книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

уравнение предельной огибающей в системе координат fnOn- На основании (5.147) и (5.153) имеем

181

Предельная огибающая кругов Мора—эллипс, опре­ деляемый уравнением (5.161), построена на рис. 95 для RP=0,13RC. Каждой точке этой кривой соответствует определенная точка кривой рис. 94. Обратное заключе­ ние несправедливо в силу мнимости характеристик участ­ ков тп и т'п', проявляющейся в отсутствии реальных плоскостей скольжения.

Отметим, что уравнения характеристик и зависимости на характеристиках (5.134) —(5.137) можно представить в иной форме. Принимая z = z (x , у) —const, и ~ и ( х , у) = = const за систему криволинейных координат в области

Можно показать, что решение приведенной системы уравнений, для которого функциональный определитель преобразования не обращается тождественно в нуль, яв­ ляется решением уравнений (5.133).

Характеристики основной системы уравнений (5.133) обладают рядом свойств, идентичных некоторым свойст­ вам характеристик в задаче о плоской деформации. Пе­ речислим эти свойства без доказательства.

182

1. Если переходить от одной характеристики к другой одного семейства характеристик (2 =const) вдоль любой характеристики второго семейства (ц—const), то угол р

и функция

будут изменяться на одну и ту же величину (аналог тео­ ремы Генки).

2.Если известно значение параметра t в какой-либо точке сетки характеристик, то оно может быть вычисле­ но всюду, т. е. могут быть определены значения компо­ нент напряжения ах, ау, %ху в любой точке поля харак­ теристик.

3.Если некоторый отрезок характеристики прямоли­ нейный, то вдоль него постоянны функции t и р, пара­

метры Ci (г) и С2(«) и компоненты напряжений ах, оу,

4. Если в некоторой области плоскости х, у оба се­ мейства характеристик прямолинейны, то в этой области напряжения распределены равномерно, причем парамет­ ры Ci (г) и С2(м) постоянны.

5. Если некоторый отрезок характеристики z=const

вдоль каждого прямого отрезка, но изменяются при пе­ реходе от одного отрезка к другому. Такое напряженное состояние называется простым. Поскольку вдоль каждо­ го прямолинейного отрезка оба параметра СДг) и С2(и) постоянны, то один из этих параметров, соответствующий криволинейной характеристике, пересекающей прямые отрезки, принимает постоянное значение во всей об­ ласти.

Линеаризация исходной системы уравнений. Основ­ ная система уравнений (5.133) — приводимая и линеари­ зуется путем обращения переменных (подобно уравне­ ниям плоской деформации). Для этой цели преобразуем исходную систему уравнений (5.133) и соотношения на характеристиках z=const, u= const —(5.135) и (5.137),

введя новую переменную у по формуле (5.139).

183

2 =const, w=const, выраженные через новые переменные у и р, принимают вид

Интегрируя соотношения (5.167), получим зависимости между искомыми функциями у и р на характеристиках:

преобразуем основную систему уравнений (5.166) к виду

sin 2р — (cos 2р — cos 2у) — — sin 2у — — 0.

Принимая за неизвестные функции параметры Ci(z) и С2(и) (выражаемые через £ и rj):

arctg tg 2yj — Y+ Р~ X+ Р —Сг (г) = 2 |;

384

а'rctg ( у tg 2vj — V — P = X — P = C 2 (и) = 2ц

и внося в (5.170) значения х = |+ т ); р= £—ц, приведем исходную систему уравнений к виду, совпадающему по форме записи с соответствующими уравнениями для случая плоской деформации.

Проведя затем все выкладки, идентичные тем, кото­ рые были выполнены при анализе уравнений плоской де­ формации, получим каноническую систему уравнений с переменными коэффициентами:

(5.171)

Эта система также может быть сведена к телеграфному уравнению.

Интегралы уравнений пластичности (простые на­ пряженные состояния). Относительно решений, отвечаю­ щих постоянным значениям параметров С\{г) и С2(«) — интегралов уравнений пластичности, —можно повторить все то, что уже было сказано о таких решениях при ис­ следовании уравнений плоской деформации.

Интегралы уравнений пластичности, для которых функциональный определитель преобразования равен нулю, легко обнаруживаются из свойств характеристик. При этом возможны три случая:

1) Cj (2) = CJ (2) = const; С2 (и) = С°2(и) = const;

2)С2(и) = С’1 (и) = const;

3)Cj (2) — CJ (2) — const.

