книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

дуктивным методом на осциллограммы с помощью осцил­ лографа Н-700. Сущность индуктивного способа записи зак­ лючалась в том, что высокочастотные сигналы звукового ге­ нератора модулировались колебаниями осциллятора и, таким образом, огибающая на осциллограммах дает представле­

ным путем, так что в декартовых координатах его выразить довольно трудно.

§ 2. РАСЧЕТ ПРОФИЛЯ НАПРАВЛЯЮЩИХ ПЛОСКОЙ КОНСОЛЬНОЙ ПРУЖИНЫ С НАПЕРЕД ЗАДАННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Рассмотрим задачу о подборе формы лекала, на которое должна постепенно ложиться плоская пружина для получе­ ния заданной зависимости между нагрузкой Р и прогибом х пружины, если эта зависимость дана аналитически в виде равенств

добного рода проводился в работах [76, 77]. Здесь же мы коснемся некоторых особенностей возможных решений задачи с учетом требований, предъявляемых к нелинейному устрой­ ству как составной части параметрического генератора.

Прогиб X конца пружины (рис. 85) отсчитывается от положения последней при нагрузке Р, равной нулю. Укажем на 'основные возможные случаи совместной работы пружины и направляющей, исходя из характера их взаимного кон-

249

точке С; I — общая длина пружины (рис. 85); Іу — момент инерции .поперечного сечения пружины в точке, совпадающей

сучастком dy.

Сточки зрения получения непрерывной характеристики вышеописанный случай «а» совместной работы консоли и ле­ кала более предпочтителен, так как «а лекало ложится це­ лый участок АС пружины и, следовательно, вся эта часть пружины не работает и можно рассматривать всю остальную свободную часть консоли СО как защемлённую в точке С. В случае же «б» неконтактирующая часть АС пружины также частично работает, смягчая общую жесткость пружины (что равносильно менее жестким условиям '«заделки» консоли в точке С).

(Бесконечно малое изменение dP нагрузки Р и соответ­

ствующее изменение dx прогиба пружины связаны равен­ ствам

и

отвечающим первому закону «а» работы лекала. В рассмат­ риваемом случае пружина плавно ложится на лекало и при этом точки, уже лежащие на нем, от нею не отходят, поэ­ тому можно утверждать, что в точке С радиусы кривизны лекала и пружины равны, т. е.

Исключив из равенств (4.83) и (4.84) величину Р, по­ лучим уравнение зависимости между величинами £ и у, т. е. уравнение кривой лекала. Например, решив равенство (4.83) относительно у или относительно Р, можем получить выраже­ ния

Подставив значение Р из равенства (4.83) в равенство (4.84), получим

d % _ F(y)(t-y)

dy2 EIy

После интегрирования будем иметь

251

ределяет форму профиля лекала для случая, когда характе­ ристика рассматриваемого нелинейного элемента задана в- виде явной функции * = ср(Я) прогиба х от приложенной нагрузки Р. Нахождение обратной функции — зависимость Р= fix) ■— бывает обычно затруднено в этом случае. Рас­ смотрим наиболее важный для нас случай, когда наперед

252

где

Решение этого уравнения дает форму профиля направляющей ■при условии, что удовлетворяется неравенство

dX/dtf < 0 для 0 < у < у с,

где у,. — .координата на поверхности лекала, соответствую­ щая точке С встречи свободного конца консоли с лекалом

(рис. 85).

Подстановкой t = — уравнение (4.ß8) приводится к виду

подчиняется условиям: £= 0, £—0 в точке защемления консо­ ли, у='0. Так как в полученном уравнении старшая производ­ ная — в третьей степени, то оно имеет три решения, одно из которых предполагается удовлетворяющим поставленной за­ даче. Одно из решений — тривиальное — £=0 выполняет­

ду незначительной кривизны лекала для сравнительно небольших прогибов пружины (когда элементарная теория бруса еще допустима) точное изготовление такого лекала практически является нелегким делом с технологической точки зрения. Учитывая, кроме того, еще и возможную пог­ решность в точности изготовления самой пружины и ее ус­ тановки, ограничимся в решении поставленной задачи на­ хождением приближенной зависимости £ от у которая будет тем точнее, чем ближе будут выбираться координаты £ и у

253

профиля к точке защемления пружины. Имея приближенное решение, можем затем его уточнить, подставляя его в урав­ нение (4.88) для конкретного вида функции Р.

