Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Т А Б Л И Ц А 6

	1	/2
	1	l l
		l l

2TYlj

3n \

4m l n l

5n J i

2 '

i 2 l 2

m \

m 2n 2

n i k

3 '	4 '	5 '	6 '
l 2	2/2/з	2/з/1	2 /Л
m \	2m 2m 3	2 m 3m l	2m xm 2
4	2n 2n 3	2 n 3n x	2«xn2
m 3n s	m 2n 3 - \ - m 3n 2	т ф з + т з П !	т хп 2+ т 2щ
п з к		^1/3^3/i	n x l 2 + n 2l x

к Щ

1 зт з

l 2m 3 + l 3m 2

1 з Щ + к т з

1х т 2 -\-1 т Р Ч

Пусть направления армирования 1, 2, 3 заданы в си стеме координат l'2'З' следующими значениями на правляющих косинусов (табл. 7).

Т А Б Л И Ц А	7
			1		2	3
V		COS Ф			s in ф	0
2 '		—	s in ф		COS ф	0
3 '			0		0	1
Тогда соотношения напряжения — деформации в осях
Г, 2', 3' имеют		вид
8 1'	=	^11 ° Г	“ Ь	^12 ° 2 ' " Ь	^ 1 6 Т 1 '2 ’ ’
е2' =		^12	“I- ^22^2’		^2бД'2'>	(2.32)
Yl'2' =		&1 6 СТГ +		fc2 6 a 2 '	+ &6 6 Т Г 2 '.

где
6U =	au cos4<p +	«22 sin4q) + (2«12 +	йв6) sin2 ф-cos2 ф;
&22 =	au sin4 ф +	а22cos4 Ф + (2«хг +	«ев) sin2 Ф •cos2 Ф;
b12 = а12 + («и + а22— 2а12— ав6) sin2 ф• cos2 ф;
^1в —	— ап cos2 ф + «22 sin2 ф + (« 1 2 “I—			ам	cos 2ф	sin 2ф;
				- )
^2в —	• ап sin2 ф + «22 cos2 ф — («12 +			— ) cos 2ф эт2ф;
	ьвв = («XI +	«22 — 2«хг) sin2 2ф +		а66 cos2 2ф.
Соотношения (2.23), (2.27), (2.29)				и	(2.32)	могут

быть использованы при решении конкретных задач о на пряженно-деформированном состоянии железобетона.

9. О ДЕФОРМАЦИОННЫХ ЗАВИСИМОСТЯХ ДЛЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕЩИН

Для большинства железобетонных конструкций рабо чей стадией при эксплуатационной нагрузке является стадия после образования трещин. Благодаря сцеплению Па участке между трещинами работают как арматура, так и бетон. Влияние растянутого бетона учитывается

коэффициентом фа, который представляет собой отноше

ние	средней по длине			между	трещинами	деформации
к деформации арматуры в трещине [76].
При наличии трещин бе
тон будем считать трансвер
сально-изотропным матери
алом с плоскостью изотро					__ 1м____ X
пии, параллельной плоскос
ти	трещин	[35,	36]. Выбе		*
рем	систему		координат
l'2 'З' так,		чтобы	ось 1'	сов	Рис.	37.
падала с		направлением,

перпендикулярным плоскос

ти трещины, и запишем в осях l'2'З' соотношения напря жения— деформации для бетона как трансверсально изотропного тела:

‘‘—		1	К -М°7'+ 4			)];
	Ж						(2.33)
V»,.. =
		G?T Tri"
•У /'

Упругие коэффициенты в (2.33) обозначим для удоб
ства следующим		образом:
Е% - Е бт ;		Е% = Е% = Еб]			vf- = v6m;
V2' = v3- =		v;	Gv2 =	Gvr =	Gem’,		(2,34)
G%y =			G6 = Еб/2 (1 + v).
Определим	неизвестные			величины		E^m,	V6m, Gcm.

