книги из ГПНТБ / Бровкин Л.А. Температурные поля тел при нагреве и плавлении в промышленных печах учеб. пособие
.pdfг л а в а У1. J=|=M=IL|=L LLLP=S=fiJ--==Ii=P=i]-^ = =T -l=i |===S=L & L I 3LP=I===fi=l=d=S=i=0=^=s
Jj$xe при постоянных теплофизических параметрах систвш уравнений,
описывающих температурное поле твердого остатка в процессе плавления тела (13-1), (23-1), (33-1), (34-1) и (37-1), не имеет точных-решений в еамкнутой форме.
5 1. гришааншв ф о р ш ы хля расчета
ПРОЦаССА ГЛАВШИЯ
1*. &Э£ЩЛ^овка_з!у\ачи
Рассмотрим плавление тела простейшей формы, в рбщем случае, ког
да переход в жидкую фаву происходит в интервале от температуры со-
лидуса Тпп до температуры ликвидуса Тпп . |
|
|
Заметим, что к телам, |
-»—•I . —Г— И |
|
плавящимся в интервале температур |
inri~lnn > |
|
относятся сталь, цугун, |
бронза, латунь и другие сплавы металлов, ог- |
|
нчупоры и другие сплавы и смеси окислов, '-кстые металлы и окислы |
||
имеют од?{у постоянную точку плавления Тпп^Т = Тпп • Аморфные те |
||
ла (стекло) не имеют четко выраженных температур плавления, |
но услов |
|
но и этим телам можно приписать или точку плавления Тпп « |
пост? |
|
или диапазон температур, |
в котором происходит постепенное размягче |
|
ние вещества до достижения достаточной для стенания расплава жидко-
текучести. |
|
|
|
|
На поверхность |
остатка тела |
( Эс - Ъ ) поступает заданный тепловой |
||
поток |
О, ('Т) и образуется зона фазового перехода глубиной ^\Г(Г)(рис. |
|||
1-У1), |
в которой |
/ nn! |
I ( jC) |
ion » Зона ограничивается двумя |
- 240 -
•(1/6U езчв^г
фронтами X ~ 'Ь |
и |
X = 2 ~й пп • Соотношение жидкой и твердой rja- |
||||||
8ы в точке г < Х < - '? ~ & пп |
определяется значением ( х ) |
("правило |
||||||
рычага" диаграммы состояния), |
фи Т(х = гг) - 7Пколичество твердой (fa— |
|||||||
вы равно цулю и расплав мгновенно стекает с поверхности остатка. |
||||||||
Начальное условие примем в виде; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
/ОС |
|
|
w) |
|
T(x)o)=T(olo)^[T„,n--T(oJo)]( j ) |
=Г(о,о)+&Т0Х-. |
|
||||||
2'_Тмшер»турное_поле 8ojflijfa8 0 Boro перехода |
|
|
||||||
Закон Т( х ) |
для боны фазового перехода аппроксимируем многочле |
|||||||
ном |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т(Х,Ч) = 2_ |
В п (Т) ОС . |
|
...2-У1 |
|||||
|
|
п=о |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
|
определим согласованием (2-У1) |
с условиями на |
|||||
границах воны черев 1 Пп > Тпп и (J,^ |
- |
тепловой поток ив |
воны пере |
|||||
хода, в твердое ядро остатка |
тела 1 9 7 1 |
. |
Закон (2-У1) |
определит сред |
||||
нюю температуру еоны iT& . |
|
|
|
|
|
|
||
« _ |
( U + 2 Н^ |
Тпп-Тпп: ) |
|
|
||||
7 > 7 ПП |
• 3(<j,+<l2) |
|
|
|
|
|||
количество жидкой фавн |
|
|
|
|
|
|
||
\л = д . _ 2 ± 1 £ 5 а . |
|
|
|
|
|
|||
и глубину воны йпп. |
|
|
|
|
|
|
|
|
-\ Тпп ~ Тпп |
' п л А 7~пв ... " |
|
...3-У1 |
|||||
- 242 -
3 . _Т® мпв£а^урнов_поле т в ^ д о г о _ о ста тк а
|
Закон изменения средней температуры твердого |
ядра остатка Tcpj |
|
||||||||
примем в виде [ 3 |
6 |
] |
: |
|
|
S-1 |
|
|
|
||
|
-у- |
, __ -г- 1 |
|
2!г |
„ , т~ ! 7 |
3.12. |
|
