книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

Сетка характеристик образована двумя семействами прямых линий, составляющих с осью х постоянные углы

В у с л о в и я х п л о с к о г о н а п р я ж е н н о г о со­ с т о я н и я . Требуется определить предельное значение давления — силы Р, действующей на боковой поверхно­ сти тонкой пластинки, толщина которой условно приня­ та равной единице.

Решение поставленной задачи будет складываться из решений в трех характерных областях напряженного состояния. Получим последовательно эти решения.

ние. Решение будет состоять в определении значения Оь установлении очертаний области и определении гранич­ ных условий на линии ОВ, необходимых для решения в области БОА. По (5.176) и (5.177) имеем

Очертания области определяются по уравнениям харак­ теристик (5.178). Характеристики в области I представ­ ляют собой прямые линии, составляющие с осью х углы

±Уо'-

. 2Г0— — Re

Область 1 представляет собой равнобедренный тре­ угольник, длина основания которого (ОС) пока неиз­ вестна.

Решение в области II (ВОА). В области существует особое напряженное состояние. Решение будет состоять в определении переменного в направлении второго се­ мейства характеристик « —const напряженного состоя­ ния, установлении очертаний области и определении граничных условий на линии ОА, необходимых для ре­ шения в области ОАО (см. рис. 105). Зависимость меж­ ду искомыми функциями t и р на характеристиках опре­ деляется соотношениями (5.145) и (5.146). Используя граничные условия на линии ОВ, вычислим значение

Подставляя найденное значение t в (5.129), получа­ ем искомые значения главных напряжений в рассматри­ ваемой точке. Соотношение (5.180) определит значе­ ния р.

212

Очевидно, в области // вдоль характеристик первого

семейства £ = c o n st— /=const, p=const, y= const, (3= = const.

Получим аналитическое выражение уравнений ха­ рактеристик второго семейства w = const. Подставляя

(5.180) в (5.142) для семейства «—const, найдем

штамп (тп= 0). В области существует простейшее нап­

2 1 3

Значение t, определяемое по (6.84), будет оставаться постоянным во всей области III. По найденному значе­

нию t с помощью соотношения (5.129) определим иско­ мые значения щ и Ог-

Дифференциальные уравнения полей направлений ха­

2. По поверхности контакта штампа и бетонного ос­ нования действует сила трения, величина которой оста­ ется постоянной и принимается равной k.

В дальнейшем также не рассматриваются напряжен­

простейшее напряженное состояние. Траектории боль­ шего главного нормального напряжения ai представля­ ют собой прямые линии, отклоняющиеся от нормали к

2 1 4

По значению t (рис. 107) и соотношениям (5.129) определим искомые значения и а2.

Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик принимают вид

Сетка характеристик образована двумя семействами прямых линий, составляющих с осью х постоянные углы

• у + У — (а + 6) и у — (у + а + 6) .

Предельное давление штампа определится по формуле

где

(Т„ = р — t cos 2 (р + a).

3. По поверхности контакта штампа и бетонного ос­ нования действует сила трения, пропорциональная ве­ личине нормального давления |тп| =<7ntgp. Значение нормального давления по поверхности контакта штампа

Я

и основания по (5.175) при ср— —---- а находим в виде

215

Вспомогательная величина 6, задаваемая соотношением Tn= i‘sin 2 6, определяется в виде

Сетка характеристик образована двумя семействами прямых линий, составляющих с осью х постоянные углы

2 1 6

Задача о действии жесткого кругового штампа на бе­ тонное основание. В у с л о в и я х п л о с к о й д е ф о р м а ­ ции. Решение сформулированной выше задачи будет складываться из решений в трех характерных областях напряженного состояния (рис. 108). Решения в областях / и II (СОВ и ВОА соответственно) идентичны решени­ ям в соответствующих областях в задаче о жестком уг­ ловом штампе.

2 1 7

В области III (ОAD) наблюдается переменное напря­ женное состояние.

1. При отсутствии сил трения по поверхности кон­ такта штампа и бетонного основания (тп= 0) касатель­ ные к траекториям большего главного напряжения в точках контактной линии представляют собой прямые, нормальные к линии контакта штампа и бетонного осно­ вания; следовательно, направлены они по радиусам ок­ ружности, ограничивающей жесткий штамп (рис. 109).

Используя граничные условия на прямой ОЛ_ и соот­

ношения (5.22), можно вычислить значение у = у на гра­ ничной линии ОА; по рис. 109 имеем на характеристике z = const:

Значение у не остается постоянным во всей области III, но можно показать, что вид зависимости (6.100), оп­

ределяющей значение угла у в функции угла а, сохра­ няется во всей области III. В этой области имеем

Используя условие на характеристиках (5.22), опре­ делим постоянную С2(ы) из условия равенства значения

Таким образом, вид зависимости (6.100) сохраняет­ ся во всей области III.

218

Характеристики второго семейства и= const нахо­ дятся путем интегрирования дифференциального урав­

2. При постоянной силе трения между штампом и ос­ нованием характер распределения напряжений такой же, как в задаче о штампе при отсутствии сил трения.

В области III (OAD) (рис. ПО) касательные к траек­ ториям большего главного нормального напряжения в точках контакта штампа и основания представляют со­ бой прямые линии, отклоняющиеся от нормали к линий контакта на угол б [эта величина принимается по соотно-

219

шению (6.58)] и образующие с осью х переменные углы

Внося (6.107) в (6.45), получим зависимость для оп­ ределения угла у:

tg 2у — 2у = (tg 2у0— 2у0) + тс — 2 (а + 6). (6.108)

Значение у не остается постоянным во всей области III, но вид зависимости (6.108), определяющей значение

у в функции угла а, сохраняется во всей области III.

По найденному значению угла у легко определить зна­ чения главных напряжений 0 \ и аг для любой точки об­ ласти III.

Характеристики z= const — прямые линии, образую­

Характеристики второго семейства u= const опреде­ ляются путем интегрирования дифференциального урав­ нения

ах

2 2 0