книги из ГПНТБ / Бровкин Л.А. Температурные поля тел при нагреве и плавлении в промышленных печах учеб. пособие
.pdf1._ Ojасчетных_етапах
Чем больше число этапов, тем точнее учитываются законы изменения величин Тг , о ( , А , С. висло этапов (j опрелелитоя,' если мы примем
или продолжительность каждого Ь~го этапа ‘Т. - 7 - . или приг осты тем-
ператур |
Tc/1( t J - |
в пределах каждого |
етапа. |
|
|
Начальным условием расчета в t -ом этапе должно являться темпера
турное поле, полученное после расчета ( 6-1)-го этапа: |
|
Т(Х,о) = Т ( х , ? ^ ) . |
— 1-и: |
Поскольку" начальным условием при получении решения '39-Г!) и построеши номограмм принято Т (Х^о) =~Т0 =пост, выражение (1—ГГ) приходится за менять условием
Т(Х,0) |
= Т0,ь = ТСр ( 'Z^--f ) = поет |
...2-11 |
каждый этап расчета, |
кроме первого, сопровождается искажением начальJ |
|
него условия и соответствующей погрешностью в нахождении температурно го поля*^. При достаточно большом ^ такая погрешность возрастает до
недопустимо -высоких значений. Очевидно, в каждом случае |
законов измене |
ния I ,<6, 2 , с существует оптимальноа число этапов Cj , |
обеспечивающее |
минимальную погрешность расчета в целом. |
|
Ниже предлагается простой прием поэтапного расчета, тактически иск
лючающий погрешность от искажения начальных условий и позволяющий не
ограничивать число Q и, следовательно, рассчитывать температурное поле
при переменных параметрах Тг и с( о точностью примерно такого же поряд
ка, как и при постоянных.
х) Распространено неветное утверждегае, чт'- если достаточно велико и можно воспользоваться форьулой (4?-П) регулярного режиг,а, в которой закон -начального распределена температуры в теле не находит отражения,то погрешность от искатвния начального условия равна нулю.
- I3C -
'-i. <лЬтс|цика_поэтапного р асчета
Найдем время нагрева тела ,ю температуры ТО ^ к ) в среде с
Тг С^) при лучисто-конвективной теплоотдаче,'когда
|
|
|
o^jr~ d -h6 [ 1г(т) + |
|
|
[Тг(tJ+ 7 |
( |
..з-ш |
||||||||||
йсходная температура тела. - |
Т0 , |
теплсх|иэичеокие коэффициенты |
заданы |
|||||||||||||||
ьаконаш 7( Т) |
и |
ц Т ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Наметим |
^ |
|
этапов расчета по ивменению Т((, Т) : первый от Т0 до |
||||||||||||||
7J = T (.f^ , второй от Tf |
|
ДоТ^ |
|
|
Т.Д. вплоть до |
|||||||||||||
|
V® |
|
|
|
|
А»_Первый этап расчета |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Искомое значение Т- |
примем предварительно в нулевом приближении |
||||||||||||||||
равные |
ryi®) |
. |
, |
позволит |
Т / |
/ |
( |
п- |
Р |
расчетное |
значение |
тем- |
||||||
С . |
|
сто |
наити |
Т , |
/ и |
|||||||||||||
пературы среды |
|
|
|
|
|
|
|
= пост. По форлуле (3-И1) |
най |
|||||||||
дем также расчетное значение |
|
|
|
|
+04/^f ^.Усредненные ана- |
|||||||||||||
чения к'оафриииентов ^ |
и |
|
определяется усредненной за время ^ |
|||||||||||||||
средней по массе температурой тела |
Тс^ , '^ [Т р '*' 7~с |
|
где |
|||||||||||||||
У |
^ > |
нулевом приближении можно принять по значению |
~Г(1, 'Т,) . |
|
||||||||||||||
