книги из ГПНТБ / Бровкин Л.А. Температурные поля тел при нагреве и плавлении в промышленных печах учеб. пособие
.pdfдля одностороннего нагрева в печи о постоянной тем пературой цилиндра, кантуемого через дF« на угол
£*Ж.
- 210 -
1 4 *
- 2 Ц -
------ |
SK*2.0 |
! |
! |
--------------- |
1.0 |
i |
I________ j_____ ; |
------- ----- |
0.3______ |
|
|
0 |
0 M |
0.16 |
0.24 Ш |
R*
РИ0.22-1У* Температура односторонне нагреваемого цилиндра * зависимости от интервала времени между гантоввами (й=ЭГ
212 -
кантовки р . |
В |
пределах О ^р ^ ^ |
угол кантовки |
вначительно |
влияет на дСр |
, |
а в интервале ^ ^-р ^ 97 средняя температура |
||
слитка слабо зависит от р . Максимальное значение |
1?Ср соответ |
|||
ствует углу кантовки 77 . Полученные результаты подтверждают вывод
L7 ] о рациональном режиме кантовки с |
поворотом слитков на угол |
|||||
(1 ь |
0,33)77 . |
|
|
|
|
|
На рис. 22-Г/ представлены зависимости |
средней по массе тампера- |
|||||
туры |
сплошного цилиндра ( |
= 0,2‘,р |
= 77 |
) от |
относительного |
|
интервала между кантовками дГо |
. Уменьшение |
йГо |
(повьшение час |
|||
тоты кантовки) при прочих равных условиях ведет к увеличению IУСр . |
||||||
Чем больше значение критерия Старка, |
тем сильнее проявляется вта |
|||||
зависимость. При малых значениях Sk. |
средняя температура слитйа |
|||||
слабо |
зависит от изменения йГо . |
|
|
|
|
|
\I
- 213
Г Л А В А У. J-ILILn_f_P=£_T_y=f 0_Е__ П_р_JI_Е___Т_Е_|
L==L3=i =LP=M===5=4=|=^=£=^=M=p=ff_T=H__=p_T
I=S^U=§=LLlJJ^=^J=ULM=LL^=SJ=e=d=^x
iLP_l)=$=O J O _ 0 -2 -.£ L B
Теппофгзические коэф})И1лекты каждого реального тепа более или
менее реэко еависят от температуры. |
Законы Л { Т ) и С(Т) могут |
|
существенно сказаться на температурных полях, |
которые в этом слу |
|
чае должны отвечать уравнению теплопроводности |
(11-1). Точное ре- . |
|
шение нелинейного уравнения (11-1) |
(или его частного случая - урав |
|
нения' (14-1)) в литературе неиввестно. Иввестные приближенные ре шения или неэффективны (например, метод А.й.Парного [80] и после дующие разработки В.В.Иванова и А.В.Гурмана [81,82 ] ) или ошибоч ны (например, работы Л.И.Кудряшова, Л.Й.Жемкова и др. [83,84]) или-
достаточно трудоемки (например, интегральный метод [87]) и его равновидность в разработке В,К.Ли~0?лова и В.Н.Водкова [88]).
Ие иввестных в литературе методов кратко остановимся только на методе А.И. Парного.