..1 -/1 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
'с р , т ~ ! п п m + K d о I ' IP |
|
|
|
|
||||||
где |
6 - |
усредненное |
значение некоторой функции, выбираемое рав- |
|
|||||||
нш |
2,33, |
3,0, |
4,0 |
соответственно при |
Ез > 4 ■Ез ~4 ■ Ез < 4 |
■> |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
1 |
р |
> р |
■> р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_Р° ~ |
2'/\К |
Зк |
с 1Епп |
Тср ( о ) J |
|
|
|
|||
|
|
7ср |
|
~ Гпп ~~ a Tq m + ,. |
|
|
|
|
|||
4._И8ыен ение__остатка_тела. во времени
Уравнение теплового баланса ва время Т для пластины, например,
свяжет 7. и Т формулой1 |
|
- |
|
|
|
|
|
||
<Г |
|
|
|
|
fT7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
' |
||
id? =C(R-2+Ann)3Tnn-i-f(R-7)+cR/\T07fjTi - |
|||||||||
и |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
/7~ J\ \^ |
^ |
r |
|
)+C ATnn |
+ |
~\ |
|
|
|
( ~ j~ ^ J J +3 |
|
|
...5-У 1 |
||||||
где |
|
|
|
S--1 |
|
|
|
|
|
q |
- Л А Ш . д г ( I z A m Y |
|
|
|
|
|
|||
72 |
~ 7 (m 4 4 )AI° 1 R |
J ' |
|
|
|
|
|
||
На кривой плавления |
7 (41) |
по уравнению |
(5-У1) |
можно ваделить инер |
|||||
ционный период, когда 7 ( 4 7 ) |
= R |
= пост, |
а & п п |
возрастает |
от |
О |
|||
до /\пП1р-~у^йГпл |
(справедливо при &nn>R « R |
), |
и 8аключительный |
||||||
8тап плавления, когда 2 ё &пп. При 2 имеем
В 8Тот момент остаток тала теряет механическую прочность и превра щается в кашеобразную смесь твердой и жидкой фазы.
Время инерционного периода <Т1 можно найти ив уравнения (5-Т1),
подставив в него |
значения Д,1П= йпп, R и 1 - R |
. Суммарное время |
||
первого и’ второго |
периодов ‘Г.* |
+ |
найдется также из уравнения |
|
(5-У1) при подстановке д =' |
2 - й пЛ1 тах > а сухарное время |
|||
всех трех периодов - при подстановке |
2 = |
0. Для многих задач |
||
практики можно ограничиться выяснением только названных характерных
точек кривой плавления. |
|
. |
Сопоставление формулы (5-У1) |
с формулами 5.М.Гольдфарба |
|
показало ее лучшее совпадение с действительностью (рис.2~У1). |
||
5.^Размер твер^ого_остатка_тела с постоянной_точкой |
||
плавления |
|
|
В частном случае для тела с |
1п'п ~Тпп'-ТПп |
формула (5-У1) |
принимает вид;- |
|
|
более точные результаты, чем известная формула М.А. Пяинкова L.3& ] .
Для расчета можно скомбинировать оба метода и использовать фюрьулу
С6—У1> |
при 2 |
= 0 для нахождения поправочного коэффициента К в |
методе М.А.Гпинксва. |
||
Применение |
(6-У1) при расчете плавления массивных тел, когда |
|
/Л» |
2, дает мвньщую погрешность, чем другие известные нам методы |
|
приближенного расчета, если не выходить за пределы тепловых потоков.
о |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
02 |
т
Рис-2 -Ж Рла&ление стальной пластины
( Тпа• /350°С; |
Тм |
|
°С} |
|
при у*пост . |
|
Расчет |
по |
|
срормупе |
( 5 -jy ) ; |
||
/ - R |
- 0 |
25 н |
) |
2 |
~ R =0, 5 п. |
|
Расчет |
по |
[ 8 |
] |
при |
|
Тт = №00°С |
3 - R ~ 0 , 2 5 м ) |
У " R - 0 . 5 м |
|||||
- 245 -
обычных для отражательных и мартеновских печей. При тепловых пото-
р
нах выше 500 нвт/мй все известные приближенные аналитические методы
дают погрешность, неприемлемую в инженерных расчетах.
