книги из ГПНТБ / Бровкин Л.А. Температурные поля тел при нагреве и плавлении в промышленных печах учеб. пособие

2._Расчатные_фор(^лы^ля_в^туенких узлов сетки

ДкЙ'врвнцибл^нов уравнение теплопроводности

(например,

(14-1)) для уела

(*-,J ) аппроксимируется в виде

>

л Х

Uj

A X J

-t

"t ж ^ у Т . ) Л

?

i-&X'"-'u AX S

■ ■ 3 5 - "

где

AT- и Д Х

овначают частные прирашения температур только

во

времени ( (,=пост) и только в пространстве (

J. =поет).

т щ :

...37-Ш

2 ( Ъ „ ) ( \ , г Ъ ) -

■

~ ^

) ( Т Г

\

, ) l j .

- 3MI

Точность расчета будет выше,

если приращение ^ ‘t^bnocT

в т°ч”

ве с - д х

мы наДцеы как среднее арифметическое приращений

"оправа" и “слева"

этой точки и

(37-Ш) заменим формулой;

д Т

= - ^ Л г _ Т

У

...зэ-ш

б

2, I

W*

i-< ) j t

По предложению А,П.Баничева формулу

(38-Ш) также можно заме­

нить более точной»

гдв

V ’

^

Д 7;

~ 7^1 (

2 T i + i i- f с

T (U )= T i + U (T i+i- T i )+ £/

(7l+2~2Ti-n 4 77 ) +

* — — — гг £+, - а г г+а+ 5 г ^ 'Г £ ) + . . .

•••4&»Ш

з /

t+3 ^ ,J-+3

-2T^i-2TL4) ^ W ^ f W

^ r^

Tc-i+ eT^ - - ’ . . 43-ni

X~i aX

где U ~ J-

йХ

Дифференцируя (42-Ш) или (43-Ю

по X в точке X~L AX ,т .е .

при U =0, с учетом температур в

5 уелах,

подучим соответственно

I I . Заказ 719/р.

- 161 -

_границе_тела

'

Температура в узлах, лежаиих на гранипах

I - 0 и C -J, должна

раниченных размеров

можно дополнительно снизить погрешность формулы

(39-Ш) учетом температур не в 3,

а в Г> узлах сетки и принимать

д 7 = Х т + £ т

_ :а г т ц.

J

- T ___L т

...41-Ш

^Ч.

У Ч 6 Ч-/

2 Ч-г

2

Ч-з 12 4-1

где

4 - a-AZ

(& X )

т

, ■

явной

Двухмерное-( К =2J поле

t(x!,Х^,Т)тел сложной Дорны по

схеме расчета при AXf = A0C^= In

находится последовательным приме­

нением формулы;

7

. . / т + Щ

TA ( ( j . ' _ у :

. Л .

W

I '* ^

Ч " ,н ' w J

. . . Ш-Г

гасчвтная формула для трехмерных полей отроится аналогично формуле

(45’—Ш),

‘

В-граничных узлах искомая Тг ;

. найдется из

(42-11)

по Формуле;

°,1+<

Ъ - Ъ Т ф - H

'jЧ.+*>

. . . 46-Н

^ T j n

Ц Ъ

предварительно были найдены ио (45-Р)

,

ti+i ц4*-4+1

наДцется решением алгебраического уравнения (3S-H»

ВеиевеЬтная 77

•-

что в граничных узлах

вначения

~Т

.

и 1 ч

,

мы определя-

заметим,

ем только из граничных условий,

ejJ+1

хотя и для этих узлов остается спра­

ведливым уравнение теплопроводности (формула

(43—П-) ).

ото

вносит неко­

торую погрешность,

но значительно упрощает расчвт.

велико и ошибки от округления чисел,

допущенные в начале, не должны

систематически увеличиваться в ходе расчета (расчет должен быть ус­

тойчивы»).

