книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

ниях, но при отсутствии заметных деформаций. Эти те­ ории как аппарат инженерных расчетов преследуют дво­ якую цель — найти картину возможного нарушения прочности и получить распределение внутренних напря­ жений в теле при нагрузке его внешними силами.

Механические теории решают эти вопросы путем изу­ чения связи какого-либо расчетного показателя с яв­ лением наблюдаемого на опыте разрушения материала. Решают эту проблему следующим образом. Вводится гипотеза о преимущественном влиянии избранного рас­ четного показателя на процесс разрушения; на основе принятой гипотезы строится теория расчета; построенная теория проверяется опытом для различных напряжен­ ных состояний.

Феноменологические теории прочности, как правило, ориентируются на некоторые простейшие случаи напря­ женного состояния (осевое растяжение и сжатие, чистый сдвиг и т. д.), принимаемые в качестве исходных харак­ теристик прочности и определяемые экспериментально. Для более сложных случаев напряженного состояния эти исходные данные используются в качестве параметров устанавливаемых теоретических зависимостей.

Построенная таким образом гипотеза прочности дол­ жна отвечать некоторым общим условиям.

1 . Удовлетворительное совпадение с опытами для сложных напряженных состояний.

2. Удобство практического применения, а именно, про­ стота расчетных зависимостей, простота определения па­ раметров условия прочности и их немногочисленность.

3. Логичная, четкая математическая формулировка задачи.

Наглядное представление о гипотезах прочности да­ ет геометрическая интерпретация последних в простран­ стве главных напряжений сгi, 02, 03 в форме некоторой поверхности, характеризуемой для изотропного матери­ ала следующими требованиями:

поверхность должна быть непрерывной; вследствие равноправия осей он, 02, 03 поверхность

должна располагаться симметрично относительно оси, равнонаклонной к координатным осям главных напряже­ ний, определяемой уравнением 01= 02= сгз;

10

В самом общем виде уравнение поверхности, ограничи­

вающей область прочного сопротивления, можно пред­ ставить в форме

гДе / а1, / а2, / а3— соответственно первый, второй и тре­ тий инварианты тензора напряжений: / al = a i+ а2+ а 3;

/о 2 = 0 1 0 2 + 0 2 0 3 + 0 3 0 1 ; + 3 = 0 1 0 2 0 3 -

Уравнение (1.2) содержит два допущения: условия разрушения однозначно связаны с тензором напряже­ ний, причем направления главных напряжений не ока­

зывают влияния на условия разрушения в силу изотроп­ ности материала.

Механические теории различают два вида разруше­ ния, связанных с существующим представлением о двой­ ственном характере разрушения: путем отрыва по пло­ скости, перпендикулярной действующей силе, и путем сдвига по наклонной площадке. Главный довод в поль­ зу рассматриваемой концепции базируется на резком внешнем различии двух типов разрушения и дискретно­ сти перехода от одного к другому. Сравнивая внешний вид поверхности разрушения, можно отметить, что крис­ таллические материалы при одноосном растяжении да­ ют поверхность разрушения, состоящую из мельчайших, произвольно ориентированных плоскостей кристаллитов, «отражающих свет подобно мельчайшим зеркалам»’ [48] — «зернистое» разрушение путем отрыва. При сжа­ тии образцы большинства материалов разрушаются по поверхности, наклоненной к направлению сжатия, — «волокнистое» разрушение путем сдвига.

Следует отметить, что представления о механизме разрушения не являются твердо установившимися [53, 65]. Существует противоположная точка зрения — о еди­ ном механизме разрушения, основанная на микромеханическом изучении характера разрушения. Предполага­ ется, что излом среза является набором микроизломов отрыва. Тем не менее макроскопическая картина нару­ шения прочности двух видов (отрыв и срез) находит

опытное подтверждение и отражение в механических те­ ориях прочности.

11

2. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИИ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ, ОБЛАДАЮЩИХ РАЗЛИЧНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ СЖАТИЮ-РАСТЯЖЕНИЮ

Исторически развитие механических теорий характе­ ризовалось конкуренцией между различными точками зрения относительно критерия разрушения. Первона­ чально этот процесс состоял в попытках подвести под од­ ну уникальную формулу все случаи разрушения. Теори­ ями, опирающимися на универсальный критерий прочно­ сти, являются две первые классические теории прочнос­ ти -тео р и я наибольших нормальных напряжений Гали­ лея— Ренкина и теория наибольшего упругого удлинения Мариотта—Сен-Венана.

