книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

где

Дифференциальные уравнения полей направлений ха­ рактеристик системы уравнений (5.100) имеют вид

у — абсолютное значение величины угла, составляемого характеристиками с направлением максимального глав­ ного напряжения в рассматриваемой точке.

Аналогичные соотношения могут быть получены в по­ лярной системе координат. Напряжения на произвольной площадке определяются соотношениями:

Подставляя (5.106) и (5.107) в дифференциальные уравнения равновесия (5.26), получим основную систему дифференциальных уравнений:

171

где 0 — угол между осью у и направлением радиуса век­ тора г.

Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик и условия на них запишутся в виде

Характеристики системы дифференциальных уравне­ ний (5.100) обладают свойствами, аналогичными приве­ денным выше для основной системы дифференциальных уравнений (5.19). Свойства характеристик 1—5, отнесен­ ные к системе уравнений (5.19), легко могут быть дока­ заны и для системы уравнений (5.100).

Из свойств характеристик непосредственно вытекают решения для простых напряженных состояний — равно­ мерного (при двух неортогональных семействах прямо­ линейных параллельных характеристик) и простого (при котором только одно семейство характеристик прямоли-. нейно). Здесь также справедлива теорема об осущест­ влении равномерного напряженного состояния в обла­ сти, соседней с областью простого напряженного состоя­ ния.

Заданные на контуре нормальная и касательная со­ ставляющие напряжений ап и хп определяются соотно­ шениями

бГо!1 + 2 t] cos2 (Р + Y — <р)]

172

Наличие двух решений для х можно объяснить квад­ ратичным характером условия пластичности. Для выбо­ ра решения необходимы дополнительные условия, кото­ рые всякий раз можно заимствовать из постановки за­ дачи.

Для простейшего случая свободной прямолинейной границы Тп^О; ф= 0; 0П= О и р= — тп\

равномерное напряженное состояние.

Основные краевые задачи формулируются вполне аналогично рассмотренным выше для системы дифферен­ циальных уравнений (5.19). Остановимся коротко на разрывных решениях. Если N — линия разрыва (см. рис. 91), то при переходе через нее напряжения ап и хп изменяются непрерывно, а напряжение Ot может менять­ ся скачком.

Условия непрерывности компонентов напряжений оп и хп на N на основании (5.111) и (5.112) выражаются равенствами:

■> + И г Э 1 + с 0 3 2 ( р + - ф ) г + ~

б (|+ .т + )

sin 2 (р+ — ф) х+ — sin 2 (|3~ — ф) т~.

По соотношениям (5.115) находим

173

Разрешая трансцендентное уравнение (5.117) относи­ тельно р- , найдем величину угла, составляемого осью х с направлением сть подставляя которое в (5.116), найдем величину

21. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Плоское напряженное состояние реализуется в тонкой пластинке под действием сил, приложенных к ее контуру в средней плоскости пластинки. В прямоугольной систе­ ме координат х, у, z ось z направлена перпендикулярно серединной плоскости (z = 0 ), Компоненты напряжения oz, TXz, тyz малы по сравнению с остальными компонента­

уравнения, коэффициентами которого являются инвари­ анты тензора напряжений. Это уравнение в случае плос­ кого напряженного состояния принимает вид

Основные уравнения и условия пластичности. Под­ ставляя второе соотношение (5.120) в условие пластич­ ности (1.18), получим искомое соотношение между ai и аг,

174

являющееся условием пластичности для плоского напря­ женного состояния бетона:

Графически условие (5.121) представляет собой эл­ липс, большая главная ось которого совпадает с прямой

(Г1= а2 (рис. 94).

В произвольной ортогональной системе координат ху, не совпадающей с главными осями напряжений, ус­ ловие пластичности имеет вид

ния удобно ввести следующие параметры напряженного состояния:

175

По соотношению (5.124) и условию (5.126) получим

а2 = 2Т0 ± "|/~3 (К2— t2) — t. I

Всоответствии с условием пластичности параметр напряженного состояния t выражается через параметр р

формулой

У з

(знак «-)-» перед радикалом по условию O i> a2). Напряжения на произвольной площадке в соответст­

вии с (5.129) определяются формулами

Подставляя (5.131) в дифференциальные уравнения равновесия и имея в виду, что на основании (5.130)

2 7 о — Р

получим основную систему двух квазилинейных диффе­ ренциальных уравнений первого порядка в частных про­ изводных относительно неизвестных функций t и (3:

Для определения типа системы (5.133) получим диф­ ференциальные уравнения полей направлений характе­ ристических линий. Следуя, как и ранее, методу

176

С. А. Христиановича, получим две системы дифференци­ альных уравнений, определяющих поля направлений двух семейств характеристических линий 2 = const и и= = const и соотношения между искомыми функциями t и р на последних:

где у — абсолютное значение величины угла, составляе­ мого характеристиками с направлением большего глав­ ного нормального напряжения в рассматриваемой точке.

Очевидно, что характеристики наклонены к оси хпод

Подставляя (5.140) в дифференциальные уравнения равновесия (5.12) и принимая во внимание (5.132), по­ лучим основную систему двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка:

Характеристики основной системы образуют с на­ правлением г углы р+ у и Р—Y и пересекаются друг с другом под углом 2у (см. рис. 69).

Исследование системы (5.141) приводит к следую­ щим дифференциальным зависимостям между искомы­

на характеристиках второго семейства и = const:

где

= У tg (p - v ) .

Интегрируя (5.143) и (5.144), найдем:

178

на характеристиках 2 =const:

Таким образом, соотношения (5.133) и (5.141) пред­ ставляют собой основные системы уравнений для случая обобщенного плоского напряженного состояния соответ­ ственно в декартовых и полярных координатах. Тип ука­ занных систем может быть определен из общего соотно­ шения (5.138), позволяющего получить условие, при ко­ тором основные системы уравнений (5.133) и (5.141) будут являться системами гиперболического типа, а ха­ рактеристики основной системы — действительными. Это условие записывается в форме

выделяющие на предельной зависимости для плоского напряженного состояния бетона (5.121) участки тп и т'п', на которых основная система уравнений (5.133) является системой эллиптического типа [знак «—» в (5.150) соответствует 02>cri].

Теоретически возможные значения у заключены в пределах

В точках т и п у = 0, т. е. направления характеристик совпадают с направлением ббльшего главного напряже­ ния (в точке т эти направления совпадают с направле­ нием главного напряжения аь в точке п — с направле­ нием напряжения а2). В точках т" и п", лежащих на концах малых полуосей эллипса (5.121), для которых

р — 2Т0, у — — . В точках пг' и п' у — — , т. е. направле-

ния характеристик совпадают с направлением меньшего главного напряжения (в точке т' — с а2, в точке п' —

С (T i).

Логично предположить, что напряженные состояния в точках т, п, т', п' характеризуют переход разрушения бетона от сдвига по опасным плоскостям к разрушению от отрыва при плоском напряженном состоянии (зоны отрыва на участках тп и т'п').

Очевидно, что при — : : у ^ 0 , т. е. для точек предель­

ной кривой рис. 94 вне участков тп и т'п' можно постро­ ить огибающую кругов Мора. Действительно, любое на­ пряженное состояние вне тп и т'п' характеризуется ре­ ально существующей парой плоскостей скольжения.

Получим аналитическое выражение предельной оги­ бающей кругов Мора при плоском напряженном состоя­ нии. На площадке скольжения с нормалью п имеем

°п = у (а1 + °2) + у К —ст2) COS 2 (сгД),

(5.152)

К\ = у К — <л) Sin 2 (о^п).

Из рассмотрения рис. 95 очевидно, что

180