книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона
.pdfРассматриваемая задача также может быть обобще на на случай действия жесткого штампа на бетонное ос нование, ограниченного произвольной гладкой кривой с переломом в нижней точке. Например, зависимости для
определения угла у носят инвариантный характер по от ношению к форме контактной линии.
В у с л о в и я х п л о с к о г о н а п р я ж е н н о г о с о
с т о я н и я . |
1. Случай идеально гладкого штампа (хп— |
= 0) (см. |
рис. 121). Решение задачи вполне аналогич |
но решению соответствующей задачи в постановке Хилла.
2. При постоянной силе трения между штампом и ос нованием следует_рассмотреть три характерных случая:
а) при б < а (б определится так же, как в задаче о действии углового штампа) сила трения достигает мак симальной величины вдоль всей линии контакта. Харак тер распределения напряжений такой же, как при отсут ствии сил трения (см. рис. 121). В этом случае решение аналогично соответствующему решению в постановке Хилла;
б) при О^бг^ссо сила трения достигает максималь ной величины хn— k лишь на некоторых крайних участ ках линии контакта (до точки, для которой |а |= 6 ) (см. рис. 123). Распределение давления под этими край ними участками аналогично случаю, рассмотренному в предыдущем параграфе. На участке линии контакта,
для |
которого | а | < б , имеется |
простейшее напряженное |
|
состояние (см. рис. 123). |
|
||
|
Предельное давление определится по формуле |
||
|
а, |
бО" |
а0 |
|
j" опcos arda,Jr 2 I*%' sin arda -f 2 J x" sin arda, (6.153) |
||
|
6 |
б |
|
где |
t" = (sin260,— на участке, |
для которого б ^ а ^ а о ', |
|
|
sin 2а — на |
участке, для |
которого |а |< б , или |
в функции P — f(t ): |
|
||
|
|
<(а„) |
|
16— 1 0 1 8 |
2 4 1 |
|
|
V e |
|
|
|
t(a„) |
|
|
|
X |
N |
|
dt |
kR |
f |
cos — X |
|
||
V l 2- |
|
|
|
||||||
|
2 |
t |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
<(6.0" |
|
|
|
Xj W—arcsin (1—£2) -----—arcsin (1 — £2)+ 26 |
x |
||||||||
L |
|
|
|
|
2 |
|
|
J |
|
|
|
V6 |
|
dt |
|
0" |
|
|
|
x |
N- |
|
R |
t |
x |
(6.154) |
|||
V i 2 - |
2 J |
( |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
xsin |
W—arcsin (1—£2)----— arcsin (1—£2)+26 |
X |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X sin — W—arcsin (1—£2) ---- — arcsin (1—£2) + |
|||||||||
|
2 |
|
|
У 6 |
\ |
|
|
|
|
|
|
+ 26 |
N |
dt |
|
|
|||
|
|
V l 2- 2 |
) |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
в) при 6 > a сила трения нигде на линии контакта не достигает максимального значения. Под линией контакта образуется область равномерного напряженного со стояния (см. рис. 125), определяемая аналогично задаче о действии углового штампа. Предельная сила давления штампа определится по формуле
0&о |
ОС-о |
|
Р = 2 J |
a„cos a rd a ~\-2 j + sinarda, |
(6.155) |
где T' = isin2a, или в функции P — f(t):
Р = — R |
f(aо) |
[Cj (t) + t cos 26J sin — x |
|
|||
Г |
|
|||||
|
3 |
J |
|
|
2 |
|
X W—arcsin (1—£2) ---- arcsin (1 — £a)+ 26 |
X |
|||||
|
N — |
V 6. |
\ |
dt_ |
t(a«) |
(6.156) |
X |
t x |
|
||||
|
|
R |
|
|||
|
У l 2—2 ) |
1 |
|
|
||
Xsin |
W—arcsin (1—£2)--- —arcsin (1 — £2)+26 |
X |
||||
X sin — l IF—arcsin (1—£2) — — arcsin (1—£2) + |
||||||
|
2 L |
|
|
2 |
|
|
24?.