Принимая, что вблизи точки заделки консоли (скажем, £<0,1) можно пренебречь величиной прогиба £ и угла поворо­

вого приближения. Улучшенная аппроксимация может быть

ветствующие коэффициенты при одинаковых степенях t, по­ лучим

Оставляя положительное значение корня и подставляя в

(4.92) *= JL, будем иметь

Полученное уравнение профиля является приближенным ре­ шением задачи вблизи участка защемления пружины. Диф­

описываться уравнением (4.93) для малых прогибов пружи-

2 5 4

мы. Для значительных деформаций консоли должна исполь­ зоваться нелинейная теория бруса,.что значительно ослож­ няет и без того довольно громоздкие выкладки. По этой при­ чине для у >0,12 I профиль лекала проще находить опытным путем, причем не обязательно определять все точки лекаль­ ной кривой. Можно обеспечить соответствие эксперименталь­ ной и заданной характеристик для минимальных значений нагрузки Ривн (когда лекало только вступает в работу) и максимальных значений Ршкс в рабочем диапазоне использо­ вания нелинейного элемента. Проверку необходимо произво­ дить также для участка лекала вблизи расчетной рабочей точки на характеристике. Из полученных формул видно, что в случае когда / — не постоянная величина, а некоторая функция у, нахождение уравнения профиля в аналитической форме может оказаться сложным или вообще не выполни­ мым. В этом случае можно воспользоваться графическим способом нахождения профиля направляющей. Применим полученные формулы для случая (см. гл. 4 и. 4 §1), когда

(характеристика задана в виде f= K ’x-rax3=l,25x+0,23.\:3r

где коэффициенты

р= — = ° ’23- = 0,184 см'2.

К1,25

Тогда расчётная формула 4.93 примет вид

Приводимая таблица 30 дает представление о порядке ве­ личин, определяющих форму профиля в рассматриваемом случае.

С мм 0,0004 0,0026 0,0062 0,0149 0,0261 0,0412 0,0610 0,0863 0,1613

255

§ 3. СНЯТИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

УПРУГОЙ в о с с т а н а в л и в а ю щ е й с и л ы

Статические, испытания обеих моделей позівволкли снять действительные характеристики упругих восстанавливающих сил R(x), причем у второй модели характеристика оказалась слабонелинейной жесткого типа, у первой же — нелиней­ ность достаточно хорошо выражена. Ниже (рис. 92) мы при­ водим часть экспериментальной характеристики первого ус­ тройства, соответствующую положительным R и х, предпо­

лагая, что другая ее ветвь, симметричная первой относи­ тельно начала координат , находится в третьем квадранте. Из рис. 92 видно, что кривая R(x) имеет плавный характер с монотонно возрастающей крутизной и нелинейностью жест­ кого типа, причем жесткость упругого элемента оказывается

2 5 6

практически линейной вплоть до деформаций (перемещений х) порядка л'= 0,45 см, что и определяет величину линейной составляющей жесткости как tg угла наклона касательной в начале координат О.

Аналитическая аппроксимация действительной харак­ теристики полиномиальным рядом производилась с учетом членов до пятого порядка включительно и может быть пред­

ющая наглядное представление о степени приближения ана­ литического выражения к действительной характеристике уп­ ругой восстанавливающей силы нелинейного устройства.. Вплоть до перемещений порядка лг=і1,2 см обе кривые прак­ тически совпадают, что и дает основание надеяться, что в пределах рабочего диапазона выражение (4.94) достаточно точно передает основные свойства нелинейного упругого эле­ мента, позволяя тем самым проводить некоторые количест­ венные опыты.

В первой части главы мы показали, что коэффициенты при нелинейных составляющих несимметричной характерис­ тики, полученной за счет предварительного смещения Д сим­ метричной, существенным образом зависят от величины А. При этом чем больше А, тем больше значение этих коэф­ фициентов. Это свойство объясняется увеличением крутизны характеристики по мере роста перемещения х. Так как в нас­ тоящем экспериментальном исследовании предварительное смещение А задавалось постоянной силой от веса груза Mg, то из рассмотрения характеристики (рис. 92) видно, что ве­ личина Mg должна быть выбрана такой, чтобы предваритель­

ріаботать затем в области м-акгаимвльной крутизны характе­ ристики, мы получим соответственно максимальные g2—h т А. Однако, здесь возникает трудность другого порядка, за к-’ лючающаяся в том, что при больших Mg довольно заметно взаимодействие генератора в резон аионом параметрическом