Первый случай относится к равномерному напряжен­ ному состоянию. Семейства характеристик z = const, и —

—const определяются уравнениями

и представлены двумя семействами параллельных пря­ мых, а параметры Ci(2) и С2(и) постоянны.

Во втором случае одно семейство характеристик (г— = const)— прямые линии, определяемые уравнением

185

содержащим произвольную функцию Ф(|3), а второе се­ мейство характеристик находится путем интегрирования дифференциального уравнения

рактеристик описывает простое напряженное состояние.

где ф — угол между нормалью к контуру и осью х (см. рис. 78). Для простейшего случая свободной прямолиней­ ной границы имеем

186

Аналогично случаю плоской деформации для центри­ рованного поля вдоль прямолинейных характеристик

2 = const имеем

Подставляя (5.180) в (5.144) и исключая dy с помощью (5.147), получим следующие зависимости между dQ и dt для центрированного поля на характеристиках и—const:

Построение решения исходной системы уравнений (5.133) сводится к определению характеристик и значе­ ний t и р на них.

Основные краевые задачи. Как в случае плоской де­ формации, основными краевыми задачами являются:

задача Коши; задача Римана (начальная характеристическая за­

дача); смешанная задача.

Постановка этих задач такая же, как и в задаче о плоской деформации. В общем случае поле характери­ стик строится численными методами, изложенными в пре­ дыдущем параграфе. Здесь также за неизвестные вели­ чины принимаются параметр % по соотношению (5.165) и (3. Координаты узловых точек вычисляются последова­ тельно по рекуррентным формулам:

— tg (Pm _ i , i — ■Ym_ i ,/)

Ут. 1 = У т — 1,1 + [X m , l - X m - l , l ) ^ (P * -U Vm—!,;)• !

Приближенно краевые задачи решаются теми же ме­ тодами, что и задачи плоской деформации.

187

Разрывные решения. Соотношения на линии разрыва напряжений. Используя метод С. А. Христиановича [116], получим уравнение линии разрыва в виде

ах

Уравнение (5.183) показывает, что линия разрыва может быть характеристикой или огибающей характе­ ристик.

Необходимым и достаточным условием существова­ ния линии разрыва является равенство нулю вдоль этой линии функционального определителя преобразования:

Огибающая характеристик в плоскости х, у является линией разрыва. Доказательства этих двух положений тождественны доказательствам соответствующих по­ ложений в предыдущем параграфе.

Приведенные выше решения, соответствующие инте­ гралам уравнений пластичности:

справедливы лишь до линии разрыва. Можно показать, что для того, чтобы некоторая линия в случае первом была линией разрыва, необходимо и достаточно, чтобы вдоль нее выполнялось соотношение

рыва. При разрывах в напряжениях выполняются про­ стые соотношения, основанные на уравнениях равнове­ сия и условиях пластичности.

188

Г Л А В А Ш Е С Т А Я

ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕТОННЫХ ОСНОВАНИЙ

22. ЗАДАЧА О ДЕЙСТВИИ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ШТАМПА НА БЕТОННОЕ ОСНОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ И ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО

с о с т о я н и я

Плоская деформация. Требуется определить предель­

действующего на плоской поверхности полупространст­ ва. Такая постановка задачи соответствует, очевидно, случаю плоской деформации основания штампа [29].

Как будет видно из дальнейшего, решение постав­ ленной задачи о предельном давлении будет склады­ ваться из решений в трех характерных областях напря­ женных состояний бетона (см. рис. 97). Рассмотрим по­ следовательно эти решения.

а) Решение в области I (СОВ). В этой области име­ ется простейшее напряженное состояние, отвечающее случаю свободной прямолинейной границы бетонного ос­ нования (02 = 0). Таким образом, решение в области СОВ будет состоять в определении значения Oi, установ­ лении очертания области и определении граничных ус­ ловий на линии ОВ, необходимых для решения в области

виде, будем иллюстрировать характерные величины их

области / представляют собой прямые линии, составляю­ щие с осью х углы +уо, определяемые по соотношению

(5.68).

Подставляя в (5.68) Дс — 100 кгс/с,м2(9,8 МПа); Др= = 13 кгс/см2(1,3 МПа), получим

190