книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

Рис. 120.

231

ванием дифференциального уравнения (6.103). Предель­ ное давление штампа определится по условию равнове­ сия в форме (6.105).

2. При постоянной силе трения на линий контакта штампа и основания решение в области ОАО' также ха­ рактеризуется равномерным полем напряжений (рис. 119). Граничное условие на ОА в области /// име­ ет вид (6.107) (рис. 120), а соотношение для определе­

ния углов у в той же области — вид (6.108). Характери­ стики z==const — прямые линии, образующие с осью х

уравнения (6.109).

Предельное давление штампа определится по усло­ вию равновесия в форме (6.111).

3. При силе трения между штампом и основанием, пропорциональной нормальному давлению, распределе­ ние напряжений такое же, как в задаче о штампе при постоянной силе трения (см. рис. 119). Граничное усло­ вие на ОА (см. рис. 120) записывается в форме (6.114).

Соотношение для определения угла у найдено выше в виде (6.115). Дальнейшее решение аналогично решению в задаче о штампе при постоянной силе трения. Пре­ дельное давление определится по условию равновесия в

теризуется равномерным полем напряжений. Предельное давление определится по условию равновесия в форме

(6.126).

2. При постоянной силе трения между штампом и ос­ нованием решение в области ОАО' также характеризу­ ется равномерным полем напряжений. Граничное усло­ вие на линии ОА (см. рис. 120) записывается в форме

(6.128). Соотношение для определения параметра 7 по­ лучено в виде (6.129). Предельное давление определяет­ ся в форме (6.131).

3. При силе трения, пропорциональной нормальному давлению, распределение напряжений такое же, как

232

в задаче о штампе при постоянной силе трения. Пре­

Решение совершенно аналогично рассмотренному выше решению задачи о действии идеально гладкого штампа на бетонное основание в постановке Хилла (см. рис. 104). В области III (OAD) имеется простейшее напряженное состояние. Используя граничные условия на прямой ОА (6.49) (см. рис. 105), получим трансцендентное уравне­

ние (6.50) для определения значения у в области III. Соотношения (5.24) и (5.17) определяют значение пара­

метра t и искомые значения oj и стг главных напряжений. Предельное значение давления штампа определится по соотношению (6.55).

2. Рассмотрим теперь ту же задачу о действии угло­ вого штампа на бетонное основание при условии возник­

01 и 02 находим по соотношениям (5.24) и (5.17). Зависи­

233

мость (6.62) определяет предельное давление штампа на основание;

б) при б > а сила трения нигде на линии контакта не достигает максимальной величины. В области III (под линией контакта штампа и основания) наблюдается простейшее напряженное состояние, причем скольжение на линии контакта отсутствует.

Траектории большего главного напряжения образу-

ТС

ют с осью х угол (3= — . Граничное условие на ОА:

Таким образом, приходим к решению в области III, аналогичному решению в соответствующей области для штампа с прямолинейной контактной линией.

Используя граничное условие (6.142) и соотношение (6.45), получим ^трансцендентное уравнение для опреде­

ления значения у в данном случае:

сила трения, максимальная величина которой пропорци­ ональна нормальному давлению |т,г|= а „ tgp. Значения величин р и 6 определяются по (6.68) и (6.70). В зави­

симости от соотношения между величиной б и углом а

[б определяется по (6.70) при t = f\ могут представить­ ся два случая:

а) при б<Са сила трения достигнет максимальной ве­ личины вдоль всей линии контакта. Распределение на­ пряжений такое же, как в задаче о штампе при постоян­ ной силе трения (см. рис. 106). В этом случае решение рассматриваемой задачи также идентично соответству­ ющему решению в постановке Хилла.

Значение угла у для области III (OAD) (см. рис. 107) определяется по (6.72). Соотношение (6.75) дает пре­ дельное давление штампа на основание;

б) при 6 > а сила трения нигде на линии контакта не достигает максимальной величины |тп| ^Ontgp. Под всей линией контакта образуется область равномерного

2 3 4

напряженного состояния (см. рис. 115). Этот случай был уже рассмотрен выше. Напряженное состояние опреде­ ляется соотношениями (6.143), (5.24) и (5.17).

дентное уравнение (6.84) для определения значения t в юбласти III. Соотношения (5.128) и (5.129) определяют

искомые значения параметра р и а ь а2. Предельное зна­ чение давления штампа находится по соотношению

( 6.86).

