книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

(рис. 84). Построение решения различно в зависимости от величины угла (3 в точке О. Если этот угол равен углу Р на отрезке ОА в точке О, то поле характеристик имеет вид, показанный на рис. 84. Если же характеристика z=

область разбивается на две части — ВОА' и А'ОА. Пер­ вая из них будет находиться в условиях предыдущего слу­ чая при задании значений t и р на характеристике ОА'. Эти значения определяются решением для области А'ОА — вырожденного случая начальной характеристи­ ческой задачи.

Численные методы решения исходной системы урав­ нений (5.19). Наиболее простыми практическими метода­ ми решения конкретных задач являются приближенные методы построения полей характеристик, связанные с пе­ реходом к конечно-разностным соотношениям. При этом используются различные рассмотренные выше свойства характеристик. Эти методы нашли широкое применение в статике сыпучей среды, газовой динамике и т. п. В тео­ рии идеальной пластичности эти методы развиты в рабо­ тах В. В. Соколовского [100], Р. Хилла [113], В. Праге­ ра и П. Ходжа.

Ниже приведены некоторые приближенные решения исходной системы уравнений (5.19).

В дальнейшем удобно принять за неизвестные величи­ ны параметры %и (3. Значения искомых величин %, (3, х, у в точках пересечения т-й характеристики £=const и 1-й характеристики Tj= const обозначим через %т ,г, рто,г, хт,и

Ут,1• ЕСЛИ ВеЛИЧИНЫ %m—1 ,г> %т,1—Ь Рт—1,1, Рт,1—1 >

... известны, то для вычисления значений %т,г, рт ,г

X ^(Р*,Л_1 + Vm . l - 1)'

162

Решая эти уравнения относительно хт,и Ут,и получим следующие рекуррентные формулы:

Координаты узлов определяются по рекуррентным формулам (5.73) и (5.74). В остальных узлах сетка ли­ ний скольжения строится по схеме начальной характери­ стической задачи.

2. Начальная характеристическая задача. Отрезки линий скольжения ОА и ОВ делим на малые части (/, 0), (2, 0), ..., (m, 0)\ (0, 1), (0, 2), ..., (О, п). На основании первого свойства характеристик находим значения функ­ ций х и р в узле (m, п) (рис. 87):

(5.73), (5.74).

В вырожденном случае известен угол р в вершине О. Разделим этот угол на малые части Ро,о, Ро,ь •••» Ро,п, при этом Ро,п будет углом между характеристиками О—п и ОА (рис. 88). Значение рТО)Т1 в узле ш, п находим по вто­ рому соотношению (5.76). Параметр %разрывен в точке О, и его нельзя непосредственно вычислить по первой формуле (5.76). Определим сначала %\,п в точках (/, п)

(см. рис. 88). Для точки (1, 0) значения хко и Pi,0 заданы; тогда известен параметр

В дальнейшем можно пользоваться формулой (5.76), заменяя значение хо,о через xi.n-

3. Смешанная задача. В общем случае смешанной за­ дачи (рис. 85) решение в области ОАА' строится как в вырожденном случае начальной характеристической за­ дачи. Рассмотрим область ОА'В (см. рис. 89). Разделим ОА ' на малые отрезки (/, 0) (2, 0) ... Методом последо­ вательных приближений находим значения искомых функций х и р в точке (1, 1). Точки (2, 1), (3, 1)... вычис­ ляются как в начальной характеристической задаче, точ­ ка (2, 2) опять находится путем последовательных при­ ближений.

Разрывные решения. Соотношения на линии разрыва напряжений. В некоторых случаях невозможно построить решения с непрерывным распределением напряжений. При этом существуют решения с разрывными напряже­ ниями, удовлетворяющие граничным условиям (такие разрывы называются сильными).

Метод С. А. Христиановича [116], примененный ра­ нее к определению уравнений характеристических линий, позволяет получить и уравнение линии разрыва. Для это­ го достаточно в приведенных выше соотношениях (5.20) приравнять нулю знаменатель каждой дроби. Выполнив это, найдем уравнение линии разрыва в виде

ах

Касательная к линии разрыва образует с осью х либо угол p-j-y, либо угол р—у. Это означает, что линия раз­ рыва может быть характеристической или огибающей характеристик.

Вдоль линии разрыва производные от t и р по коорди­ натам х, у, а также и производные от компонент напря­ жения ох, оу, %Ху по координатам обращаются в бесконеч­ ность. Иными словами, компоненты напряжений претер-

164

певают на линиях разрыва конечные скачки. Наличие линий разрыва в решении указывает на невозможность су­ ществования чисто пластического напряженного состоя­ ния с непрерывным распределением напряжений. Поми­ мо пластических областей будут существовать упругие зоны, вырождающиеся в пределе в линии разрыва.

