книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

где

Дифференциальное уравнение (4.4) представляет со­ бой разрешающее уравнение обобщенной плоской зада­ чи для деформационной теории пластичности бетона [40]. В общем случае решение уравнения (4.4) (определение функции F) целесообразно проводить методом упругих решений с привлечением метода конечных разностей. В качестве нулевого приближения следует использовать соответствующее решение обычной теории упругости.

В дальнейшем значения ф(у), АгДу), V 2(y2) вычис­ ляются на основании значений у, найденных в узловых точках сетки из предыдущего приближения.

17. ОБОБЩЕННАЯ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА

Ввиду полной качественной аналогии между разре­ шающими дифференциальными уравнениями для плос­ кого напряженного состояния и плоской деформации по­ лучим соответствующие соотношения для деформацион­ ной теории пластичности железобетона при плоском на­ пряженном состоянии [4].

Рассмотрим случай ортогонального армирования. Пусть оси х, у совпадают с направлениями арматуры. Коэффициент армирования в направлении оси х обозна­ чим ць в направлении оси у—цг- Значения щ и.рг могут быть, вообще говоря, функциями координат.

Основные физические зависимости для плоского на­ пряженного состояния железобетона в системе коорди­ нат, совпадающей с направлениями армирования, если

пренебречь величиной v2 по сравнению с единицей, име­ ют вид

Е&— модуль упругости арматуры.

Подставляя (4.7) в условие неразрывности деформа­ ций и вводя обычным образом функцию напряжений F, после ряда преобразований получим дифференциальное уравнение вида

■ в * г|т + ( 2вх,+ & „ ) - т ^ т

^Дифференциальное уравнение (4.8) представляет со­ бой разрешающее уравнение плоского напряженного со­ стояния для деформационной теории пластичности желе­ зобетона. В общем случае решать уравнение (4.8) (оп­ ределять функцию F) целесообразно методом итераций с привлечением метода конечных разностей.

132

Задача об определении напряженного состояния сво­ дится к решению нелинейного дифференциального урав­ нения в частных производных (4.8). Так как нахождение точного решения уравнения не представляется возмож­ ным, используем метод конечных разностей. Подставляя значения производных от ctXXy ctXyyctyy, ЬХу в конечных раз­ ностях в (4.8), получим 13-членное алгебраическое урав­

нение, которое при квадратной сетке (Ах=Ау) имеет вид

134

М = 2 аху + bxy]

Уравнение (4.9) может быть составлено для каждой внутренней точки сетки. Число неизвестных при выборе 36 внутренних точек и учета симметрии равно 20. Для определения функции напряжения F на контуре и за кон­ туром используется рамная аналогия.

В качестве первого приближения используем упругое решение, при котором

14 14 ^ i ^ Х у "Т! > ^ Х Х ^ у у р >

бигармоническое.

Метод последовательных приближений позволяет со­ ставить следующий алгоритм решения задачи:

Определение контурных и законтурных значений F

4 Вычисление коэффициентов аХх, ауу, аху, Ъху*------------------------

Формирование матрицы

Вычисление значений F во внутренних узлах

4

Определение напряжений ах, ау, тху

Вычисление в узлах Т(ху)

4

Вычисление а{х, у)

4

Вычисление коэффициента Х(х, у)

\г

Вычисление коэффициента k(X)

4

Вычисление модуля Е(Т) --------------------------- —--------

135

На каждом цикле приближений коэффициенты ахх, ауу, аху, Ьху вычисляются по формулам раздела 17. На­ пряжения в конечных разностях в точке i, / имеют сле­ дующие выражения:

Fu + l - 2 F u + Fu ^

Интенсивность касательных напряжений при плоском напряженном состоянии

У 3

Среднее напряжение

Коэффициенты К и k(X) находятся по формулам

Модуль упругости в узловых точках сетки на каждом шаге приближений определяется выражением:

Tck(K)

Наиболее точное решение задачи методом конечных разностей можно получить, применяя сетку с мелкими ячейками. Однако практическое осуществление такой процедуры сталкивается с чрезмерной трудностью реше­ ния большой системы уравнений (4.9) с громоздкими коэффициентами. Процесс решения задачи может быть закончен, как только разница между напряжениями двух последовательных приближений окажется в пределах за­ данной точности вычислений.

136

9

СО

-vl

Г Л А В А П Я Т А Я

ОБ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЯХ ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ БЕТОННОЙ СРЕДЫ

19. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Приведенные в первой главе условия (1.18) или (1.44) являются условиями прочности, нарушение которых (вы­ ход с поверхности прочного сопротивления «наружу») приводит к разрушению бетона, выражающемуся в об­ разовании больших трещин. Представим себе некоторую поверхность (подобную поверхности прочного сопротив­ ления), помещенную внутри поверхности по (1.18) или (1.44), ограничивающую область прочного сопротивле­ ния и отстоящую от последней на исчезающе малом рас­ стоянии. Перемещаясь по этой поверхности (путем соот­ ветствующих изменений напряженного состояния при не­ равномерном всестороннем сжатии), можно осуществить значительные деформации текучести бетона, не нарушая условий прочности (1.18) и (1.44). Таким образом, усло­ вия (1.18) и (1.44) в области всестороннего неравномер­ ного сжатия можно трактовать как условия пластично­ сти бетона. С количественной точки зрения можно не де­ лать различия между уравнениями условий прочности и пластичности бетона, учитывая как угодно близкое совмещение соответствующих поверхностей. Трактовка условий (1.18) и (1.44), как условий пластичности бето­ на, дает возможность использовать при расчете массив­ ных бетонных конструкций, находящихся в условиях всестороннего неравномерного сжатия, математический аппарат теории идеальной пластичности.

В общем случае пространственного напряженного со­ стояния имеем следующую систему уравнений, содержа­ щую компоненты тензора напряжений. Уравнения рав­ новесия (без наличия объемных сил):

139

Условие текучести, включающее в себя все три инвари­ анта напряженного состояния:

Очевидно, что шесть неизвестных компонент тензора напряжений не могут быть найдены из системы четырех уравнений, и для построения замкнутой разрешающей системы необходимо привлечение соотношений, связыва­ ющих девиаторы напряжений и скоростей деформаций.

Аналогичная картина наблюдается и в пространствен­ ной осесимметричной задаче, где для четырех неизвест­ ных компонент Or, о2, ое, Trz справедливо условие (5.2) или (5.3) и два уравнения равновесия:

В плоской задаче теории пластичности бетона усло­ вие (5.2) или (5.3), дополненное уравнениями равно­ весия

до_х

(в ортогональной системе) и

(в полярной системе координат), образуют замкнутую систему трех уравнений с тремя неизвестными функция­

ми, достаточную для определения напряженного состоя­ ния среды.

Ниже рассматривается плоская задача теории пла­ стичности бетона — плоская деформация и плоское на­ пряженное состояние.

1 4 0