При одноосном растяжении железобетонного элемента эпюра напряжений в арматуре между трещинами имеет

вид, изображенный на рис.	37, и средние деформации
в арм[атуре определяются	из	соотношения
^ Рат'Фа		Рфа	(2.35)
Е2t		Еар

где фа — коэффициент, введенный В. И. Мурашевым [76] для учета работы бетона между трещинами. Из (2.35) следует

*7	6ас	(2.36)
		Фа

Для железобетона с трещинами считаем справедли выми условия (2.19) и (2.20), а также допущения о ра боте арматуры, введенные в предыдущем параграфе. Учитывая это, определим из (2.22) и (2.36) модуль Юн га для бетона в направлении, перпендикулярном тре щине:

E6m = - ^ - E a[i = E6t,	(2.37)
■Фа
где
g =	(2.38)

При отсутствии трещин (Ебт=Еб, £=1) из (2.38) по лучим

Щ1

(2.39)

1-f ЯЦ

Таким образом, величины фа и £ меняются в следую щих пределах:

1 > Е > 0 .
1-р П[1
Д ля определения фа мож но рекомендовать	ф ормулу
фа = 1 - 0 , 7 ^а- .	(2.40)

В этом выражении предел прочности бетона на растяже ние Rp принимается со знаком минус.

Из условия симметрии		упругих	коэффициентов
в (2.33)	вытекает
	v6m = v ^	= v\|.	(2.41)
	Еб
Если	модуль Ю нга Ебт определен на основании экс

периментальных данных, то коэффициент П уассона выб

ран	произвольно.			Д ля трансверсально-изотропного тела
величина ——		=	----- долж на		быть независимой констан-
той,	т	в	Е б		принимается,	что	v i2 = v.
	однако		дальнейш ем
И звестно,		что		прогибы	в пластинке	при	изм ене
нии v от 0 до		—		меняются	не более чем на 2— 5% ; по-
		6

этому можно предположить, что изменение v в пределах

от 0 до — мало влияет на решение задачи.

Для оценки модуля сдвига G§m использованы резуль таты работы [175]. На рис. 38 построены кривые

/Ш = —Jjy* Для разных коэффициентов Пуассона V/

фиктивной армирующей среды. Кривые хорошо аппрок симируются прямой

Обт/Об =	£•	(2.42)
Таким образом, неизвестные коэффициенты выража
ются через одну функцию \\
Ебт~Еб&, v6 m=	Об т — Gg £;.	(2.43)

/ - п р и v6 ot = V e ;

2 - при v 6m = 0

Получим соотношения между напряжениями и дефор- t мациями для железобетона с трещинами в случае пло ской задачи, когда армирование произведено в плоско сти действия сил в ортогональных направлениях, совпа дающих с осями 1, 2. Предположим, что в области, где минимальное главное напряжение превзошло Rp, образо вались трещины вдоль площадок этого напряжения. Пусть ф — угол между направлением 1', перпендикуляр ным трещине, и осью 1 (рис. 39). Тогда связь между ко ординатными системами 123 и 1’2'3' опредлится следу

ющими значениями направляющих косинусов:

1	V	Т	3'
1	cos ф — sin ф		0;
2	Э Ш ф	COS ф	0;
3	0	0	1.

Перепишем соотношения (2.33) следующим образом:

о;2'

и3'

’

■V

о?

I- 4

(уб .

и2'>

Еб4

= ~ ■V(of, +

af,) +

а|,;

Еб4'Г =

2 (1 +

rr 24

£ 6Vr3

—

}

(2.44)

2(i+v)

тб .

Ti'3-

б Т з '3 '

V) T 2'3

При этом отношения напряжения — деформации для

бетона в осях 1, 2, 3 можно записать в виде

рб

Ьцаб — Ь12а2б — va36 +

&I6Tf2;

Еб 4

(\б .

