книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

20. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

При плоской деформации перемещения частиц тела параллельны плоскости х, у и не зависят от коорди­ наты г:

Компоненты напряжений также являются функциями координат х и у, причем касательные напряжения xxz, xVz равны нулю, a az— одно из главных напряжений.

В теории упругости приведенные условия достаточны для формулировки проблемы плоской деформации. В те­ ории пластичности необходимы дополнительные упро­ щения, так как иначе невозможно получить приемлемую математическую формулировку задачи.

В дальнейшем используется схема жесткопластиче­ ского тела. Последовательное применение этой схемы связано с рядом затруднений, пока полностью не преодо­ лимых. Решение по схеме жесткопластического тела мо­ жет не совпадать с соответствующим упругопластиче­ ским решением. Теоремы, которые позволили бы судить о степени приближения решения упругопластических за­ дач к жесткопластическим, пока отсутствуют. Далее не­ обходимо, чтобы на границе упругой и пластической об­ ластей напряжения имели приемлемый характер и везде в жесткой области напряжения не превосходили бы пре­ дельных. Последнее обстоятельство установить не удает­ ся, так как распределение напряжений в упругой обла­ сти не определено. Следует отметить, что в задачах о предельных нагрузках области пластической деформа­ ции для жесткопластического и упругопластического тел могут заметно различаться. Однако для нахождения предельных нагрузок схема жесткопластического тела

^ zx ^гу (®z ®i)

которое для плоскодеформированного состояния прини­

141

Графически в системе координат о{о2 условие (5.9) представляет собой параболу, осью симметрии которой является прямая o'i = a2 (рис. 67).

В произвольной системе координат ху, не совпадаю­

щей с главными осями напряжений, условие пластично­ сти имеет вид

142

Исследование условия (1.44) при рассмотрении его как потенциала пластичности показывает, что для пло­ ской деформации при ez= 0 напряжение az= a 3 с доста­ точной степенью точности может быть представлено в ви­ де (5.8). Подставляя (5.8) в (1.44), получим условие пластичности для плоского деформированного состояния в виде

(Оц - о*? + у (Яс - Яр)2 - [ у (Яс + Яр) +

Условие (5.11) в произвольной системе координат ху не выписывается ввиду его сложности.

Вместе с двумя дифференциальными уравнениями равновесия

располагаем полной системой уравнений (5.10), (5.12) или (5.11), (5.12) для определения напряженного состоя­ ния независимо от деформаций, т. е. приходим к стати­ чески определимой задаче теории пластичности. Иссле­ дуем подробно систему разрешающих уравнений (5.10)

и (5.12).

Разрешающие уравнения для плоской деформации. Характеристические линии и их свойства. Следуя обыч­ ному в теории пластичности методу решения исходной системы уравнений (5.10) и (5.12), определим компонен­ ты напряжений оь 02 таким образом, чтобы условие пла­ стичности было тождественно удовлетворено.

143

В дальнейшем удобно ввести в рассмотрение следу­ ющие параметры напряженного состояния [29]:

а также характеристики прочности бетона:

При этом условие пластичности запишется в форме:

Напряжения на произвольной площадке в соответст­ вии с (5.17) будут определяться соотношениями

гху = t sin 2р,

где через р обозначен угол между положительным на­ правлением оси х и направлением большего главного нормального напряжения ai в рассматриваемой точке (рис. 68). Таким образом, получены выражения трех компонент напряжения ох, оу, хху через две новые пере­ менные t и р.

Внося значения компонент напряжения (5.18) в диф­ ференциальные уравнения равновесия, получим систему двух квазилинейных дифференциальных уравнений в ча­ стных производных первого порядка относительно неиз­ вестных функций t и р:

1 4 4

/Четоды построения и свойства решения полученной системы дифференциальных уравнений определяются ее типом. Под решением системы будем понимать функции

У

производные первого порядка и удовлетворяющие диф­ ференциальным уравнениям в некоторой области х, у. Для установления типа системы получим дифференциаль­

выполняющимися вдоль некоторой линии у — у(х) в пло­ скости х, у относительно частных производных от t и р по координатам х н у . Найдем

1 0 — 1 0 1 8

и аналогичные выражения для остальных производных. Приравнивая числитель и знаменатель соотношения (5.20) нулю, получим две системы дифференциальных

уравнений, определяющих поля направлений двух се­ мейств характеристических линий z —const и и — const, и соотношения между искомыми функциями t и р на последних:

tg 2у — 2у + 2р = Сх(z)'—-const;

у — абсолютное значение величины угла, составленного характеристиками с направлением большего главного нормального напряжения в рассматриваемой точке.

