книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

Область I (COB) представляет собой равнобедрен­ ный треугольник (В С = О В ), длина основания которого

Рис. 97.

Решение в области II (АВО). В области существует особое напряженное состояние. Характеристики первого

191

Внося (6.1 ) в (5.32), получим окончательное выражение условий на характеристиках u=const:

На основании (6.2) для заданного значения 0 можно вычислить соответствующее значение у, которое, в свою очередь, определит с помощью (5.24) значение парамет­ ра t. Подставляя найденное значение t во вторую форму­ лу (5.17), находим искомые значения главных напряже­ ний в рассматриваемой точке. Значения угла р определя­ ются по (5.70).

Таким образом, формулы (6.2) и (5.70) являются ре­ шениями задачи об определении напряженного состоя­

=186 кгс/см2(18,2 МПа).

Для полного завершения решения в области II полу­

чим аналитическое выражение уравнений характеристик второго семейства u=const. Подставляя выражение для Р из (5.70) в соотношение (5.28), найдем

Внося в (6.3) условие (6.2), произведя разделение пе­ ременных, получим

г20 +(tg 2у0 — 2у0) -(- я ’

Интегрируя (6.4) и определяя произвольную постоян­

ную из условия 0= 0О=: —^ ---- y0j, г — г0, найдем иско­

мое уравнение характеристик второго семейства:

192

tg2Vo I

Уравнение (6.5) будет использоваться в дальнейшем при определении границ распространения предельного состояния бетона (длины участков ОС и О'С') при за­ данной ширине полосы приложения нагрузки.

Решение в области III (ОАО'). Для области III ха­ рактерно простейшее напряженное состояние. Граничное условие на 0 0 ' определяет:

Для определения значений о\ и о2 воспользуемся со­ отношением (6.2 ), с помощью которого можно вычислить

значение у = у на граничной линии областей II и III. По рис. 98 очевидно, что для характеристики z=const(CM_)

0 = 6 = 7, (6.7)

так как в области III траектории ai— вертикальные пря­ мые.

Подставляя (6.7) в (6.2), получим трансцендентное уравнение для определения искомого значения у на гра­ ничной линии ОА:

с помощью соотношения (5.24) вычислим значение t для области III, которое по (5.17) определит искомые значе­ ния oj = q, о2-

Найдем предельное значение нагрузки и вычислим характерные геометрические размеры областей предель­ ного состояния бетона для рассматриваемого числового примера. _

При yo= 30°50/ соотношение (6.8) имеет вид tg2y— —2у= 4,05, откуда y = 39o50'.

Значение а3 можно вычислить по формуле (5.8):

Это давление вызывает в области III (ОАО') в усло­ виях плоской деформации всестороннее неравномерное сжатие, характеризуемое следующими значениями глав­ ных напряжений:

= 9,07jRc; а2 = 4,22ЯС; а3 - 7,08ДС. (6.10)

Характерные размеры определяются из простых гео­ метрических соображений. При /?р//?с= 0,13 по рис. 98, очевидно,

т. е. приблизительно в 5 раз превышает ширину штампа.

Плоское напряженное состояние. Требуется опреде­ лить предельное значение давления q, равномерно рас­ пределенного на отрезке длиной 2 а (см. рис. 97), дейст­ вующего на плоской боковой поверхности тонкой пла­ стинки, толщину которой будем условно принимать рав­ ной единице. Такая постановка задачи будет, очевидно, соответствовать случаю плоского напряженного состоя­ ния основания штампа [29]. Решение поставленной зада­ чи будет складываться из решений в трех характерных областях напряженного состояния. Получим последова­ тельно эти решения.

194

Решение в области I (СОВ). В области / имеется простейшее напряженное состояние (см. рис. 97). Реше­ ние будет состоять в определении значения оь установ­ лении очертаний области и определении граничных ус­ ловий на линии ОВ, необходимых для решения в обла­ сти ВОА-

В области I по (5.176) и (5.177) имеем

Очертания области определяются по уравнениям харак­ теристик (5.178). Характеристики в области / (СОВ) представляют собой прямые линии, составляющие с осью х углы +усь

(1,3 МПа), у0=37°50/. Область / представляет собой равнобедренный треугольник, длина основания которого пока неизвестна.