■V0® -ф &26Т?2>

= — Ъ12°1 + Ь22‘. и 2

(2.45)

Еб 4 = ~ v (a? + °2) +

°з;

•^ б Тгз =

^44 Т 23>

^ б

Тзх =

^55 Т ЗП

б У \ 2

^16 °1 “Ь ^26 а 2 “Ь ^66 Х?2»

где

1 =

4 " COS2 ф +

sin 2 ф;

Ь1Я = V + Р;

&и =

( - у

—

l ) (sin2 Ф — V cos 2ф ), Ь66 -

— 4Р;

ь и

2 ( 1

v) | co s2 ф +

sin 2 ф | ;

Р =

2v) ^

------ 1 j co s2 ф sin 2 ф.

К оэф ф ициенты

Ь 2 2,

Ь26,

^55

п олучаю тся

соотв етствен н о из

Ь \ и Ь 16,

b i 4

зам ен ой

ф на

—

ф | .

Д еф о р м а ц и и

ар м атур е, п одобн о

(2 .2 2 ),

п редстави м

в виде

о1

So =

(2.46)

е 1

Исключив из (2.19), (2.20), (2.45), (2.46) величины с индексами «б» и «а», получим соотношения между на пряжениями и деформациями для железобетона в осях 1, 2, 3. Для случая плоской задачи, если пренебречь сла

гаемыми с v2 по сравнению с единицей, эти соотношения имеют вид

E	6 D e v = о ,	[ b n	+		np2 ( b n b i2 -			b \ 2 ) ] -
	° 2 ^12 “Г Г12 [^16			“Ь ПЦ2 (^1в ^22 +				^12 ^2б)]
E$D&%		^12 “Ь				[^22 “Ь		Фц ^22
	^ы)] “г Т12 [626 +				пр! (ft26 йи			6J2 ^1в)]; I		(2.47)
Е вЕ > у12 = 0!		[ф6 +				/Ш2 (ф6 /;22 +		ф2й26)] -\|-

	" I" ° 2 [^26	"I" « M l			(^26 ^11		Ь 12 Ь 16) ]		+
	+ Т12 j&66D		—		[«Ml Й?6 +		«М2 Ь \о		+
+	«Ч М г { b %	Ь 22	+		2 Ь 1 6 Ь 26 Ь 12		+ Щ 6 &„)]},
где
	D =		(1	+		npx)(l +	«Ц2);
	Ьп — плоское					напряженное			состояние;
	й12 + v2 — плоская деформация.

Определим величину £ для рассматриваемого случая. В направлении, перпендикулярном плоскости трещины, модуль Юнга для арматуры выражается в виде

Е\, = Еа(pj cos4ф + р2sin4ф).

(2.48)

Подставив (2.48) в (2.38), получим

£ = (nfAj cos4ф + np2sin4ф)^ ^-----

1 j .

(2.49)

При определении фа в случае плоской задачи необхо димо учесть влияние нормального напряжения в плоско сти трещины и касательного напряжения (тГ2-)- Для

этого в (2.40) вместо ог подставим выражение

o = Ev ev ,

(2.50)

где Еу — модуль Юнга для железобетона в направле нии 1'.

7 — 1 0 1 8

9 7

Аналогично (2.47) можно определить соотношения напряжения — деформации для железобетона в осях Г, 2', 3' и получить выражение Ег,гv . Подстановка этого

выражения в (2.40) и решение последнего совместно с (2.49) дает следующее кубическое уравнение относи тельно фа:

	А Щ - В Ц 1 + С%~Е> = 0,			(2.51)
где
А =	ov [mdn (1 -f d22)( dn + г)] +		а2,[тЫ п — (т +
	+ vj dn d12-f- /■] + Tj,2, ( d16		q +	v dn d25);
В =	ov \2mdn(\ +	d22j — (d12-f r)j -f o2, (3mkdn —
[m + v jdn d.22 +		/■) + Ti'2'(^i6	Q+	2 vdn d26j
	— 0,7 p [mdn (1 + d22) — (d12 +			r)];

C = ar rndjj (1 + d22) -f a2, [3 mkdn —- (m + v) du d22] —

— 0,7 Rpmdn (l + d22);