Если,-например, 7 / )•

было наедено с погрешностью

» Ч j+1 *

то эта погрешность отразится на вычислении температур~Г^(

w

,

> н0

суммарная погрешность,

внесенная в рад ( j + 1),

должна

т,

чем О; ; ;

быть ниже,

ы

4-

,..47-11

I ^С-ы,}н I + I ^ и

1

При Я= пост и

С =

1 ~ Ы Н 1 '

запишется в виде;

пост условие

(47-!!)

К-1.

1 .

., ,48-Ш

2 t V | ' /

'

I

-

^

z i

При К^1,

ь > 1 из

(46-П) следует

(J ^

0,5. Или

A Z ^

(AX)Z

,.49-Ш

Za

Расчеты сокращаются

(и упросрются),

если принять максимально

дргусти-

мне по

(4&-П!) значения,'

л г

ГАДТ)’

. . . 50-Ш

2, а

С учетом (50-П)

формула

(44—O’)

принимает вид.*

.51-D!

Устойчивость расчета по форцуле

(43—ПО при условии слабой зависимости .

коэффициентов )

и С и

температуры ( 7 [ Т ) ^ £^*<жет быть обусловлена

формулой, аналргичиой формуле (50-HJ,

где под

Q понимается максималь­

но возможное в ходе расчетов значение

о(Т ) .

Для случая резко

переменные

^

и С условие устойчивости находим,

используя для этого

непосредственно уравнение

ИЛ-П).

A Z

2 к Q.

Ъ ; Г Т '

+

Г У (Тс) { - Г ,

_ -Г )% Т, _ 2~\.+

и

(AxfcCTiji

1

+ т

+-JLzL(-r. ~ Т

)7 .

...53-1Г

Чч

2 i

(

t+t

Ч-tJj J + 1.

Искомая неизвестная

j +j

выражается уравнением (53-li^)через

неизвест­

ные же и соседние

в реду

j +1 температуры

и 7^’. /

{

(рис. 11-Ю. Найти температуры ряда

J -*1 в етих условиях мелево только

решением системы уравнений

(53-Ю,

вагисанных для всех узлов

сетки,

Использование формулы (54-IP) устраняет

отпеченную погреииоеть, но дает

неустойшвость расчета при любых значениях АХ .

Ответить

на постав­

ленный вопрос моего применением комбинированном схемы расчета, -когда

'для А Т: сохраняется формула (28—Ш), а значения ДТ/ и

А % ПОДОЧИ-

d

.

■

Ь

I

тываются для двух моментов времени J

и J +1 и

в расчет

приникается

среднеарифметическая величина,

отвечающая моменту времени (j + jy ) АХ .

Комбинированная схема устойчива

при любых значениях АХ, ,

но

трудоем­

кость вычислений по схеме, естественно,

выше чем у взятых в

отдельнос­

ти явной и неявной схемы.

& ^М§нта_погрв№ости_расчетов

Погрешность в основном определяется

принятым шагом расчетной сетки

чета можно воспользоваться принципом Рунге, что

потребует дублирования

расчетов при .разном шаге сетки, Из принщпа Рунге имеем:

г э

. ..55-11!

уде Тгу и ~Гу - результаты расчета при АОС=

и

Л ОС = £

соответственно;

Я

абсолютная величина погрешности расчета при

ДЗС~- ~~гу~у

кые параметры нагрева

Т ( Xj'T* J

определяются походу расчета гра­

ничными условиями и,

естественно,

могут оказаться далекими от огова­

ся одновременно решением одной большой системы,

число уравнений в ко­

торой равно (или больше) числа узлов

сетки. Г1рн

этом удобно записывать

частные зависимости T ( x ) j = ^

и

г*,с™ * тк 4ункчии>

в конце нагрева задаются, а функция T (t)

,

пока еще неизвестная,

и

которое явится одним

войдет в запись уравнения - условия оптимизации,

Т ( Ъ ) t’

. г1огда уравнение теплопроводности (12-1) для.одно-

- 169 -