§2. ОБ, АЛГОРИТМАХ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ ПЛАВЛЕНИЯ
"ТЕЛ. ПРОСТЕЛШЕй ФОРШ
ТI -Г Ч Т
й’раничимся случаем Iпп - Inn -Inn и одномерным температурным полем в твердом остатке. Тело в момент начала плавления ( Z ■- 0)
делится на л/ |
слоев по (л х )0=^г |
каждый и границы слоев нумеруют |
|||||||||
ся от центра тела. Грани;®, |
номер /V |
в момент |
Т |
= |
0 - фронт плав |
||||||
ления, а ее температура Ту =7Пп . |
Температуры остальных границ |
|
|||||||||
принимаются ив данных предшествующего плавлению нагрева тела. |
|
||||||||||
Кривая плавления 1(1) |
в расчете представляется ступенчатой ло |
||||||||||
маной о размерами звеньев |
п |
и Д'Гп . |
На протдаении Л Т п име |
||||||||
ем |
7 п = пост и температурное поле |
T'L ; + i |
|
находится по формулам |
|||||||
§ 6 |
|
|
|
|
|
>г |
|
( |
1 |
пост), черев |
|
(гл.Ш), как для тела постоянного размера |
|||||||||||
интервалы времени |
/л'У''- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(йос); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
20.К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1* Выбор шага_расчетной_сетки_в_пространетве |
|
|||||||||
|
Величины |
(&0С)П могут выбираться или переменными по формуле |
|||||||||
|
у |
(метод подвижной сетки )у или оставаться постоянным; |
|
||||||||
(дХ ) = "/\7~ |
|
||||||||||
|
П |
R |
(метод неподвижной сетки). |
В последнем случае |
* |
||||||
(лх)п~( йХ)0 =^ |
|
||||||||||
слой (ДЭС)пп $ прилегающий |
к (JpOHiy плавления^ должен рассм&три— |
||||||||||
ватьоя как величина переменная. |
Уменьшение |
(йХ)пп до нуля овна- |
|||||||||
чает уменьшение на единицу числа слоев, на которые раебит остаток
тела, ,
- 246
2._По^,счвт_П£И£Жще|£Ий т в е р д о г о _ о с т а т к а _ А
В простом, |
но грубом методе д'ювиибера |
[ 40 |
] принимается |
|||||||
Д?:п = (fЛ* *ос1) |
= |
пост, а величиодна |
. |
Дй''Го п * |
включает в себя несколько |
|||||
о |
|
|
- |
|
|
:•£ |
|
|
|
|
расчетных шагов во времени |
|
( й Х )с |
|
|
|
|||||
■j |
'-Ala. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
~?ак |
|
|
|
|||
Точность раеч'ета возрастает, |
|
Оли велиодна |
йТп |
принимается |
||||||
равной только одному шагу ДО^Дь |
.. (йХ)гп |
, но тогда |
||||||||
В методе подвижной сетки |
очередное значение |
Д? ■ |
найдетоя ив |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
еаписи граничного условия (33—1> в конечных разностях в виде; |
||||||||||
- М ( Л Т _ ЗГ + t T |
*~2' j |
|
|
|
. ..7-У1 |
|||||
f y A T f ' Z ' ™ |
* |
ыч 2 |
|
|
|
|
||||
V |
|
|
|
|
|
|
<1 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л№ |
|
J |
' |
|
|
|
|
|
|
|
В методе подвижной сетки переход к очередному этапу расчета требует определения на новых границах слоев исходных значений температуры,
на основе известных из предыдущего этапа значений на старых границах.
Г.П, Иванцов Г 4 / ] находит‘ температуру в новом расчетном узле - гра
нице линейной интерполяцией значений температуры соответствующих ста рых узлов. В [ 4 2 ] принимается в соответствующих новых и старых
. узлах одно и то же значение температуры, что отвечает сохранению средней температуры остатка при введении новой расчетной сетки.