Необходимым и достаточным условием существования линии разрыва является равенство нулю вдоль этой ли­ нии функционального определителя преобразования:

Для доказательства высказанного положения выра­ зим производные от компонент напряжения ох, ау, гху по координатам х, у через производные от х, у по перемен­ ным ц, например:

и аналогичные выражения для остальных производных. Внося затем в (5.80) частные производные

Все члены правых частей этих соотношений (исключая

по условию ограничены. Следовательно, если одна

из производных обращается в бесконечность, то функцио­ нальный определитель преобразования Д(х, у) =0. Таким

165

образом, доказана необходимость этого условия для су-

1

= — показывает, что это условие является также и дос­

таточным.

Можно показать, что огибающая характеристик в плоскости х, у является линией разрыва. Рассмотрим, к примеру, семейство характеристик | = const, параметри­

которое показывает, что вдоль огибающей характеристик функциональный определитель преобразования А(х, у) = = 0, т. е. огибающая является линией разрыва. Аналогич­ ные результаты для обобщенного условия пластичности

ходится путем интегрирования уравнения — = tg (p —у).

йх

Проведенное исследование показывает, что это реше­ ние справедливо лишь до линии разрыва, представляющей собой огибающую прямолинейных характеристик и опре­ деляемой уравнением*

1 6 6

Это уравнение получено по интегралу (5.59) уравнений пластичности.

Аналогичное уравнение легко может быть найдено и во втором случае, при g = £0= const.

Рис. 90.

При разрывах в напряжениях (так же как и в случае идеальной пластичности) выполняются простые соотно­ шения, вытекающие из уравнений равновесия и условия пластичности.

На рис. 90 представлены отрезок линии разрыва N и компоненты напряжений, приложенные к бесконечно малому элементу, лежащему на линии N. Значения ком­

167

понент напряжений по разные стороны линии разрыва отличаются индексами «-f-» и «—». Имеем

Разрыв возможен лишь в тангенциальной составляю­ щей 0(. Условие пластичности (5.10), справедливое по обе стороны линии разрыва, разрешим относительно ot; имеем

Поскольку N — линия разрыва, в формуле (5.86) для

значений a t и аТ нужно взять верхний и нижний знаки соответственно. Величина скачка в at будет равна:

или, используя более удобное обозначение,

[ о,] = 4 У 2Т0о„ - r l + (73 + ф S * ). (5.88)

В силу условий непрерывности напряжений ап и хп на линии разрыва на последней должны выполняться сле­ дующие соотношения:

/2+ ^

Г /+ cos2 (p+ — ф) = ^ г- + *“ соз2 ( Г - <р); (5.89)

(5.90)

[t sin 2 ф — ср)] = 0.

Согласно этим соотношениям, линия разрыва N в каждой точке не является биссектрисой угла, образуемо­ го одноименными линиями скольжения (рис. 91) [39].

168

Переходя к исследованию исходной системы уравне­ ний (5.11), (5.12), отметим, что условие (5.11) отличает­ ся от условия (5.9) коэффициентом в фигурных скобках. Изменение этого коэффициента в зависимости от вида напряженного состояния и его аппроксимация прямой

кривая прочного сопротивления для плоской деформации при условии пластичности (5.9) — II и кривая прочного сопротивления (5.11), полученная в результате аппрок­ симации уточняющего коэффициента — /. Максимальное отклонение аппроксимирующей прямой

от истинной кривой в области смешанного напряженно­ го состояния растяжения-сжатия составляет приблизи­ тельно 10%, а в области сжатия не превышает 4% (см. рис. 92). Из полученных ниже решений было уста­ новлено, что проведенная аппроксимация в большом диа­ пазоне напряженных состояний обеспечивает получение результатов, близких к истинным.

Подставляя (5.91) в (5.11), получим окончательное

169

а — угол наклона аппроксимирующей прямой к оси т;

для системы уравнений (5.9) и (5.12), отметим только основные моменты.

Разрешающие уравнения для плоской деформации.

где р — угол между положительным направлением оси х и направлением максимального главного нормального напряжения.

Подставляя (5.98) и (5.99) в систему дифференциаль­ ных уравнений равновесия (5.12), получим систему двух разрешающих дифференциальных уравнений относитель­ но неизвестных функций т и р :

170