Решение в области II (ВОЛ). В области II имеется особое напряженное состояние. Решение в этой области состоит в определении переменного в направлении и= const напряженного состояния, установлении очерта­ ний области и определении граничных условий на линии ОА, необходимых для решения в области ОАО'. Зависи­ мость между искомыми функциями t и (3 на характерис­ тиках определяется соотношениями (5.145) и (5.146). Используя граничные условия на линии ОВ, вычислим

Внося (6.15) и (5.180) в (5.146), получим оконча­ тельное выражение условий на характеристиках и —

= const:

На основании (6.16) для заданного значения 0 мож­ но вычислить соответствующее значение t [переменная у связана с величиной t зависимостями (5.138) и (5.139)]. Подставляя найденное значение t в (5.129), находим искомые значения главных напряжений в рассматрива­ емой точке. Соотношение (5.180) определит значения |3. Очевидно, в области II вдоль характеристик первого се­ мейства (z==const) t= const, p = const, y= const, p= = const. Получим аналитическое выражение уравнений характеристик второго семейства и = const. Подставляя

(5.180) в (5.142) для семейства и= const, найдем

используемое для определения границ распространения предельного состояния бетона.

Решение в области III (ОАО'). В области имеется простейшее напряженное состояние. Граничное условие на 0 0 ' определяет

196

Для определения значений щ и о2 в области ОАО' воспользуемся соотношением (6.16), с помощью которо­

го можно вычислить значение t = t на граничной линии областей II и III. Из рассмотрения рис. 98 ясно, что для характеристики z= const (ОЛ)

(18,3 М Па); а2=0,99 Rc = 99 кгс/см2 (9,7 МПа).

Это давление вызывает в области III в условиях плоско­ го напряженного состояния двухстороннее неравномер­ ное сжатие, характеризуемое следующими значениями главных напряжений:

Вычислим характерные геометрические размеры об­ ластей /, II, III для случая RPIRc = 0,\3. По рис. 97 и 98 видно, что

ОЛ = - А г = 1,19а.

sin у

1 9 7

стики представляют собой две системы прямых линий, составляющих с осью х углы ±уо, абсолютная величина которых определяется соотношениями (5.104) или (5.105). В рассматриваемом случае у0= ЗГ44'. Область 1 представляет собой треугольник, длина основания ко­ торого определяется из решения в областях II и III.

Решение в области II. Это область простого напря­ женного состояния, когда одно семейство характеристик z= z(r, 0)= co n st — система радиальных прямых с центром в точке О (см. рис. 98). Здесь и в дальнейшем даются ссылки на рисунки, отнесенные к задаче о штам­ пе при условии пластичности (5.9), так как для рассмат­ риваемого случая рисунки будут отличаться только гео­ метрическими размерами.

липтические интегралы первого, второго и третьего рода соответственно; 2k (г) — сумма интегралов от элементар­ ных функций.

Искомая функция Ф (т) протабулирована в [56].

199

Используя граничные условия па прямой ОВ: 0—

Подставляя (6.34) и (6.28) в (6.30), найдем оконча­ тельное выражение условия на характеристиках и —

= const:

Уравнения характеристик семейства r/= const полу­ чим по второму соотношению (5.110), внося в него усло­ вия (6.28):

Интегрируя (6.36) методом разделения переменных, определим

Решение в области III. Имеется равномерное напря­ женное состояние, причем Oi = q (см. рис. 98). Для опре­ деления 02, Оз воспользуемся формулой (6.35). Подстав­

ляя в (6.35) условие 0= 0= у (на границе ОА), полу­ чим уравнение, определяющее напряженное состояние в области III ( т = const):

давление штампа составляет д= 7,44 Не­ определим характерные геометрические размеры об­

2 0 0