книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

ном состоянии равна единице. На рис. 51 и 52 построены кривые распределения напряжений и деформаций в мас­ сиве для предельного значения внутреннего давления

( т = 1 ) .

14. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕТОННОГО МАССИВА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ

в у с л о в и я х п л о с к о г о н а п р я ж е н н о г о с о с т о я н и я

И ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

1. Определим напряженно-деформированное состоя­ ние в неограниченной бетонной пластинке, вызванное давлением q0, действующим по контуру кругового отвер­ стия радиуса го [5]. Считаем, что здесь имеется плоское напряженное состояние (а2= 0) [3].

Инварианты а и Г, согласно (3.25) и (3.26), равны:

С помощью (3.37) выразим напряжения ог и ое через инварианты а и Т:

(3.38)

Из (3.22) и (3.37), полагая модуль дилатации g0 рав­ ным нулю, получим выражения для деформаций:

(3.39)

(1 + V ) } / 4 Г 2 — З а 2].

121

Подставив (3.38) и (3.39) в уравнения (3.20) и (3.21)

и исключив координату г, получим инвариантное диффе­ ренциальное уравнение:

3(1 —V) Л.— (1+v) V 4/2 —ЗЯ2

где b =

УУ '

Предположим, что на достаточном удалении от за­ груженной полости давление о~ = а 0= 2 кгс/см2

(0,2 МПа). На рис. 53 приведена интегральная кривая, построенная по результатам численного решения урав­ нения (3.40) на ЭВМ при тех же исходных данных, что и в предыдущем параграфе. Далее интегрируем уравне­ ние равновесия (3.20), выраженное с помощью (3.38) в инвариантах о и Т с учетом построенной интегральной кривой (рис. 53) и граничного условия на контуре поло­ сти аг\г=г„ = сгг (г0) . Решение этого уравнения имеет вид

графики которых приведены на рис. 54 и 55. С помощью формул (3.38) и (3.39) строим эпюры напряжений (рис.

2 (l+ v)

122

Подставив (3.42) в (3.22) при go=0, получим

6/Rp

Аналогично рассмотренному выше случаю уравнения равновесия (3.20) и совместности деформации (3.21) с учетом (3.42) и (3.43) после исключения г дают инвари­ антное дифференциальное уравнение:

123

12 (1 — v2) b(I + b) kTcV Я2 + 4

X X

3(1 _ v _ 2v2)X — (1 + v)V 4(1 + v)2f*— 3(1 — 2v)s X2

(3.44)

Граничным условием, как и выше, является условие на бесконечности. Пусть о^^сгд = 2 кгс/см2 (0,2 МПа)

или а оо= 1,5; Т^— 0,77.

йг-йГ

6/R„

Рис. 59.

£л'05

Аналогично предыдущему случаю для данных гра­ ничных условий численным способом построена инте­ гральная кривая (рис. 58). С учетом последней и гранич­ ного условия на полости ° г\г=г> = аг(г0) получено ре­ шение уравнения равновесия

124

г,

(3.45)

т

[За + \ f 4 (l+ v )2r 2— 3(1 — 2v)2a2]

где Q(т) =

2]А (1 + v)2 Г2 — 3 (1 — 2v)2а2

Используя интегральную кривую на рис. 58 и (3.45), находим распределение напряжений и деформаций в бе­ тонном массиве. На рис. 59—61 построены эпюры ar,cr0 ,

ог, еги е0 для случая, когда на внутренней поверхности

бетонной полости наступает предельное состояние ( т = 1). В заключение можно отметить, что при одних и тех же исходных данных предельное состояние на внутрен­

плоской деформации имеют большие значения, чем для плоского напряженного состояния при одном и том же

r i= — . Для бетонного массива со сферической полостью

г0

предельное состояние на внутренней поверхности поло­

15. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОЛСТОСТЕННОЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ ТРУБЫ

Используем результаты, полученные в разделе 8, для расчета толстостенной железобетонной трубы [107]. Пусть железобетонная труба имеет кольцевое армирова­ ние |хе (г), неравномерное по толщине стенки. Соотноше­

ния (2.29) в этом случае примут вид

(3.46)

125

Имеем уравнение совместности деформаций:

где р= относительный радиус.

Введем обычным образом функцию напряжений:

рdp

Подставив (3.46) и (3.49) в (3.48), получим нелиней­ ное уравнение для функции напряжений:

ближениями методом конечных разностей, аппроксими­ руя производные с точностью до 0 (/i2) :

126

Подставив (3.51) в (3.50), получим разностное урав­ нение:

Задача решается на ЭВМ. В первом приближении, полагая £ ( Г ) = £ 0, с учетом (3.53) формируем матрицу и решаем систему линейных уравнений (3.52). Первое приближение совпадает с решением задачи Ламе для упругой ортогональной трубы. По найденным из первого приближения напряжениям и деформациям вычисляются Е ( Г),-; при этом

Вычисленные значения £(Г)г подставляем в (3.47), снова формируем матрицу и решаем систему уравнений (3.52), и так до тех пор проводим эти операции, пока не выполнится условие

Индекс k в (3.55) указывает на ^-приближение; е— заданная точность вычислений.

127

На рис. 62, 63 и 64 приведены графики напряжения ае при разном кольцевом армировании. Как видно, ха­ рактер армирования влияет на количественные значения напряжений при одних и тех же граничных условиях. При задании це в виде разрывной ступенчатой функции,

имитирующей армирование несколькими равномерно расположенными стержнями (рис. 64), эпюра а0, откло­ няясь в местах армирования, в целом имеет тот же ха­ рактер, что и эпюра с одинаковым по площади постоян­ ным армированием.

Численные результаты на рис. 62—64 получены при следующих расчетных параметрах: = 200 кгс/см2

(19,6 МПа); Rv= 20 кгс/см2 (1,9 МПа); Тс = 35 кгс/см2

более опасной для бетона зоне растягивающих напря­ жений.

9—1018

Г Л А В А Ч Е Т В Е Р Т А Я

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ

ПЛАСТИЧНОСТИ БЕТОНА И ЖЕЛЕЗОБЕТОНА

16. ОБОБЩЕННАЯ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ БЕТОНА

Соотношения между напряжениями и деформациями в бетоне (2 .12) для случая плоского напряженного со­ стояния запишем в виде

2тад(1 + v )

*ху

Е (у)

где

Введение величины относительной интенсивности де­

формаций сдвига у= — позволяет получить достаточно Гч

простое разрешающее дифференциальное уравнение. Вве­ дем обычным образом функцию напряжений:

Подставив (4.3) в уравнение совместности деформа­ ций, получим для функции напряжений следующее диф­ ференциальное уравнение:

130