книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

перболического типа, будем рассматривать х, у, t, р как функции z и и. Уравнения характеристик можно запи­ сать тогда в виде канонической системы уравнений

ской системы уравнений, для которого определитель пре­ образования не обращается тождественно в нуль, явля­ ется решением уравнений (5.19).

Характеристики основной системы дифференциаль­ ных уравнений (5.19) обладают рядом свойств, анало­ гичных свойствам характеристик уравнений идеальной пластичности (металлов), и полезных для приложений.

изменяться на одну и ту же величину (аналог первой теоремы Генки). Действительно, если рассмотреть две

Сг, (и) = С\ (м).

По соотношениям (5.21) и (5.22) имеем

Р = ^ [СА(Z) — Са (И )];

2%=tg 2у — 2у ■=— [Сх (г) + С2 (и)].

Изменение угла р при переходе от характеристики г\ к характеристике г2 показано иа рис. 71. На основании последних соотношений и по рис. 71 заключаем, что из­

151

менение угла р при перемещении вдоль характеристики «1 определяется формулой

а изменение того же угла при перемещении вдоль харак­ теристики «2 — формулой

М2,2 М2,1 -L[c;(z) - c2(«)].

Отсюда заключаем, что P a i ,2—P a i ,i = P a 2,2 Р а 2 , ь Точно так же можно рассмотреть и изменение вели­

чины 2%=tg2y—2у, что приведет к аналогичной зависи­ мости ХА1.2— ХА1,1==ХА2,2 —ХА 2,1.

Очевидно, полученные выводы справедливы, если пе­ реходить от «1 и и2 вдоль характеристик г\ и z2.

2. Если известно значение параметра t в какой-либо точке сетки характеристик, то оно может быть вычисле­ но всюду, иными словами, могут быть определены зна­ чения компонент напряжений ох, ау, хху в любой точке поля характеристик.

Если, например, в точке А (рис. 72) известно значе­ ние tA, то по соотношениям (5.23) и (5.21) вычисляем значение параметра Ci(z) (значение угла р в точке А также известно). Далее в точке В (рис. 72) определяем по (5.21) значение параметров ув [и по (5.23) величину г'в]. Это позволяет найти величину параметра С2(и) вдоль характеристики K = const:

152

Наконец, значение параметра у в точке С находим в виде

tg 2Ус — 2Ус — 2Рс = с 2 И и Т. д.

3. Если некоторый отрезок характеристики прямоли­ нейный, то вдоль него постоянны величины t и (3, пара­ метры Ci(z), С2 (и) и компоненты напряжений ах, av, тху- Пусть, например, вдоль прямолинейного отрезка харак­ теристики z = const p= const и Ci (2) = const. Тогда, со­ гласно (5.21), вдоль z y = const и С2(и) —const.

4. На основании свойств 2 и 3 может быть сделан вывод: если в некоторой области поля характеристик оба семейства последних прямолинейны, то в этой области напряжения распределены равномерно, причем парамет­ ры Ci (2) и С2(м) постоянны.

5. Если некоторый отрезок характеристики z — consi АВ (или и — const) прямолинеен, то все соответствующие отрезки характеристик 2 = const (или w— const), отсе­ каемые характеристиками семейства и— const (или 2 —

—const), также прямолинейны (см. рис. 73). Этот вы­ вод следует из первого свойства характеристик. В такой области напряжения ох, оу, %ху постоянны вдоль каждо­ го прямолинейного отрезка, но изменяются при перехо­ де от одного отрезка к другому. Подобное напряженное состояние носит название простого.

Как показано выше, вдоль каждого из прямолиней­ ных отрезков параметры Ci(z) и С2(и) постоянны, сле­ довательно, один из этих параметров (соответствующий криволинейной характеристике, пересекающей прямые отрезки) принимает постоянное значение во всей об­ ласти АВА'В' (рис. 73).

Линеаризация исходной системы уравнений. Основ­ ная система уравнений (5.19) может быть, следуя М. Ле­ ви, линеаризована (аналогично линеаризации системы уравнений идеальной пластичности). Внесем в (5.19) значение y — f(t) по формуле (5.24):

153

Далее, введя новый параметр %:

Умножая первое из полученных уравнений на sin(p+y) cos(p—у), а второе на sin(p—у) cos(p+y),

а затем вычитая из первого уравнения системы (5.53) второе, получим после упрощений

£ + | <*Ф + Т>-0;

(5.54)

£+ £ * * Ф - Т > - 0 .

Это — однородные нелинейные уравнения, коэффици­ енты которых являются функциями только £ и т|. Систе­ ма (5.54) носит название приводимой, поскольку путем

154

перемены ролей зависимых и независимых переменных приводится к линейной системе.

в дифференциальные уравнения (5.54) и сокращая на множитель Д^О , найдем

ду_ — | t g ( P - 7) = 0 ;

(5.56)

ду_

| i tg(p + у) = 0.

дЛ ОГ)

Таким образом, получена линейная каноническая си­ стема с переменными коэффициентами. Эта система мо­ жет быть сведена к телеграфному уравнению [ 100].

Интегралы плоской задачи (простые напряженные состояния). Система уравнений (5.56) не эквивалентна основной системе уравнений (5.19), так как при обраще­ нии теряются решения, для которых определитель преоб­ разования Д(£, г)) тождественно равен нулю. Однако эти решения (интегралы уравнений пластичности), легко обнаруживаемые из свойств характеристик, часто встре­ чаются в приложениях и могут быть получены непосред­ ственно.