Расчетные значения критерия Вю и |
температурного составят1$ t = —Ц.— |
|||||||||||||||||
и |
Q |
Т |
- |
|
77/ т ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
------—г—d , |
|
номограммы для поверхности тела по В>1^ и 6^ |
|||||||||||||||
|
' |
|
г,! |
|
'о |
|
|
|
|
|
|
|
Т, |
(1) |
• По ве- |
|||
наедем |
1 |
|
|
и в первом приближении подучим |
-/"D |
— y ~*~ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
1 |
1 |
/if |
|
|
|
личине |
|
|
уточняем 7^ t |
, |
о{^ 4 ,Тс.р(%), |
и |
С^. (Уточненное р а |
|||||||||||
чение У |
т ^ |
по известным |
Fo*^ |
|
и |
B i j °^определяем по номограмме |
||||||||||||
для средней по массе температуры) |
и |
вновь шходим из номограммы для по |
||||||||||||||||
верхности тела значение |
|
|
, но уже во втором приближенииРасчет за |
|||||||||||||||
канчиваем, |
когда последующие приближения не дают практически уточнедая |
|||||||||||||||||
искомой величины.^ . 9к
|
|
|
|
B._BTqgoii етап _р асчета |
|
|
|
|
|
||
Примем кулевое приближение искомой величины |
и |
найдем рас- |
|||||||||
четные значения Т ^ Ш г ^ , )+% (?,+ ■%$, с /г, г . |
Заладимся величи |
||||||||||
ной Top C'Tt+1:z ) < Tz |
и наИдем по значению Тс = {, / Тс ( %)+ А, ^ |
+^] |
|||||||||
' |
|
-л |
|
„ |
|
' |
'г |
|
|
■R. |
|
коэффициенты и'!, |
и Ч . |
/дшее, по расчетному значению |
D i~ |
— ЧЧ— |
|||||||
|
|
|
|
|
|
приращения &Гоа |
* |
|
|
|
|
находим (по номограмме для поверхности) |
, если темпе |
||||||||||
ратурный критерий в процессе нагрева изменится от /0 |
= F a &Z-Jj— |
|
|||||||||
п |
' |
Т |
Т |
|
р |
|
цл |
Т |
|
Т |
|
|
ггГ |
~ |
|
|
'^ г |
|
|
||||
до и„ .г '=?-‘г |
• Но величине Д Г0 находим |
' |
|
|
|
|
|||||
2,* |
|
Т - |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г,г, |
'о |
|
|
|
|
|
|
|
|
•"о позволяет уточнить зщчения 7г,г » |
°^2,г » |
|
|
|
и |
|
|||||
получить, в свою очередь второе приближение для искомой величины |
. |
||||||||||
Третий и последующие этапы рассчитываются аналогично второму. На |
|||||||||||
риоЛ-Ш в полулогарифмическом масштабе |
непосредственно по номограше |
||||||||||
Б. В. Будрина'покаэаны жирными линиями отрезки кривой нагрева поверхности
стальной пластины при расчете процесса в 3 этапа. |
На рис.ю-Ш поэтапные |
||||
отрееки.кривых нагрева совмещены в один график. |
Значения 7 С^ (Х ) |
и |
|||
Т (0 ,Г ) > |
отвечающее параметрам ( Bi и Fo ) конца предыдущего и |
||||
начала последующего этапов, |
несколько отличаются друг от друга. |
Поэтому |
|||
на кривых Тср(т) и Щ т ) |
на стыках этапов имеются разрывы, |
взрывы |
|||
тем меньше, |
чем больше число этапов (j. . |
|
|
|
|
саметим, |
что разбивка процесса на этапы по заданным приращениям сред |
||||
ней по массе температуры тела приводит к аналогичному ходу расчета, |
но |
||||
на совмещенном графике разорваны на станах этапов |
будут кривые |
7~(V, Х) |
|||
иT (o ,t).
%уточнение расчетных значений_7^ и с/_в_пре|п1елах этапа Остановимся на дополнительном уточнении выбора расчетных значений
-132 -
Рио.(1-Ш ) К расчету нагрева пластика ври иереиеияых Тхге1Д и С по номограмм* Д.В, Будрина.
