)j - 9 (~0 ]
или, ограничиввдсь с высокой в данном случав точностью учетом толь ко первого «лене, рада, получим Т (0;'0,5) = - 357°л.
Окончательно имеем Т(0; 0,5)=1150-357=793°й.
§ 2. РАСЧЕТЫ НАГРЯЗА Ж М М 3 ПЗЧАХ ПРИ ГРАНЙЧЩХ УСЛОВИЯХ 1 РОДА
С использованием формулы (1—11) построен рад методов инженерных
расчетов температурных полай нагреваемого в печах металла. В главах
ILи УП мы рассмотрим новый еффективный метод расчета оопрядаетых и
нелинейных задач нагрева металла - метод дискретного удовлетворения граничных условий, когда искомые температурные поля находятся в_ ви де (1-П). Нижа ограничимся решением двух распространенных в инженер ной практике задач.
!•. ^счет^вдетжки Хтомл^гия) _металла_в_певд
На основе (1-П) и (10-Я) можно написать расчетное уравнение
процесса вццеркки |
в печи металла после достижения на его поверхности |
|
заданной конечной |
температуры |
целью снижения перепада |
- 57 -
где |
6 |
- степень выравнивания температуры. |
|
|||
Формула (12~П) строго |
справедлива только при начальном условии |
|||||
(24-1) |
- распределен |
температуры р теле перед началом выдержки |
||||
по квадратичной трабола, |
В инженерной практике обычно ограниче |
|||||
ний по |
закону ~Г(Х} 0') |
не |
соблюдают. Для ускорения расчетов зави |
|||
симость |
6 (Fo) представлена номограммой (рис. 1-11). |
|
||||
|
|
|
JJjhмep_ja счета_предееса издержки |
|
||
Предположим, что к концу нагрева стальной пластины ( |
F=0,5 м; |
|||||
а = |
1 |
10"5 |
м2/сек) достигнута заданная температура поверхности |
|||
"tK= |
1200°С, |
а перепад температур по сечению составил |
A t 4=400°C. |
|||
Доцустимая норма неравномерности нагрева задана равной 400 грэд/м,
что отвечает |
перепаду |
A l t = 400 0,5 |
=200°С. рассчитаем время вы- |
||||||
|
• |
К |
|
|
|
|
- |
. |
а . |
деркки |
металла а печи в соответствии с требуемой степенью выравни |
||||||||
вания |
§ |
A t k |
200 |
0,5. |
По рис.(1-П) |
имеем Fo = |
0,36. |
|
|
A t , |
400 |
|
|||||||
|
|
|
>2. |
„ . |
н2 |
|
|
||
|
|
Н |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Fn-R^ |
п ос. л |
_ 5000 сек =2,5 часа. |
||||
Время выдержки составит ^ |
|
|
|
||||||
|
2._Расчет jjarpepa металла с постоянной скоростью |
|
|||||||
При нагреве тел с |
постоялой |
скоростью,когда T(1,Fo)= T(i^0) + |
|||||||
+ К Fo |
ив |
(1-П) имеем; |
|
|
|
|
|
|
|
T ~ T C i , o ) . K F o - Z K ^ [ t - e x p ( ^ F T b , F o ) . _ ^ R
При достаточно большом времени, |
прошедшем после начала нагрева |
|
( Fo > 1,8), члены ряда, содержащие экспоненциальную, |
функцию могут |
|
быть по своей малости опуседы. |
Особенности «а чаль«ого |
распр вдепе- |
ния температуры T(Xj oj при FО.>i , 8 практически не сказываются
- 58 -
Рис.(1-П) Процесс выравнива ния температуры по сечени» те
ла Тш>&* пост; Т(х.0)=* (*Т)»0*Х*)*Т(№$
- 59 -