§ 1. О МЕТЩЕ А.И. ПАРНОГО ЛИНЕАРИЗАЦИИ ЖМЕРЕН^АЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕШЮПРОВОЩСХЛИ
В методе А.И. Парного нелинейное уравнение (11-1) с некоторой погрешностью заменяется линейным (относительно новой переменной
^ ( Г ) ) , для которого и8вестны точные решения. Идея метода основа на на том, что зависимость j\ (1 ) определена -экспершентально с достаточно большой погрешностью (обычно до 1ф>) и в пределах точ-
- 214 -
ности эксперимента воБмсиша аппроксимация одного и того же 8акона
Л(Т) разными уравнениями. |
Так, в диапазоне расчетного этапа изме |
|||||
нения температуры тела |
от |
f L |
до |
Tl+ i можно принять |
|
|
|
|
|
ч-м |
£ |
Аи |
|
где Л L и |
Я i +1 удовлетворяю1, |
сохранению постоянства |
среднего |
|||
для расчетного этапа значения /\ |
|
|
||||
п . |
Р i —I— ~г \ |
Я £ +1 A L |
,.2-У |
|||
^0 |
2 { |
i ) |
- Т п |
^/Л £ |
||
Тогда одномерное (ifcl) уравнение теплопроводности (14-1) |
относи |
|||||
тельно новой переменной /) = Ао^рТ |
запишется в линейном виде: |
|||||
М^Ул,) с ЗЛ = |
|
. |
...з_у |
|||
(Л;+1-Л^) |
Зт |
З х 2 |
|
|||
Преобразования А.й. Парного создают только видимость линеариза
ции научного решения задачи, и практически не лучше, чем принятая
в инженерной практике линеаризация арифметическим усреднением в
интервале Т\ ~ Ti+i вакона , дающая
?С |
дТ |
= |
Г Г |
|
|
|
4_у |
|
Эг |
|
~ дхг |
|
|
|
|
Уравнения (3-У) и (4-У) |
отличаются значениями постоянного множи |
||||||
теля. Множитель в (3-У) |
выражен как среднелогарифшческое, |
а в |
|||||
(4-У) как среднеарифметическое значений |
Ас |
и A с+^ . |
|
||||
Не трудно видеть, |
что при малых приращениях температуры в рас |
||||||
четных этапах |
(а авторы рекомендуют принимать именно малые прира |
||||||
щения в предположении, |
что при Тс-м ~Tl~- О |
их метод ив прибли |
|||||
женного переходит в точный), |
когда Я ^ |
.например, менее, |
чем |
||||
в 1,5 раза отличается от At |
, результаты расчетов по уравнениям |
||||||
215 -
(3-У) и (4-V) должны совпасть, поскольку средне логарифмическое
и'Среднеарифметическое в этих условиях различаются менее, чем на 1$
фи больших приращениях 7рц ~ 7~ метод А.й. Ирного .так же далек
от истины, как и общепринятый инженерный метод, для массивных тел любое усреднение коэффициентов по расчетным этапам, среднеарифме тическое или среднелогарифмическое, одинаково не эффективно из-за
разрыва температурного |
поля на стыках |
этапов (даже при 7"^- TL—О |
если под TLri и 7 i |
подразумевать |
средние по массе температуры |
тела); |
|
|
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУШЩИ И ПОДСТАНСШИ
Уравнение (14-1) и граничные условия для его решения становятся проще и линеаризуются с меньшей погрешностью (а в некоторых случаях и вообще.бее погрешности), если ввести некоторые интегральные функ ции (подстановки).
1. Зункрия Варнавского
Многими авторами исполь8уется подстановка Варнавского:
о |
|
•• 5-У |
|
|
|
ЭФ |
=А(Т) |
ЭФ _ ЭФ ЭГ t |
Из. (5-У) следует 7 ^ |
9эс дТ Эх |
|
|
|
|
Тогда граничное условие |
в новых пе- |
|
ременных записывается в линейном виде;
•••6-У
/
- 216 -
Уравнений (14-1), хотя и остается
/ |
дя> _ д*Ф |
|
м-1 д<? |
...7 -У |
||
oil Т) д с |
дх.‘ |
|
|
Ээс |
||
|
|
|
||||
Для решения уравнения |
(7-У) |
?иТ) |
необходимо запи |
|||
закон 0.(7 j = ~ y=j |
||||||
сать в виде О-(Ф) |
. |
Для этого из (5-У) надо выразить температуру |
||||
через |
Ф . |
В частном случае линейной зависимости Я (Т ) = /10 +рТ |
||||
имеем |
Ф = /10 Т 1- ^ |
Т * |
, следовательно |
|
||
,Для сложных зависимостей Я СФ) выражение 77 ф ) |
не удается полу |
|||||
чить в явном виде и тогда приходится прибегать к аппроксимации,
что само по себе уже вносит в ход решения некоторую погрешность.