Особое место среди классических теорий занимает теория прочности О. Мора [153], так как только она способна отразить свойства хрупкопластичных материа­ лов, обладающих различным сопротивлением растяже­ нию-сжатию. Эта теория описывает вид разрушения от скалывания по опасным плоскостям скольжения и опе­ рирует зависимостью на площадке скольжения между нормальным ап и касательным хп напряжениями:

в предельном состоянии предполагается скольжение по некоторым плоскостям, вследствие чего объем мате­ риала остается неизменным;

условие прочности О. Мора не отражает влияния среднего главного напряжения на прочность материала.

Предельная кривая по (1.3) представляет собой оги­ бающую главных кругов напряжений и должна отвечать ряду требований [75]. Предлагались различные виды огибающей главных кругов О. Мора, как частные выра­ жения зависимости (1.3)— прямая линия [78], парабо­ ла [98], циклоида [99], так называемая кривая Перлина [91]. Изложенная в такой форме теория О. Мора приоб­ ретает эмпирический характер, так как предельная оги­ бающая строится по экспериментальным данным.

Предельное условие О. Мора в системе прямоуголь­ ных координат cti а2 о3 представляется конусообразной поверхностью, образованной пересечением трех пар ци­ линдрических поверхностей (симметричную относитель­ но равнонаклонной с?!= 02= 03)- Частному случаю тео-

12

рИи О. Мора — теории Кулона— отвечает поверхность неравногранной шестигранной пирамиды, определяющей

где R с — предел прочности при одноосном сжатии; Rp—

Другая группа классических теорий прочности бази­ руется на энергетических критериях нарушения прочно­ сти (теория наибольшей полной удельной потенциальной энергии деформации Бельтрами, теория удельной потен­ циальной энергии изменения формы Губера — Мизеса — Генки). Эти теории неприменимы к материалам с раз­ личным сопротивлением растяжению-сжатию.

Большая группа теорий прочности, получившая наз­ вание «новых», представляет собой различные обобщения классических теорий прочности.

Обобщением деформационных теорий является тео­ рия наибольшей геометрической суммы главных линей­ ных деформаций Занделя и деформационная теория Бек­ кера— Вестергаарда [160].

Начало обобщению энергетических теорий положено Е. Шлейхером [161], принявшим за критерий прочности величину полной потенциальной энергии, предельное зна­

13

Предельная поверхность — эллипсоид вращения, центр которого смещен в сторону сжимающих напряже­

Гипотеза Шлейхера может рассматриваться как обоб­ щение теории Бельтрами на хрупкие материалы.

Аналогичный критерий прочности предложен Бужинским [7]. Принимая линейной зависимость потенциаль­ ной энергии от среднего напряжения сг, Бужинский по­ лучил условие прочности в виде

Геометрически условие (1.10) представляет собой эллипсоид вращения, вырождающийся в пределе в ци­ линдр или шар. Автор пошел по пути отказа от физиче­ ского содержания гипотезы, понимая под величиной по­ тенциальной энергии определенные квадратичные формы от компонентов напряжений.

С аналогичных позиций формулировал свою гипоте­ зу Ю.И.Ягн [118]. Он предлагает записывать условие прочности в силу общих свойств предельной поверхно­ сти в виде симметричного уравнения второго порядка:

(°i — о2)2 + (о2— о3)2 + (о3 — Oi)2 + т{а1 + о2 + о3)2 +

Предельные поверхности есть поверхности вращения, качественно различные по форме при разных значениях параметров т, п, I. Применение уравнения (1.11) требу­ ет большой осторожности, ибо изменения в соотношени-

■ы. ях параметров т, п, I могут привести к качественному из­ менению условия прочности и переходу одного вида по­ верхности в другой, заведомо неверный по общему ха­ рактеру. В развитие своей гипотезы Ю. И. Ягн предлагает записывать несколько уравнений условия прочно­ сти, справедливое каждое в определенной области нап­ ряженных состояний, что, очевидно, затрудняет ее прак­ тическое применение.