|
+ 26 |
N — |
+ 6 |
\ |
cU_ _ |
|
V i *- 2 |
) |
f |
||
|
|
|
|||
W = arcsin ( |
ю) + j - arcsin (1 -£ §); |
||||
дг |
1 |
3£* + 2 |
3 ^ + 2 |
||
|
2 О /* 2 —£2 |
I У 2 — £2 |
|||
3. По поверхности контакта штампа и бетонного ос нования действует сила трения, максимальная величина которой пропорциональна нормальному давлению |тп| = = (Tntgp. Значения величин |3 и 6 определяются соотно шениями (6.132) и (6.133). В зависимости от соотноше
ния между величиной 6 и а [6 определится по (6.133) при t — t~\ следует рассмотреть три случая:
а) при |
6 < а сила трения имеет максимальное значе |
ние вдоль |
всей линии контакта (см. рис. 122). Решение |
идентично соответствующему решению в постановке Хилла; _
б) при О ^ б ^ а о сила трения достигает максималь ной величины только на некоторых крайних участках линии контакта. Распределение напряжений под этими крайними участками дано в предыдущем параграфе (см. рис. 124). На участке линии контакта, для которой
|а |< 6 , имеется простейшее напряженное состояние. Предельное давление штампа определится соотношением
<Х„ бО" Оо
Р=2 j oncosarda-\-2 J х' sin arda + 2 J %"sin arda, (6.157)
|
бО" |
где x" = t sin 260„ — на участке, |
для которого 6 ^ а ^ а 0; |
t'= + sin 2 a — на участке, для |
которого |а |< 6 , или |
в функции P = f(t): |
|
ЦК»)
P = 2R J [СЛО —t sin V] cos 3J L - - L ( V + W ) +
О
+ -V arc sin (1—l2) + -^-arcsin (1 — £2)
16* |
243 |
г(а„) |
sin 'Зя |
|
+ 2R \ [Сх (t) — t sin V] |
(V-j-W) + |
|
'(V) |
|
|
+ у arcsin(l —E2)+ - y arcsin 0 |
—£2) | tg pj Y |
N~ Y g)y |
/e0”)
—2/? J* / cos ^arcsin (1 — I2) -(- —■arcsin (1 — £2) 0
(V+flP)j sin ^ ' f ----X{- |
V + . Г ) + - 1 . arcsin (l- g * ) + |
||
+ — arcsin (1 — £2) |
t g) t ] |
(6Л58) |
|
4 |
n ~ |
||
C \ { t ) t - C x (t) |
; |
|
|
Q = |
, |
|
|
Уt2 — Cj (i) sin2 p
1/ |
I |
Г c i (0 |
• |
V = |
p + arccos |
■- |
sin p |
в) при 6 > a под областью контакта образуется об ласть равномерного напряженного состояния, аналогич ная случаю углового штампа (см. рис. 125). Предельное давление определится по формуле
|
|
|
CfcO |
|
VA-Q |
|
|
|
|
|
Р==2 j* a„cos arda f 2 J т' sin arda, |
(6.159) |
|||||
где |
T'=nsin2a, |
P = f(t): |
|
|
|
|
|
|
или |
в функции |
|
|
|
|
|
||
|
P = 2R |
<(a„) |
|
|
|
|
|
|
|
J [Cx (0 — t sin FJ cos |
------(V+W) + |
||||||
|
~ |
arcsin (1 — £2) + Y |
arcsin (1 — £2) |
X |
||||
|
x(iN 2 |
/ t |
<(ao> |
|
|
|
||
|
2R ^ |
t cos |
arcsin (1 — £2) -f- |
|||||
|
|
- L a ) - a - |
||||||
|
arcsin (1 — £2) — (F + W ) |
sin |
Зя____l_ |
|
||||
|
4 |
2’ (V + W) + |
||||||
2 4 4
-yp arcsin (1—| 2) + |
-i- arcsin (1 — £2) |
X |
X 1 N |
1 G) dt |
(6.160) |
Рассматриваемая задача также может быть обобще на на случай действия жесткого штампа, ограниченного произвольной гладкой кривой с переломом в нижней точке. Соответствующие зависимости для определения
параметра t также носят инвариантный характер по от ношению к форме кривой контакта штампа и бетонного основания.
Решения аналогичных задач могут быть построены и при использовании условия пластичности (5.92) для плоской деформации или (5.191) для плоского напряжен ного состояния.