2. При силе трения на линии контакта штампа и ос­ нования, максимальная величина которой постоянна (tn — k), введем в рассмотрение вспомогательную вели­ чину 6 по соотношению (6.58). В зависимости от соотно-

определяется по (6.84)] могут представиться два случая:

а) при 6 < а сила трения достигает максимальной ве­ личины k на всей линии контакта (см. рис. 107). Реше­ ние рассматриваемой задачи идентично соответствующе­

му решению в постановке Хилла. Значения параметра t, величин главных напряжений ai и сг2 определяются но формулам соответственно (6.89), (5.129). Зависимость (6.90) дает предельное значение давления штампа на ос­ нование;

б) при 6 > а сила трения нигде на линии контакта не достигает максимальной величины. Под линией контакта образуется область равномерного напряженного состоя­

ния. Зависимость для определения параметра t в этой области имеет то же выражение, что и в задаче о дейст­ вии прямолинейного штампа на бетонное основание:

2 3 5

01и о2.

3.При силе трения между штампом и основанием,

максимальная величина которой пропорциональна нор­ мальному давлению |T n |= 0 ntgp, значения величин р и 6 определяются по (6.95) и (6.96). В зависимости от со­

отношения между величиной 6 [6 определится по (6.96) при t — t] и углом а могут представиться два случая:

а) при 6 < а сила трения достигает максимальной ве­ личины вдоль всей линии контакта. Распределение на­ пряжений такое же, как в задаче о штампе при постоян­ ной силе трения (см. рис. 106). Решение задачи также идентично соответствующему решению в постановке Хилла. Соотношение (6.98) определяет предельное дав­ ление штампа на основание;

б) при 6 > а сила трения нигде на линии контакта не достигает максимального значения. Под линией контак­ та образуется область равномерного напряженного со­ стояния, которое определяется соотношениями (6.144) и (5.129).

Задача о действии жесткого кругового штампа на бе­

аналогично решению соответствующей задачи в поста­ новке Хилла.

2. При постоянной силе трения между штампом и ос­ нованием следует рассмотреть три характерных случая:

а) при 6 < а (6 определится аналогично задаче о дей­ ствии углового штампа) сила трения достигает макси­ мальной величины по всей линии контакта (рис. 122). Характер распределения напряжений такой же, как в за­ даче о штампе при отсутствии сил трения. И в этом слу­ чае решение совершенно аналогично соответствующему решению в постановке Хилла;

б) при сила трения достигает максималь­ ной величины х'п= к лишь на некоторых крайних участ­ ках линии контакта (до точки на линии контакта, для ко­

торой j a j = 6 — точка О" на рис. 123). Распределение напряжений под этими крайними участками аналогично

2 3 6

случаю, рассмотренному в предыдущем параграфе

(рис. 124). На участке линии контакта, где |а |< 6 , име­ ется простейшее напряженное состояние. Сетка харак­ теристик в этой области образована двумя _системами

прямых линий, пересекающихся под углами 2у, а траек­ тории главных напряжений — прямые линии, образую­

щие с осью х углы р =

Предельное давление определится по формуле

в) при 6 > а сила трения нигде на линии контакта не достигает максимальной величины. Следовательно, под

238

линией контакта образуется область равномерного на­ пряженного состояния, определяемая, как и в случае внедрения углового штампа (рис. 125). Предельная сила давления штампа будет

3. По поверхности контакта штампа и основания дей­ ствует сила трения, максимальная величина которой пропорциональна нормальному давлению |т„| = 0ntgp. Значения величин (5 и 6 определяются соотношениями (6.112) и (6.113). В зависимости от соотношения между

величиной 6 и углом a [6 определится по (6.113) при ( = /] следует рассмотреть три случая:

а) при 6 < а сила трения имеет максимальное значе­ ние на всей линии контакта. Распределение напряжений такое же, как в задаче о штампе при постоянной силе трения (см. рис. 122). Решение рассматриваемой задачи аналогично соответствующему решению в постановке Хилла;

б) при О ^ б ^ а о сила трения достигает максималш ной величины только на некоторых крайних участках ли­

?39

или в функции у:

V(«o)

область равномерного напряженного состояния, анало­ гичная случаю углового штампа (см. рис. 125). Предель­ ная сила давления штампа определится по формуле

2 4 0