D = a2, mkdn; dn = n [ij cos4 cp + n p2 sin4 ф;

		d12 = (n Pi + n p2) cos2 ф sin2 ф;
	g?,g=	(— n Pi cos2 ф + n p2 sin2 ф) sin фcos ф;
		r = n2 pj p2 cos2 ф sin2 ф;
		<7=■ ft2 p! p2 sin ф cos ф cos 2 Ф;
	д- __	v — плоское напряженное состояние;
	v ( l- f v ) — плоская		деформация;
		т
		2(1 + v )
Коэффициенты d.22, d2e получаются из dn , die заменой
Ф на	—ф.
Из	(2.39)	следует, что фа есть отношение приведенно
го модуля Юнга арматуры к модулю Юнга				железобе
				dи
тона. Следовательно, при отсутствии трещин фа=
и для	рассматриваемого случая		меняется в	1 + <Ai
и для	рассматриваемого случая		меняется в	пределах
4ц	:фа
1 -f- di	:фа	: i .
1 -f- di

В случае ф= 0, т. е. когда направления армирования совпадают с направлениями главных напряжений, соот ношения напряжения — деформации для плоской задачи (при цз= 0) имеют вид

8 , =	1	Фа (	■k ( l — Фа)„
	Еб
		Пpi	1 +	п p 2
г, =-		1	- k ( l	(2.52)
				— ф а) O i + O a],

£б(1 + »Р2)

где фа является наибольшим по величине корнем квад ратного уравнения::

% (°1	knm	2 kti pi	а2— 0,7 Яр +
	1 + п р 2	1 + п р2
	+ _ Ь р 1_ ^	= Q	(2 .53)
	1 + п р2

Аналогичная задача в иной постановке рассматрива лась в работе [24].

Используем'соотношения (2.52) для решения осесим метричной задачи [106]. Пусть толстостенный железобе тонный диск имеет кольцевое армирование, неравномер ное по толщине стенки и равномерное радиальное арми рование (рис. 40). Расчетными воздействиями примем температурный перепад и силы инерции от вращения ди ска с угловой скоростью ш. Такая задача возникает при расчете дефибренных кварцево-цементных камней. Тем пературную деформацию зададим в виде

8 = 8i + а К г г (р — Pi),

где р = -------относительный радиус; г2— внешний ради-

Г2

ус диска; ei — деформация на внутренней кромке при р = рь К — удельный температурный перепад в град/см; а — коэффициент линейного расширения.

Зададим функцию напряжений F следующими выра

жениями:
		00 = -7 - +	— ®2Р2 г\\ о	=■ F/p.	(2.54)
		Ф	g
Разрешающее уравнение для F имеет вид
d2F	+	Р2 ------P3F -b a tE e r ^ +		со2 r\ p4=	0, (2.55)
Р1 dp2		dp		g

где			0	Фа
	Pi	D2	0	Фа
	Pi	P np9’	Pi	«Ие	dp \n Pe '
		P np9’	Pi	«Ие	dp \n Pe '
	,d_%
рз	-pv	d p				V(l—'Фа)
рз	1 + n pr ; Pi ^ 9			(*e	dp nlle /	l -j- n pr)

(y — объемный вес бетона, g — ускорение силы тяжести)

«А

Уравнение (2.55) решаем методом сеток. Соответст

вующее разностное						уравнение		имеет вид
	— ^ - 1		(Рц- — 0,5 ftp2f) +					F.(2pu -f Л2Р3,) —
— F ( + 1	( Р и	+	° - 5 h P 2 i ) = (« к г ъ Е б Р2+							г \ р4(), { 2.56)
где
п	— п2	Фа» .			„	0 (	'Фаг		I 91	Фа
Ри	— P i	------п Pdi		,	Ра — Pi \---------		пИв;		1- —	np0 li+l
		------п Pdi				I	пИв;		2 h	np0 li+l
						l l
						nPj J ^ j j ’
		Pm			1	2 /j (Фах'-Н			Фа»»—l)
		Pm				l + n p r
						l + n p r

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