24. ЗАДАЧА О РАВНОВЕСИИ УСЕЧЕННОГО БЕТОННОГО КЛИНА В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ И ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО
с о с т о я н и я
Плоская деформация. Требуется определить предель ное значение давления q, равномерно распределенного
на |
горизонтальной грани усеченного |
клина длиной 2а |
||
и распространяющегося беспредельно |
в |
направлении, |
||
перпендикулярном плоскости чертежа (рис. 126) [59]. |
||||
|
Решение в области / в системе координат тп имеет |
|||
прежний вид (идентичный соответствующим решениям |
||||
в |
задаче о штампе с прямолинейным |
основанием). |
||
В |
области П(АОС) — особое |
напряженное состояние. |
||
Условия на характеристиках w = |
const |
имеют вид (5.32). |
||
|
Используя граничные условия на |
прямой АС, опре |
||
делим значение С2(«): 0 = 0o= Yo—а, y= Yo, Р= ро= я — |
||||
—Yo (рис. 126, 127). Подставляя эти значения в (5.32), найдем
С2 (и) |
(tg 2у0 — 2у0) — 2 (я — а). |
(6.161) |
|
Внося (6.161) в |
(5.32), |
получим |
|
tg 2у = 20 + |
(tg 2у0 - 2уо) + 2а, |
(6.162) |
|
т. е. искомое условие на характеристиках w = const. Зная значение у, легко найдем соответствующие значения
главных напряжений. При а = ~ приходим к задаче
2 4 5
о действии плоского штампа на бетонное основание. Уравнения второго семейства характеристик w = const определяются соотношениями
de = — — tg2v- |
(6.163) |
г |
|
Используя условие на характеристиках и —const, по лучим
dr _ |
_________dQ_________ |
(6.164) |
|
г |
20 + (tg 2у0—2у0)+2а |
||
|
|||
Интегрируя, найдем |
|
|
|
г |
_______[о_______ |
(6.165) |
|
|
}2 9 - 2 у 0+ 2 а \1/2
tg2у0 I
В области III (ОАВ) имеется простейшее напряженное состояние; граничное условие на линии АВ определяет
Oi = q. |
(6.166) |
Для характеристики 2 = const (АО) имеем (см. рис. 127)
6 = 0 = у, у = у. |
(6.167) |
Внося (6.167) в (6.162), получим трансцендентное урав нение для определения значения угла у в области III:
tg2y — 2у = (tg2y0 — 2у0) + 2а. |
(6.168) |
246
Пользуясь (6.168), легко определим значения главных напряжений. Характерные размеры получаются из про стых геометрических соображений.
Плоское напряженное состояние. В области I спра ведливо решение, приведенное в задаче о действии пло ского штампа на бетонное основание в соответствующей области (см. рис. 126) [59]. В области П(АОС) сущест вует особое напряженное состояние (см. рис. 127). Вно ся в (5.137) граничные условия на линии АС, определим зависимость между искомыми функциями t и р на харак
теристиках |
u = const. При |
0= 0о—уо—a, Y = Yo> Р= Ро= |
||||||||||
= я —■уо, t = t0. |
Подставляя |
эти |
значения в |
(5.137), по |
||||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П I |
\ |
|
• |
( |
5 |
|
8 |
*1 \ |
|
|
|
|
С, (и) |
— a rc s in |
--------------- — |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
\ |
3 |
|
3 |
К2 / |
|
|
|
----- |
arcsin / |
------ —— |
| — 2 (л—а) |
(6.169) |
|||||||
|
|
2 |
|
{ |
3 |
3 |
,2 |
I |
|
|
|
|
arcsin |
5_____8__^_ |
|
1 |
|
|
5_____2_К*_ \ |
||||||
3 |
3 |
К2 |
— arcsin |
3 |
3 |
J2 |
) |
|||||
|
2 |
|
|
|||||||||
|
+ |
2 (0 — у) = |
arcsin ( —----- — — ) + |
|
||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
\ |
3 |
3 |
к 2 ) |
|
|
|
|
+ — arcsin/—------ —— \ — 2а. |
|
(6.170) |
||||||||
|
|
|
2 |
|
( 3 |
|
3 |
t l ) |
|
|
|
|
Аналитическое выражение уравнений характеристик вто рого семейства w = const легко найдем в виде
|
4t02 ~ K 2 V74 |
Г = го |
(6.171) |
At2 — К2 ) |
В области III(ОАВ) существует простейшее напряжен ное состояние; граничное условие определяет:
<*i = |
Я- |
(6.172) |
На характеристике z = const |
(ОА): |
|
0 = 0 — у, |
у = у. |
(6.173) |
Внося (6.173) в (6.170), получим условие для определе ния значения t в области III:
247
arcsin |
|
5_ |
— arcsin |
5_____2_K*_ |
|
|
3 |
3 |
3 t-> |
||
|
|
2 |
|||
arcsin l |
5____ 8_ ^ |
|
|
2a. (6.174) |
|
3 |
3 К |
|
|
||
Характерные размеры определяются геометрией обла стей напряженного состояния.
Решение задачи о предельном равновесии тупоуголь ного бетонного клина при условии пластичности (1.44) дано в [56]. В условиях плоской деформации условие пластичности имеет вид (5.92).
Решение задачи о равновесии клина будет склады ваться из решений в трех характерных областях (см. рис. 126). Здесь и далее даются ссылки на рисунки, отнесенные к задаче о тупоугольном клине при условии пластичности (5.9). Для рассматриваемых случаев ри сунки будут отличаться только геометрическими разме рами.
В области I существует равномерное напряженное со стояние, определяемое соотношениями (6.25) — (6.27). Очертания области определяются по уравнениям харак теристик (5.102) при |3 = 0 и T = T0=const. Характеристи ки представляют собой две системы параллельных пря мых, составляющих с осью х углы ±уо, абсолютная ве личина которых определяется соотношениями (5.104)
и(5.105).