Решение уравнения (7-У) дает поле Ф ( х Т ) , по котороцу всег
да можно точно найти интересующую нас температуру в любой точке те
ла в любой момент времени, |
хотя и не всегда, как мы оговаривали вы |
||||||
ше, можно искомое поле |
Т(X, 7 ) записать в явном виде. |
||||||
2.__Подстановка Дудряшева |
|
|
|||||
Л. Й.Иудряшевым введена функция |
|
|
|||||
|
|
(5 - |
[ a m |
от . |
|
...9 -У |
|
|
дб |
|
°~ |
|
/ |
|
|
Поокольку |
|
, |
уравнение (7-У) |
для функции Ф(Х,£) |
|||
|
= XII ) |
||||||
принимает линейный вид: |
|
|
|
|
|||
|
ЭФ _ 9_гФ К-1 ЭФ. , |
|
...10-У |
||||
|
дб |
" дх * |
зс Э х |
|
|||
|
|
|
|||||
Уравнение |
UO-У) и граничные условия, записанные черев ф (см. |
||||||
уравнение (6-У), |
образуют линейцув систецу |
уравнений, |
отличающуюся |
||||
от соответствующей системы ( 7А ~L)-(2] -1) |
для тела с |
прстоянннми |
|||||
- 217 -
коэффициентами только обозначениями переменных. В качестве решения уравнения (10—У) Л.И.оудряшевым предложено использовать известные
решения линейного уравнения теплопроводности |
(и в частности, напри |
|||||||
мер, формулу (11—Ш с |
заменой |
Т |
на ф |
, |
Т на 6 . Для уста |
|||
новившегося режима подучим; |
|
|
|
|
||||
Ф ~ Фо _ |
+ |
Х.а____ * ____ |
|
|
||||
" |
'/?2 |
|
2" |
2(к + 2)' |
|
|
||
Легко показать ошибочность формулы (11-У) |
(и других аналогичных |
|||||||
формул по Л.й.дудряшеву). |
Найдем скорость |
нагрева по сечению тела |
||||||
с постоянной теплоемкостью |
в любой момент времени: |
|||||||
|
9 6 |
|
|
|
|
|
|
|
или |
дт .. |
KQ, |
|
|
|
|
||
■ |
|
|
|
|
||||
|
9 6 |
R M T ) |
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
Э Х - J A |
|
|
|
|
|
|||
|
Эт |
с' |
к1 |
|
|
|
|
|
Подучаем абсурдный результат - |
все |
точки |
по сечению тела греются с |
|||||
одинаковой скоростью и, следовательно-* перепад температур по сече
нию тела постоянен. Для тела с Л(Т) перепад температур непостоянен
и |
по мере роста, например, теплопроводности тела |
он обязательно |
|
должен уменьшаться вплоть до нуля при Мт |
|
|
|
|
Очевидно, мы ошибаемся, рассматривая 6 |
,как функцию только |
|
от |
. 6 следует рассштривать функцией и Т |
и |
X : |
|
£ = J /, [1 (Х,Т j ] ОТ , |
|
. . . 12-У |
|
J |
|
|
- 218 -
3._Шобщенинв аргументы тектературиого^оля
Введем безразмерные и обобщенные на сдучай переменных коэффици ентов время
Т/
ГJ T
|
У |
= '" |
|
Х<р I L ')j ( |
I |
ЗХ |
.. Л З - У |
||
|
|
^ |
С /1 [. ТI |
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
J ?[Tl x,T)j У |
|
|
и координату |
|
|
|
|
о |
|
|
||
|
|
|
|
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
__ |
Г |
dx |
|
. |
I |
|
|
|
|
~J /\[ Т(' xiT ip )j |
j |
|
AlT(xi lp ) J |
...14-У |
|||
где |
-p |
и |
|
T <p |
- фиксированные айачения X |
и T, |
|||
Вовне аргументы для поля 1 (х, 0 ) изменяются в пределах! |
|||||||||
|
|
О |
|
Р fc ОО • |
О X; с)Сх i ^ |
|
|||
помплекс |
f* |
сУх |
|
представляет усредненную по сечению |
|||||
! ■ |
■ . --— ——_, |
||||||||
|
|
О /I L Г( Х ; "i <р )j |
|
|
|
|
|||
тела величину обратного значения |
коэффициента теплопроводности. Для |
сокращения записи ниже комплекс |
будем обозначать как (~^)Ср‘ |
Частная зависимость температуры |
по сечению тела для точки |
в момент времени Ту запишется в |
виде; |
Гх [ ге(х,т<), УГх^Ту)].
Частная вависимость температуры только по времени в момент Ту
для точки |
X / затешется в виде; |
|
7 т [ Э С ( Х , Д * ); У ^ Х у Д ) ] . |
И8 (13-40 |
и (14-У) следует |
- 219 -