книги из ГПНТБ / Бровкин Л.А. Температурные поля тел при нагреве и плавлении в промышленных печах учеб. пособие

дТ

д^т

2-т

,12-1

Ш 61^ дх,г

= CL-V

Т,

где d ~ А

-коэффициент температуропроводности;

V

■оператор Лапласа (лапласиан).

Уравнение^(1 2 -1 )принято называть

параболическим уравнением

теплопроводности.

Для одномерной задачи

теплопроводности в телах

простей-

,шей формы уравнение (12-1)

может быть записано в виде:

дТ

к-4 дт

... 1 3 —1

q t -

дт а д х ‘ +■а х

Эос

где коэффициент формы л=

1 ,2 ,3

соответственно для пластины,

цилиндра и пара.

Если учесть

зависимость А(Т)и

С(Т)

то для тел

простейшей

формы на основе уравнения

(11-1)

будем иметь:

г*г~Г\ОХ— —

т

-f Л fT)

~ Г

■

...1 4 -1

С(Т)дт ~ д х Я{Лдх

х

дх '

Подставим в (10-1) выражение

-через формулу (7 -1 ).

В час­

тном, случае постоянных коэффициентов получим:

эг=й£

dxL ,

Ъш у

Л- ь

•

...1 5 - 1

дт

с

dxL

аг+т

дгт _ Д зV

•

...1 6 -1

9?

Зт! = а-£

с.

c~f

ЭГ_„уЗ!Г

.

а у ЗгТ

..17 -1

Э т

Э х *

w £■, Ъ х 1 дт

Уравнение

(17-1)

-

уравнение теплопроводности со

смешанной проиа-

тине неравновесных, ревко нестационарных процессов,

[65, б б ]

чем уравнение (16-1)

, подученное на основе формулы (7 -1 ),

При

з

_Э_ Л

д Т

д гТ

,18-1

^ ^ W

З т Ы

X;

Эх,

L■“7

L

Проанализируем область

возможных расхождений решений *

уравнешй (17-1) и (12 -1 ),

если правая часть неравенства (18

-1)

составит,например, не более

1% от левой части и это же может,

решением уравнения (17-1)

или уравнения (12 -1),'

для одномерной задачи

оговоренное

вш е условие

запишется

\

о

в виде:

,

1S-1

9гт

9 Х _

Эос*

~~ vv дхдч :

Рассмотрим температурное поле полуограшченного тела с

мгновенным источником тепла Q

дж/м^

в плоскости X

г.О,Решение

уравнения (12-1)

в этом случае дает:

...20-1

т -т =

Q

■ехр(-%к):

как решение уравнения (1 7 -1 ),если соблюдается условие (1S -1).

Условие

(19

-4)

для поля (20-1) запишется я виде:

2 С,

1

—

V X

. . . 21-1 -

рассматриваются

малке отрезки времени от начала процесса:

300 X 2

^

^

3 w x - Чоо о-+ (Jw x^V o d a .F- збЪЪ~у7хаГ

или

при

3WX »

ЧОО CL

100 X

действуюсцих источниках тепла. Так^при

=пост.решение уравнения

^урье для полуограниченного тела запишется формулой (40-П ),а

условие (19-1) примет вид (22 -1 ).

Для алюминия,например, \У~ 3* 109 м /сек и отклонение решения

уравнения (17-1) отрешения уравнения

(12-1) согласно неравен­

ства (.22-1) имеет место только в первые доли секунды после

начала нагрева тела. В

етот момент саки по себе приросты темпе­

ратуры по сечению тела

пренебрежимо

калы; не говоря уже о в оз-

можных к ним поправках.

*

■ Решения уравнения

1урье (12-1)

лелеются простыми и вместе с

Температурное поле тела подучим совместным решением уравне­

ния теплопроводности (13-1) или (14-1)

с уравнениями, которым

подчиняется поле на границах тела (граничными условияш ) и

уравнением Т(Х, 0), описывающим исходное

тепловое

состояние те­

ла

(начальным условием)

1. Начальные условия

Исходное температурное поле тела аппроксимируют обычно для

упрощения расчетов одним из

следующих уравнений:

Т(Х,о)=Т0;

>

...2 3 - 1

Т (Х ,о ) = 7 "(о ,о ) + д 7 ; х 2 .

...2 4 - 1

&т0 = т а о ) -Т(о, о)

T{Xi Q)^T{olo ) + D i X + B 2x\

...2 5 - 1

где

для пластины,например,

=бТСр{0)~ЦТ(0,0) ~2Т (1,0) f

3. Заказ 719/р

- 33

окалины достаточно тонок ( £ ^ К<Х Т

) , граничное условие (30-1)

ысжно записать системой:

^ 2 к м ^ 1

~F0I<)

Tq h ^ ^ ok.

~

7 fx

^ '

•••35-1

л

^гкм ^г ~ Тон ) 1~с(1 Т%~ Тск) + &с ^/СК

[Т0К~Т( 1,^)1...36 -1

где

теплота окалинообразования

о

на 1 м* поверхности те­

ла ва вычетом тепла,идущего на нагрев самой окалины.

Коэффициент

ft0 в

(36-1) определяется механизмом окалино-

обрааования.Предельные

значения # =1 и

fto =0

отвечают

соответ­

ственно

ввделению всей

свободной

теплоты окисления С^ окна гра­

ницах окалина-среда и окалина-металл.

Для углеродистых сталей

можно‘Полагать в

первом приближении

ft0 = 0,5.

Г ( Х = Х < Д ) = ^ ( ? ) .

...3 8 - 1

через

2

теплофизичееких коэффициента

тела /\ и С (

или

^

О- =

)• й. теплофизическим коэффициентам часто,но

необос­

нованно, относят плотность тела

.

Плотность определяет

зна­

чение

С

, но сама по себе не входит

в решение уравнения.тепло­

проводности .

тические

расчеты для тел твердых ненадежны,и

значения у}, CL, С

в кавдоы

конкретном случае следует определять

экспериментально.

Для этого

используют обычно решения уравнения

теплопроводности

при любых краевых условиях,рассматривая

в них у) а , С

как

неизвестные величины.Эксперимент должен обеспечить соблюдение

принятых краевых условий и точный замер

температурного

поля

\ск =пост. обравца, в среде с постоянной

температурой и обработку

эксперимента по форцуле (25-Л) [6 8 , 6 9 ]

.В последнее время