книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

откуда

OB = r0

Длина границы области III на поверхности бетонно­

приблизительно на 20%. Длина областей пластического состояния почти не уменьшается и превышает примерно в 5,5 раза ширину штампа.

Ниже приведены решения задач о действии выпукло­ го жесткого штампа на бетонное основание с прямоли­ нейной границей в условиях плоской деформации и пло­

У

ского напряженного состояния [58, 60]. Рассматривают­ ся частные случаи углового и кругового штампов, а также штампа, ограниченного произвольной гладкой кри­

201

Круговой штамп ограничен окружностью (рис. 100):

Штамп произвольного очертания ограничивается сим­ метричной относительно оси у кривой (рис. 10 1):

Граничные условия на поверхности контакта штампа и бетонного основания в зависимости от наличия или от­

сутствия сил трения определяются следующими усло­ виями.

1.Трение по поверхности контакта отсутствует:

=0.

2.Между штампом и бетонным основанием возника­ ет сила трения, величина которой постоянна и принима­ ется равной k :

3. Сила трения между штампом и бетонным основа­ нием принимается пропорциональной нормальному дав­ лению:

Отсутствие зон растяжения в рассматриваемых зада­ чах позволяет применить условие пластичности (1.18).

Целью решения является получение предельных дав­ лений штампа на бетонное основание в зависимости от значений двух основных механических характеристик бе­ тона — Rc и Rv. Решения данных задач могут иметь при­ ложения к проблеме расчета различных случаев местно­ го нагружения массивных бетонных и железобетонных конструкций.

Излагаемые ниже решения задач для непрямолиней­ ных штампов проведены в постановке Хилла и в поста­

202

Силы трения препятствуют перемещению штампа; направление этих сил показано на рис. 102 и 103 и в со­ ответствии с ним принимаются знаки сил трения.

Решение в постановке Хилла Задача о действии жесткого углового штампа на бе­

давления штампа — силы Р — на бетонное основание в условиях плоской деформации.

Решение поставленной задачи о предельном давлении будет складываться из решений в трех характерных об­ ластях напряженных состояний бетона (рис. 104). Рас­ смотрим последовательно эти решения.

203

Решение в области I (СОВ). В области существует простейшее напряженное состояние, отвечающее случаю свободной прямолинейной границы бетонного основания (а2—0). Таким образом, решение в области СОВ будет состоять в определении значения 0ь установлении очер­ тания области и определении граничных условий на ли­ нии ОВ, необходимых для решения в области ВОА.

Для области / значение 01 определяется формулами (5.66) , а значение парамет­ ра t — но (5.65). Уравнения характеристик в области оп­ ределяются соотношениями (5.67) . Характеристики в этой области — прямые ли­ нии, образующие с осью х углы уо, заданные соотноше­ нием (5.68).

Область / представляет собой равнобедренный тре­ угольник ( В С = О В ), длина основания которого СО по­

ка неизвестна и будет установлена после получения ре­ шения в области II (ВОА).

Решение в области II (ВОА). В области II существу­ ет особое напряженное состояние. Характеристики пер­ вого семейства 2 = const представляют собой систему ра­ диальных прямых с центром в точке О. Решение в ВОА будет состоять в определении переменного в направле­ нии второго семейства характеристик и — const напря­ женного состояния, установлении очертаний области и определении граничных условий на линии ОА, необхо­ димых для решения в области III (ОАО). В области II зависимости между искомыми функциями t и (3 опреде­ ляются соотношениями (5.31) и (5.32). Используя гра­ ничные условия на прямой OB (z= const), вычислим значение параметра С2(и) (рис. 105). При 0= 0О=

==— — Yoj> Y —Yo> Р= Ро=л;—Yo- Подставляя эти зна­ чения в (5.32), найдем

2 0 4

На основании (6.45) для заданного значения 0 мож­ но вычислить соответствующее значение у, которое, в свою очередь, определит с помощью (5.24) значение параметра t. Подставляя найденное значение t в (5.17), находим искомые значения главных напряжений в рас­ сматриваемой точке. Значения угла р определяются по

(5.70).