Рие.(2-В) Расчетные хриы* нагрева пластянм.
- 133 -
: = пест и cl ■ ?= пост в пределах отдельного этапа. Выше мы принимали для простоты эти рас^тнне эначения как среднее ариф-метиче- :
ское из крайних для этапа соответствующих величин. Более точным явится-,
метод Н.П.СвинолобоЬа £ 3l], по которому значения 7g, ^ и |
для |
этапа находятся из системы |
|
я * - . с С „ ( т %1 - Ъ ) J ,
где |
\ и |
^ |
- ([актическио тепловые -потоки на тело |
в начале и |
|||
в конце^этапа. |
|
|
|
|
' |
|
|
|
йэ (4-Ш) имеем |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
у |
|
^ |
|
|
.. .5~П! |
|
|
|
- |
Т |
|||
|
|
^ Z,i |
Т |
|
|||
|
|
|
|
'г |
|
U-/ |
|
|
|
~Г |
- |
|
~ |
Й'кХ |
...б-Ш |
v ~
4._Расчот нагрева в прямо- и противотоке
. По номограммам Д. В. Кудрина удобно рассчитывать также нагрев доста точно "тонких" тел Т ц (Ъ )ъ Т (* ,т ) в прямо-и противотоке, когда траничное условие (30-П) может быть переписано в виде;
Ф - т > - 0 |
- м |
Сопоставляя (28-1) и (8-!!!), эаметим, что для использования номограмм
•Д.В.Кудрина условная расчетная и постоянная температура среды должна быть принята равной Т = 7? №) ~ Wl,\ t а расчетный критерий Ьио соета-
o t(i .± w )R |
г |
1 ± |
БИТ
2
- 134 -
§ 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ £АДАЧ ПРИ НЕЛИШ.ЗНЫХ ЗАКОНАХ ТЕПЛООБМЕНА ДИСКРЕТНЫМУд(ВЛ1ЕТЗСРЕШEivl ГРА1ИЧШХ УСЛОВИЛ
1. _Тео£етач8сни0_П£в2Посылки_м9Т2ца
Температурное поле тела ГrX Fo) развивается во времени и простран стве под воздействием заданных граниодix услсшй. Если поле T(x j F>)
помимо уравнения теплопроводности и начального условия в каждый момент времени точно удовлетворяет граничный условиям, то око является точным решением задачи. :При сложнее граничных условиях точное решение доста точно громоздко и трудоемко, а при нелинейном характере ваконов тепло обмена тела со средой вообще не получено. В этом случае предлагается воспользоваться свойством стабильности развития во времени и простран стве температурных полей тел и пользоваться приближенным решением,удов-
летворяя граничные условия, дискретно для Cj моментов времени, равно мерно выбранных на интерееущем нас отревке времегя нагрева'Fo* *
личина Cj определит степень приближения к точному решению и при со
приближенное решение, естественно, даст точный ответ на задачу.'