Вобласти II (см. рис. 127) осуществляется простое напряженное состояние, при котором одно семейство ха рактеристик— радиальные прямые с центром в особой точке А.
Так как семейство характеристик z = const — прямые линии, то t/0 =0 и угол р определяется по (6.28). Соот ношения на характеристиках £= const и « = const имеют вид (6.29) и (6.30), где Ф(т) вычисляется по (6.32).
Окончательное выражение условия на характеристи ках и = const записывается в виде (6.35). Аналогичное выражение уравнений характеристик второго семейства
и = const имеет вид (6.37).
С уменьшением угла раствора клина изменяется раз мер и очертание области //: при 2а = я она имеет макси
мальные размеры; если же 2а= |
область вырождает |
ся в линию. |
|
248
В области III простое напряженное состояние и 0 \= q. Для определения значений о2 и ст3 подставим в (6.35) граничное условие по линии ОА :
V = |
V; |
6 — 0= ос-Ьу—л* |
(6.175) |
Подставляя (6.175) |
в |
(6.35), получим уравнение |
|
ф (т0) — ф (т) — я + 2 а = 0, |
(6.176) |
||
позволяющее для заданного угла раствора клина полу чить значение т на ОА и во всей области, а с помощью (5.97) и (5.8) — значения o\ = q и а2, а3. Так, при 2а = я клин вырождается в полуплоскость и щ = <7= 744 кгс/см2
(72,9 |
МПа); |
а2 = 336 |
кгс/см2 |
(32,9 МПа); |
а3 = 583 кгс/см2 |
|
(57,2 |
МПа) |
(для |
соотношений RP/RC= 0,13; 7С/# С= |
|||
= 0,197). |
|
|
|
|
|
|
Для прямоугольного клина 2а= |
ctj= 161,8 кгс/см2 |
|||||
(15,8 |
МПа). |
В этом случае |
область |
II |
вырождается |
|
в прямую линию, а для 2 а < |
-у- появляется разрыв в на |
|||||
пряжениях.
Решение этой задачи при условии пластичности (1.18)
дает следующие значения напряжений: |
2а = |
я, щ = q— |
||
= 907 кгс/см2 |
(88,9 МПа), о2 —442 |
кгс/см2 |
(43,3 МПа), |
|
а3 = 708 кгс/см2 |
(69,4 МПа); 2а= |
-— |
, ai = |
196 кгс/см2 |
(19,8 МПа). |
|
|
|
|
Сравнение зависимостей (6.176) и (6.168) при
^ 2 а ^ л показывает, что использование условия пла стичности (5.190) вместо (5.122) уменьшает предельное давление на клин во всем диапазоне углов приблизитель но на 20%- Границы распространения пластической зо ны для заданных углов практически не изменяются.
Аналогичным образом данная задача может быть рассмотрена и для случая плоского напряженного со стояния.
Г Л А В А С Е Д Ь М А Я
ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕТОНА В ЗАДАЧАХ СО СФЕРИЧЕСКОЙ И ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ
25. ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕТОННОГО МАССИВА СО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ
Требуется определить предельные напряжения в бе тонном массиве, вызванные нормальным давлением qo, действующим на поверхности сферической полости ра диуса г0 [61] (рис. 128).
Дифференциальные уравнения равновесия в сфери ческой системе координат гбф применительно к рассмат
риваемой |
задаче имеют вид |
|
|
|
|
d£r_ |
|_ о °г ~ |
= 0, |
(7.1) |
|
dr |
г |
||
|
|
|
||
где о г= о и |
а е= о ф = а2 = |
0з, 0i = 0i(O, 02 = |
02(0 — соот |
|
ветственно большее и меньшее главные напряжения. Рассматривая напряженное состояние только сжатых
зон бетона, будем исходить из условия пластичности (1.18), которое при условии 02 = 03 записывается в форме
(<А - *2)2- |
(Яс - |
Яр)(0! + |
202) - |
Rc Яр = 0 |
(7.2) |
||||
или |
4Р - |
2Г0 (3р - 0 + |
(Г* - |
SI) = 0. |
(7.3) |
||||
|
|||||||||
Главные напряжения ои 02 определяются соотноше |
|||||||||
ниями |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.4) |
|
|
O i = P + |
t; |
|
~ р |
|
|
||
|
|
t2 |
+ t + |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2Г0 |
|
|
|
|
(7.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
£ |
t* |
|
|
|
|
|
|
|
<*2 |
------ I |
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 Т0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Внося (7.5) |
в (7.1), |
найдем |
|
|
|
|
|
||
|
('— + |
— ) d t + |
3 |
~ |
= |
0. |
(7.6) |
||
|
\ Т 0 |
t |
) |
|
г |
|
|
|
|
Интегрируя (7.6), получим уравнение, описывающее закон изменения напряженного состояния в массиве:
2 5 0