В 1937 г. П. П. Баландин [6] предложил гипотезу прочности, обобщающую теорию Мизеса—Генки на хруп­ кие материалы. Предельное значение «энергии формоиз-

14

менения» по этой теории есть линейная функция средне­ го напряжения о. Аналитическое выражение этого усло­

уравнение поверхности параболоида вращения, отвеча­ ющей основным (описанным выше) требованиям к пре­ дельной поверхности для изотропных материалов. Следу­ ет отметить, что теория прочности, отображаемая по­ верхностью определенной формы, обладает тем достоин­ ством, что не дает неопределенных отклонений в одной области напряженных состояний за счет некото­ рого уточнения в другой. Однако трактовка критерия те­ ории прочности П. П. Баландина^ как энергии формоиз­ менения сужйваШ'тТредельГйримёнимости теории до ра- jwok теории начала текучести и не позволяет рассматри-

колько иных позиций проведено И. Н. Миролюбовым [74]. Автор считает, что по ясности физического содержания следует принять за критерий прочности величину сопро­ тивления материала сдвигу в октаэдрической плоскости. В развернутом виде условие прочности записывается в форме

2Яр личину --- • ----it— .

31 ~р

Обобщение теории О. Мора с целью учета влияния промежуточного главного напряжения проведено

15

С. В. Серенсеном [93, 94]. Автор рассматривает площад­ ку результирующего сдвига (площадку скольжения) и составляет условие прочности в виде

где ts— предел текучести для площадки результирующе­ го сдвига. Предельная поверхность — круговой конус.

Следует отметить еще ряд механических теорий, раз­ работанных применительно к бетону: теории прочности А. И. Боткина [12], А. Н. Василькова [15], А. Ф. Липа­ това [66], И. И. Тарасенко [102—104], К. К. Шкербелиса [117], А. Фрейденталя [137], Л. К- Лукши [69], Лю Ши У, Д. Друккера [ 146], П. Метсура, Ху и Пей [83].

Рассмотренная эволюция гипотез прочности показы­ вает, что попытки их обобщения привели к тому, что физическая интерпретация явлений отступает на задний план. Вышеописанные теории, особенно в трактовке Ю. И. Ягна и Бужинского [127], указывают на стремле­ ние дать в качестве отправных моментов для оценки прочности математические построения, тогда как качест­ венный характер явлений, описываемых эксперименталь­ ным путем, отходит на второй план. Между тем эти две стороны построения феноменологической теории — теоре­ тическая и экспериментальная — совершенно равноправ­ ны и должны быть в равной степени учтены.

Весьма широкое обобщение рассмотренных выше те­ орий прочности сделано М. М. Филоненко-Бородичем [112]. Цитируемые гипотезы прочности представляют собой функциональные соотношения между первым инва­ риантом тензора напряжений / 01 и вторым инвариантом девиатора напряжений 1D0

(1.15)

где

Ура1внение условий прочности (1.15), геометрической интерпретацией которых являются поверхности враще­ ния второго порядка, в развернутом виде записывается в форме ' ’V

(1-16)

где А, В, С — коэффициенты, определяемые опытным пу­ тем.

Если в качестве основных расчетных параметров пре­ дельного условия прочности принять: Rc — предел проч­ ности при одноосном сжатии; Rp— предел прочности при одноосном растяжении, то уравнение соответствующей поверхности записывается в виде

При различных значениях параметра у получим все

конус вращения по И. Н. Миролюбову; у = 7 г , Rc — Rp — круговой цилиндр Мизеса — Генки.

ЛТреди поверхностей вращения, ограничивающих об­ ласть прочного сопротивления, наиболее приемлемыми применительно к бетонам оказались поверхности пара­ болоида вращения и двуполостного гиперболоида. В ус­ ловиях всестороннего неравномерного сжатия наблюда­ ется удовлетворительное совпадение экспериментальных и теоретических данных [60], соответствующих этим двум поверхностям, причем параболоид вращения по­ казывает заниженные значения прочности по сравнению с опытными данными. При плоском напряженном состо­ янии (в частности, при двухосном равномерном сжатии) граница области прочного сопротивления (эллипс), со­ ответствующая параболоиду вращения, приводит к за­ вышенным значениям прочности по сравнению с экспе­ риментальными данными. Аналогичная предельная кри­ вая (парабола), соответствующая двуполостному гипер­ болоиду, качественно не отвечает опытным данным, по­ скольку она разомкнута со стороны области двухосного сжатия.