2.^т£ц_даскретного_у£,овлетворения при граничнж условиях_1_рода
Построим универсальное приближенное решение на основе обобщенной формы записи температурного подятала (1-ГО для граничного условия 1 рода
|
т0 , Fo) = уу Го)ш |
. |
|
'Закон T[1jFo) аппроксимируем многочленом; |
|
||
T (ijFo) = T(<,о) +Х. |
А |
Гол, |
|
|
п-е |
|
|
сгачение В выберлэм в соответствии |
с начальной величиной скорости |
||
нагрева d T (i,o l |
. Так, ггри внесении любого реального ( ^ ^ о о ) те- |
||
dFo |
■■ . |
' |
|
i 135 -
ла о 7(Х о)“ Х в |
разогретую печь имеем |
d J llM |
= О С 'И должны при- |
||
' |
• |
|
|
£7/-t? |
|
нять в (9-Ш) |
6 = 1 . |
Если закон нагрева |
задан граничным условием |
||
dT(t.Fo) ,/ |
' |
т о в |
(9-U) следует принять Q = 2. |
й, наконец, в слоис |
|
|
|||||
тых телах при граничных условиях 4 рода для обогреваемой поверхности
глубинных слоев следует принимать dTfl.o) - О и, |
следовательно, £ =3. |
d Fo |
|
■Если еакон ¥(Fo) ведан алгебраическим полиномом, то аппроксима |
|
ция (9-Ш) в принципе не сопровождается какой-либо |
погрешностью. В ос |
тальных сдучаях согласование закономерности (9-Ш) |
с направлением каса |
тельной в точке Fo - 0, повволяет резко улучшть |
точность аппроксима |
ции и в инженерных расчетах, |
как правило,, ограничиться 2 членами рада |
|||
(9-Ш). |
Для иллюстрации на рис. 3-1Г показана аппроксимация двух ваконов |
|||
'f(Fo), которые в принципе точно выражаются степенными |
радами толыш |
|||
при |
со . Можно ваметить, |
что предлагаемый нами рад |
(9-Ш) с дробны |
|
ми покаеателями |
гораздо лучше аппроксимирует законы |
'~f(Fo) > нем |
||
обычно употребляемый для этой цели рад |
|
|||
|
|
п |
t V , |
|
|
|
A n Fo |
|
.. .10-11! |
|
|
n=t |
|
|
сцелыми значениями П. .
Сучетом (9-Ш) уравнение (1-П) примет вид;
Г - |
толf |
Д |
F o K г ? |
|
|
|
|
14 |
n=t |
+ |
т , , |
|
|
__ 11-ffi |
|
|
(б е Г о У |
||
|
|
|
|
|
где |
% n ~ |
^ p ( - 6F o ) t M m-+rtXm ? |
||
|
Ное<1тфици««ты |
в решении |
f11—В’) найдем согласованием <9—IF) с гра- |
|
ничннж условиями |
задачи для |
Q моментов времени. Гля этого, очевид- |
||
- 156 -
Рио,(3-1) Аппроксимация уравнениями (9-Ш) (а) ж (10-Ш) (б) законов
I ' Т (l,Fp) |
*Т<. г0 |
-13? -
но, придется решить |
систецу,' |
|
|
m o ) + T j „ F o K < t ( F o i ) , |
..12-Ш |
||
r „ |
? - i |
С - 0 ,1 ,2 ,...,^ -! |
|
ь |
|
|
|
& |
Метод дискретного удовлетворения при'граничных |
|
|
' |
' |
Условиях 2 рода_ |
|
Решение (11—ПО можно рассматривать, как решение уравнения теплопро водности и при граничных условиях второго рода, если коэффициенты /}
буду* согласованы с граничным условием
2 - Ш Ш |
q l F B) . |
■я эх |
|
Ив (11—Ш) имеем; |
|
ъ т а ь ) = г е” 4- \ п Г о % ( ь ^ )
ЭХ |
~ |
- |
' o^' - e - v |
|
ЭХ |
о |
|
Где о р ^ |
И ' |
F o ). |
|
n - F o ^ ^ _ cP0^ |
( 6 e |
+ Ц Ш
ЭХ
эх
...Н -Ш
Тогда ковффщиентн ^^определятся решением линейной системы;
|
4 |
ор (Гп ) |
dTx(/^fvjJ |
_ Q/(FoFR. |
где |
t * |
0,1,2, . (j -1. |
|
|
|
Исследуем погрешность решения (11—ПО в |
вависимости от значения ^ , |
||
совставляя его с точным решешем при С^- пост для пластины. х(ак видно ие рис.4-Ю решение (11-411) уже при ^ = 2 дает приемлемую для инженерных расчетов точность.
- 138 -
Pis«С*-Я; TeimejMTfpnoe соде ( И-Й) мшетянн ври (|-во**
139 -