Таким образом, формулы (6.45) и (5.70) являются решениями задачи об определении напряженного состоя­ ния в области //.

Очевидно, что в области II у = у (0 ); t — t(Q); p==p(0). Для полного завершения решения в области II полу­ чим аналитическое выражение уравнений характеристик второго семейства u=const. Подставляя выражение для

Р из (5.70) в соотношение (5.28), найдем

Л29 + я — 2у0\ т

состояния бетона (длина участков ОС и О'С') при задан­ ной ширине полосы приложения нагрузки.

Решение в области III (OAD). Для этой области рас­ смотрим последовательно все три указанных выше типа граничных условий.

1. Случай идеально гладкого штампа (тп= 0) (см. рис. 104). В области III (OAD) — простейшее напря­ женное состояние. Траектории большего главного напря­ жения Oi — прямые линии, нормальные к поверхности контакта штампа и бетонного основания.

2 0 5

Используя граничные условия на прямой ОД и соот­

ношения (6.45), вычислим у — у на граничной линии ОА. По рис. 105 заключаем, что для характеристики z= const (ОД):

Подставляя (6.49) в (6.45), получим трансцендентное уравнение для определения значения у на граничной ли­

области III.

Отметим, что зависимость (6.50) может быть получе­ на иным путем — по соотношениям (5.31), (5.32). Пара­ метр Сг(н) сохраняет постоянное значение в каждой из трех рассматриваемых областей (/, II, III), что вытекает из рассмотренных в третьей главе свойств характе­

выражение, аналогичное (6.50). Далее, по значению у из (6.50) с помощью соотношений (5.24) определим значе­

ние параметра t для области III, которое по (5.17) оп­ ределит искомые значения a s и а2.

Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик принимают вид

2 0 6

где 01 принимается по (5.17).

Характерные размеры определяются из простых гео­ метрических соображений. Из рис. 105 видно, что длина граничной линии ОА составляет

Рис. 106.

Длина линии ОВ определится по уравнению (6.48)

при условиях 0= " б = у —ос; r = r ; r0= ro aKC — ОВ. Длина отрезка ОС — границы области 1(СОВ) — составляет

2. По поверхности контакта штампа и бетонного ос­ нования действует сила трения, величина которой посто­ янна и принимается равной k : xn— k.

В дальнейшем при решении последующих задач не рассматриваются напряженные состояния в областях 1{СОВ) и II{ВОА) (рис. 106), поскольку они разобраны выше, а исследуется только решение в области III, обра­ зующейся под линией контакта штампа и бетонного ос­ нования. Для случая постоянной величины силы трения по поверхности контакта введем в рассмотрение вспомо­ гательную величину б (рис. 106):

В области III(AOD) имеется простейшее напряжен­ ное состояние. Траектории большего главного нормаль­ ного напряжения 0j представляют собой прямые линиц

2 0 7

отклоняющиеся от нормали к линии контакта штампа и бетонного основания на угол б, и образуют с осью х угол

Внося (6.60) в (6.45), получим уравнение для опреде­ ления значения у в области III:

Сетка характеристик образована двумя семействами прямых линий, составляющих с осью х постоянные уг­

2 0 8

Предельное давление определится по условию равнове­ сия в форме

3. Рассмотрим теперь случай, когда по поверхности контакта штампа и бетонного основания действует сила трения, величина которой пропорциональна нормально­ му давлению: | тп | = сгп tg- р (р — максимальный угол трения).

Значение нормального напряжения по поверхности

Для определения значения угла р на линии контакта имеем трансцендентное уравнение

— t sin 2 (р + а) = С (/) tg р — t cos 2 (Р + a) tg р. (6.66)

Решение этого уравнения имеет вид

Введя в рассмотрение вспомогательную величину б по уравнению

Распределение напряжений в области III такое же, как в задаче о штампе при постоянной силе трения

(см. рис . 106).

Граничное условие на ОА определяет (см. рис. 107) 0= 0==у—(a-j-б), у — у. Находим

Подставляя в (6.45) условие (6.71), получим уравне­ ние для определения значения угла у;

что позволит сразу определить параметр t для заданно­ го значения угла а.

2 1 Q