Отметим, что большинство новых энергетических те­ орий укладывается в рамки высказанной А. Надаи [78] гипотезы о том, что в предельном состоянии октаэдри-

ческое касательное напряжение является функцией ок­ таэдрического нормального напряжения

Т’окт = f (оГокт) •

Гипотезу А. Надаи [77] можно рассматривать как ■обобщение теории прочности О. Мора. Если, по О. Мору, наступление предельного состояния происходит, когда касательные напряжения в плоскостях скольжения до­ стигают определенной величины, зависящей от среднего нормального напряжения, которое действует по тем же плоскостям, то по гипотезе А. Надаи аналогичные усло­ вия должны выполняться на октаэдрической площадке

[52].

Достаточно подробный обзор теорий прочности мате­ риалов, обладающих различным сопротивлением одно­ осному растяжению-сжатию, можно найти в целом ряде работ, например в книге Г. С. Писаренко и А. А. Лебеде­ ва [83], С. Д. Пономарева [84], М. М. Филоненко-Боро- дича [ 11 2 ].

3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА

Рассматриваемая ниже гипотеза прочности, которую можно трактовать как некоторое обобщение теории про­ чности О. Мора, учитывает специфику прочностных и деформативных свойств бетона и других каменных матери­ алов.

Основные качественные особенности, обнаруживае­ мые экспериментальным путем для каменных материа­ лов и бетона, заключаются в том,что для этих материа­ лов в зависимости от типа напряженного состояния ха­ рактерны два вида разрушения: от отрыва (например, при испытаниях на одноосное растяжение или сжатие) й от сдвига по опасным плоскостям скольжения.

В отношении деформаций следует отметить, что деформативность бетона меняется в значительных пределах в зависимости от вида напряженного состояния. В случае всестороннего неравномерного сжатия бетон приобрета­ ет способность претерпевать значительные «пластичес­ кие» деформации, при простом сжатии разрушение на­ ступает при весьма малых деформациях [25, 138]. Кроме того, было отмечено, что при возникновении больших де­ формаций происходит увеличение видимого объема бе­ тона.

18

Возможности применения существующих теорий про­ чности и, в частности, теории О. Мора к материалам ти­ па бетонов изучал А. А. Гвоздев [25]. Он пришел к вы­ воду, что прочность бетона в значительной степени опре­ деляется сопротивлением отрыву не только при простом растяжении и кручении, но и при одноосном и двухосном

скольжение происходит без увеличения объема тела. Рас­ сматриваемое условие прочности имеет целью отразить указанные особенности прочностных и деформативных свойств бетона. Как и в случае любой феноменологичес­ кой гипотезы, построение последней ставит своей задачей установление вида функции F {оь 02» 03) = 0, приемлемо точно определяющей на всем диапазоне возможных зна­ чений 0ь 02, 0з условие разрушения бетона при простом нагружении.

Вид функции F(oi, 02, 03) —0, определяющей условие прочности, получен на основании следующих двух поло­ жений в зависимости от характерных для бетона разру­ шений от отрыва и скалывания. В первом случае прибли­ женно принимается, что разрушение от отрыва наступа­ ет при некоторой определенной величине растягивающих напряжений, второй случай удовлетворительно описыва­ ется теорией О. Мора.

Рассматриваемое условие прочности можно предста­ вить в координатах 01, 02, 03 конусообразной поверхно­ стью О. Мора и тремя плоскостями, пересекающими по­ верхность Мора в области растягивающих напряжений. Эта система хорошо аппроксимируется поверхностью вращения, а именно, параболоидом вращения, ось кото­ рого совпадает с прямой 01 = 02= 03, а вершина находит­ ся в точке, соответствующей пределу прочности при все­ стороннем отрыве (рис. 1). В дальнейшем сжимающие напряжения считаются положительными, растягиваю­