Получим эти решения, следуя работе С. А. Христиановича [116]. По (5.55) заключаем, что возможны три случая, для которых функциональный определитель пре­ образования тождественно равен нулю:

1) С](г) = С ^(г) = const; С2(и) =С°2(и) =const;

2)С2{и)— С\(и) = const;

3)Ci (г) = С°(г) —const.

Первый случай относится к так называемому равно­ мерному напряженному состоянию. В области, в которой наблюдается этот вид напряженного состояния, сетка ха­ рактеристик образована двумя неортогональными семей­ ствами параллельных прямых, а параметры С) (г) и

1 5 5

4Р=С, (z)-C °(u).

Соотношения (5.58) показывают, что величины у и (5 суть функции только одного параметра Ci(z) = £. Тогда

одно из уравнений системы (5.54) тождественно удовлет­ ворено, а второе легко интегрируется методом характе­ ристик:

Таким образом, имеем систему уравнений, содержа­ щую произвольную функцию Ф(Р):

у = х tg (р + У) + Ф (Р).

Одно семейство характеристик (z = const) состоит из прямых у = const, р= const, а второе находится путем ин­ тегрирования уравнения характеристик и —const

f = tg(p - r)

совместно с уравнениями (5.60).

Вдоль каждой прямолинейной характеристики напря­ жения постоянны, но меняются при переходе от одной характеристики к другой, т. е. существует простое напря­ женное состояние (рис. 75).

156

Третий случай интегрирования подобен второму. Ана­ логичные соотношения приведены В. В. Соколовским [ 100] для обобщенного условия пластичности при иссле­ довании полей характеристик, в которых одно или оба семейства характеристик — прямые линии.

На основании вышеизложенного для простых напря­ женных состояний легко может быть доказана теорема: в области, соседней с областью равномерного напряжен­ ного состояния, всегда осуществляется простое напря­ женное состояние. Действительно, если в области А (рис. 76) существует равномерное напряженное состоя-

зок характеристики 0 0 ' (например, семейства z = const), являющийся границей области А, также прямолинеен. По доказанному выше в примыкающей области В одно се­ мейство характеристик будет состоять из прямых (z =

=const) п параметр С] (и) = const.

Сполученным полем могут контактировать только простые напряженные состояния, в частности равномер­ ное.

Отображение. Решение £= £(*, у), ц=г\(х, у) можно графически интерпретировать как отображение «физи­ ческой» плоскости х, у на плоскость параметров |, тр Отображения, которые производят интегралы плоской за­ дачи, представлены на рис. 77. Области в плоскости х, у,

вкоторых определитель преобразования отличен от ну­ ля, отображаются в плоскости £, т| также на некоторую область [98, 100].

Граничные условия. На контуре области заданы нор­

мальная и касательные составляющие (сгп и хп) напря-

157

напряжения пластического состояния (5.16) и (5.17), по­ лучим

т„ = / sin 2 (Р — ф).

Отсюда получаем значение угла р и параметра t:

1• / т„ \

Р= Ф — arcsm —

2W /

t = — Tqcos 2 (р — ф)

(5.63)

± К П Оc°s22 (р — ф) + 27> га

158

[Верхний знак в (5.63) соответствует случаю Gi>ci2,

НИ Ж НИЙ — 0 т < О 2 . ]

Вчастном случае, когда на контуре отсутствуют каса­

тельные напряжения (тп= 0):

Р = ф + -у т (т = ОД);

Рассматриваемое напряженное состояние у свободной прямолинейной границы является так называемым рав­ номерным напряженным состоянием. Важным для прак­ тики случаем простого напряженного состояния является центрированное поле, образованное пучком прямых ха­ рактеристик, исходящих из полюса — особой точки на­ пряженного состояния (рис. 80). В таком поле на прямо­ линейных характеристиках z = const имеем

159

(5.19) сводится к определению характеристик и значений

t и р на них.

Основные краевые задачи. Решение гиперболической системы уравнений (5.19) в общем случае сводится к рассмотрению ряда краевых задач, основными из которых

в одной точке с характеристическим направлением и пе­ ресекаемая каждой характеристикой только один раз. На этой дуге известны значения функций t = t(s), |3 = p(s), непрерывные вместе с первыми и вторыми производными. Искомым является решение основной системы уравнений (5.19) , принимающее па дуге АВ заданные значения.

Это решение существует и единственно в треугольной области ABD, образованной дугой АВ и двумя характе­ ристиками м = const и 2 = const, исходящими из ее концов (рис. 81). Существование и единственность решения спра­ ведливы при выполнении условий гладкости дуги АВ и непрерывности начальных данных. Если же производные начальных данных разрывны в некоторой точке С, то отмеченные решения будут справедливы лишь в треуголь­ ных областях АСЕ и ВСЕ'.

2. Задача Римана (начальная характеристическая за­ дача). В этом случае задаются значения функций t и (3 на отрезках характеристик z —const — ОА и « = const — ОВ. Решение существует и определено в четырехуголь­ ной областц ОВСА, образованной двумя заданными ха­ рактеристиками и двумя характеристиками, исходящими из их концов (рис. 82). Возможен так называемый вы­ рожденный случай начальной характеристической зада­ чи, когда отрезок характеристики ОВ стягивается в точку, причем изменение угла (3 остается постоянным. Решение определено в треугольнике ОАС при задании угла рас­ твора в узле О (рис. 83).

3. Смешанная задача. На отрезке характеристики ОА известны функции t и р, удовлетворяющие условиям рав­ новесия вдоль отрезка ОА. К последнему присоединяет­ ся кривая ОВ, вдоль которой задан угол (3. Решение сме­ шанной задачи определено в треугольной области АОВ

160