Уравнения (5.21) соответствуют первому семейству характеристик 2 = const, уравнения (5.22) — второму се­ мейству H = const. Соотношения (5.21) и (5.22) показы­ вают, что характеристики 2 = const и u= const наклоне­ ны к оси х под углами (3+у и р—у и образуют между со­ бой при пересечении переменные углы 2у, принимающие различные значения в зависимости от вида напряженно­ го состояния (рис. 68).

Аналогичные зависимости легко могут быть получе­ ны и в полярной системе координат. Введя в соответст­ вии с рис. 69 полярную систему координат, обозначим через р угол между положительным направлением ра­ диуса г и направлением большего главного нормального напряжения в рассматриваемой точке. Тогда напряже­ ния на произвольной площадке будут определяться со­ отношениями

146

получим основную систему двух квазилинейных диффе­ ренциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций t и р:

где у определится по (5.23) или (5.24).

Зависимость (5.28) показывает, что характеристики основной системы образуют с направлением г углы р+у и р—у и пересекаются друг с другом под переменным углом 2у (см. рис. 69).

Исследование системы (5.27) устанавливает следую­ щие дифференциальные зависимости между искомыми функциями t и р:

на характеристиках и = const

где

dQ = — tg ф — у). r

Интегрируя соотношения (5.29) и (5.30) и используя соотношения (5.23) и (5.24), получим следующие зависи­ мости между искомыми функциями t и |3 на характери­ стиках:

Итак, соотношения (5.19) и (5.27) представляют со­ бой основные системы уравнений в случае плоской де­ формации соответственно в декартовых и полярных ко­ ординатах. Тип указанных систем может быть опреде­ лен из общего соотношения (5.23), позволяющего полу­ чить условие, при котором основные системы уравнений (5.19) и (5.27) будут являться системами гиперболиче­ ского типа, а характеристики основной системы — дей­ ствительными. Это условие, очевидно, следует записать в форме

На рис. 67 пунктирными линиями нанесены прямые

выделяющие на предельной зависимости%тя плоской де­ формации (5.9) участок тп, на котором основная систе­ ма уравнений (5.19) является системой эллиптического типа [знак «—» в (5.35) соответствует <72> O i].

Теоретически возможные значения у заключены в пре­ делах

(5.36)

148

В точках т и я у — О, т. е. направления характеристик совпадают с направлением большего главного напря-

Я

жения. При у-»-— t—>-оо. Логичным кажется предполо­

жение, что напряженные состояния в точках т и я ха­ рактеризуют переход разрушения от сдвига по опасным плоскостям к разрушению от отрыва при плоской дефор­ мации (зона отрыва на участке тп).

Очевидно, что при уТзЛ, т. е. для точек предельной кривой рис. 67 вне участка тп, можно построить огиба­ ющую кругов Мора. Дейст­ вительно, любое напряжен­

ное состояние вне тп характеризуется реально сущест­ вующей парой плоскостей скольжения. Получим анали­ тическое выражение предельной огибающей кругов Мо­ ра при плоской деформации. На площадке скольжения с нормалью п имеем

уравнение предельной огибающей в системе координат (%п, оп). На основании (5.23) и (5.38) имеем

149

для #р=0,13 Re- Каждой точке этой кривой соответству­ ет определенная точка кривой рис. 67.

Обратное заключение несправедливо в силу мнимости характеристик участка тп, проявляющейся в отсутствии реальных плоскостей скольжения.

Возвращаясь назад, отметим, что уравнения харак­

стему криволинейных координат в области х, у, где ис­ ходная система уравнений (5.19) является системой ги­

1 5 0