В методе неподвижной сетки L 4 3 ] с переменным слоем [йХ)пп
приходится использовать формулы конечно-разностной аппроксимации,
учитывающие неравномерный шаг сетки в пространстве-. Так, уравнение теплопроводности для границы опоя (йх)па о текущим номером I
запишется в виде;
- 247 -
U.j + ^ . j |
2__________ - TjuJ-lLzhl 1 + |
I |
|
адт |
(й'x)nn+ (ax)0L (йх)ш |
\йх)0 |
|
+JtdL-. Тт-Ты.\___ ,
U^X)o (AX)nn+(UVo
Градиент температуры на фронте плавления составит
Тпл-'7], j /Тпл |
71,j ~ 71-/,j |
\ |
____ |
...9-У1 |
||
“ 7 ^ 7 п Т +'~ ^ ^ |
ГлЭГ)о |
) Ы х ) пп+(лХ)о |
||||
|
||||||
а гранимое условие |
(33-1) |
запишется в виде; |
|
|
||
с |
|
|
|
|
...10-У1 |
|
(Погрешность расчета |
возрастает, если (й'Х)пл^ {&%)0. Поэтов ре |
|||||
комендуется L43 |
jввдерживать в ходе расчета неравенство |
|
||||
1 5 ‘(йХ)о ^-(йХ)пп^0,5(йХ)о
и объединять спой [&Х}ПП , как только он уменьшится до 0,5( ЛХ) о>
со следующим слоем (дэс) в один новый пограничный слой о уменьше нием на единицу числа всех слоев в теле.
3j_ Сравнительная точность^^счета_плавл_^;ия_г1ри_р£8^ых методах нахождения М д
Сопоставим изложенные выше методы о точным аналитическим реше нием для пластины:
£ L
~Г{х,тУ-7^п ехр[}1р +}1сТпл[Х ^ |
' г л(р+сТпг ) Т ] , |
. ..u -y j |
|||||
которое удовлетворяет уравнениям |
(13-1), (34-1), (37-1) |
и граничноцу |
|||||
условию! |
|
|
|
|
|
п г п |
|
a i f o v . S S b L - |
[ Л £ 1 — 2 - |
?{j)+cTnn) |
1 |
||||
дх' |
Яр |
пп |
L |
{p+cTnn) |
|
||
t Ч LJ |
Лпч-^q P _ еxr |
|
сТп* |
^(п пТлл ^ |
|||
- 248 -
йа (11—УЗ.) следует постоянство скорости перемещения фронта плав
ления
dr
Распеты проведены для случая R =0,3 м, р =331,3 квт/м2,
С =4710 вдж/мэград, р =1568 103 кда/мэ, 7П/1 =1523°Н и значения <Я/* ,
полученные равными методами, сопоставлены на рис. (3~'/1), Как видно ив рис. (3-У1) способ аппроксимации граничных условий для обогревае мой поверхности плавящегося тела существенно отражается на расчете
динамики плавления и температурного поля остатка. Наибольшие откло нения наблюдаются при ■применении метода Довинбера. Оба метода под
вижных сеток дают расхождение с теоретически Сжидаемда результатом,
причем метод Г.П.Иванцова дает несколько большее раахсидение. Наи лучше результаты в данном примере получаются в случае применения неподвижной сетки с переменным во времени эдсдом слоев.
§ з. ч/хжнщз ш |
плавной и непреп-внов |
к з м а ш |
размеров м |
Предлагается прямой метод расчета без дискретного представления
функций Т(Х,Т) и rZ('T) |
[4 4 |
j * Процесс равбивается во времени |
на 10 или более отрезков |
по р |
часов каждый. Граничные ус.товия |
точно удовлетворяются температурным полем остатка на границах оче
редного |
L -го интервала |
(ТГ = 0 и Т; = ^ ) наложением на исходное |
|
поле остатка F(oc,4: = T0 ) |
корректирующей функции |
^(аг,Т^) . При |
|
(г. « |
граничные условия будут удовлетворены с |
приближенем, |
|
1 Z
которое в силу стабильности законов изменения температурных полей тал будет достаточно хорошим, если /р не слишком велико.
- 249 -