книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник
.pdfГ л а в а I I I . П л о с к о с т ь на эпюре М о н ж а . О с н о в н ы е позиционные и метрические задачи
Р и с . 60
Пусть произвольно расположенная плос кость, заданная двумя пересекающимися пря мыми ab, a'b' и be, b'c', пересекается фрон тально-проецирующей плоскостью My (рис. 61). Находим точки 11' и 22' пересечения
прямых ab, a'b' и be, b'c' плоскости |
abc, |
a'b'c' с проецирующей плоскостью My. |
Пря |
мая линия 12, 1'2' является линией пересе чения плоскостей.
На рис. 62 показан пример построения на осном чертеже линии пересечения плос костей, заданных следами. Следы плоскости, как известно, представляют собой прямые
линии пересечения этой плоскости плоскос тями проекций. Линию пересечения двух плоскостей, заданных следами, строят по точкам пересечения их одноименных следов, если они пересекаются в пределах чертежа.
Если следы плоскостей в пределах черте жа не пересекаются, то линию пересечения этих плоскостей строят по точкам пересе чения любых других (пересекающихся в пределах чертежа) прямых плоскости об щего положения с проецирующей плоско стью.
Р и с . 61 |
Р и с . 62 |
§ 17. Пересечение п р я м ы х линий и плоскостей проецирующими п л о с к о с т я м и
51
|
|
Р и с . |
63 |
|
|
|
|
|
|
|
Р и с. |
64 |
|
|
|
|
|
||
Здесь прямая ab, a'b' плоскости общего |
|
Линию ху, |
х'у' |
пересечения двух проеци |
|||||||||||||||
положения (фронтальный |
след |
Ру) |
пересе |
рующих плоскостей определяют, исходя из |
|||||||||||||||
кается в точке 11' с проецирующей |
плоско |
основного свойства этих плоскостей: гори |
|||||||||||||||||
стью. Прямая ас, а'с' плоскости общего по |
зонтальная проекция ху прямой ху, |
х'у' |
|||||||||||||||||
ложения |
(горизонтальный |
след |
Рн) |
не пе |
должна принадлежать горизонтальному сле |
||||||||||||||
ресекается в пределах чертежа с проециру |
ду |
NH |
плоскости, |
а |
фронтальная |
проек |
|||||||||||||
ющей плоскостью. В этом случае в плос |
ция х'у' |
этой |
прямой — фронтальному |
сле |
|||||||||||||||
кости abc, а'Ъ'с' намечаем дополнительную |
ду |
My |
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
прямую, например, be, b'c'. Она пересекает |
|
На рис. 64 показано построение на |
|||||||||||||||||
проецирующую плоскость в точке 22'. |
безосных чертежах линий пересечения про |
||||||||||||||||||
Прямая 12, 1'2' является линией пересе |
ецирующих плоскостей. |
Две |
горизонталь |
||||||||||||||||
чения заданных плоскостей. |
|
|
но-проецирующие |
плоскости |
Nu |
и |
Тн пе |
||||||||||||
На чертеже показано, что горизонталь |
ресекаются по прямой линии ab, a'b', |
пер |
|||||||||||||||||
ная проекция 12 прямой 12, 1'2' |
направлена |
пендикулярной к горизонтальной |
плоскости |
||||||||||||||||
в точку пересечения горизонтальных |
следов |
проекций Н. Горизонтально- и фронтально- |
|||||||||||||||||
данных |
плоскостей. |
|
|
|
|
проецирующая плоскости (NH и Мѵ) |
|
пере |
|||||||||||
На рис. 63 |
построена линия |
пересечения |
секаются |
по |
прямой |
линии |
12, |
Г2'. |
|
Здесь |
|||||||||
проекции |
12 |
и 1'2 |
линии пересечения |
плос |
|||||||||||||||
горизонтально-проецирующей |
плоскости |
||||||||||||||||||
костей |
принадлежат |
их |
соответствующим |
||||||||||||||||
Nif, Ny |
фронтально-проецирующей плос |
||||||||||||||||||
следам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
костью |
Мн, |
My. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П О Л О Ж Е Н И Я . |
У С Т А Н О В Л Е Н И Е |
В И Д И М О С Т И |
П Р Я М О Й |
|
|
|
|
|
|
|
|
§18 |
|||||||
П Е Р Е С Е Ч Е Н И Е П Р Я М Ы Х Л И Н И Й П Л О С К О С Т Я М И О Б Щ Е Г О |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Схема решения задачи на построение |
решения задач на построение точек пере |
||||||||||||||||||
точки пересечения прямой линии с плоско |
сечения прямых с поверхностью, на пере |
||||||||||||||||||
стью является весьма важной среди других |
сечение |
поверхности |
плоскостью, |
постро |
|||||||||||||||
позиционных |
задач курса |
начертательной |
ение линий пересечения поверхностей линей |
||||||||||||||||
геометрии. Эта схема |
используется |
и для |
чатыми поверхностями и т. п. Здесь в реше- |
4»
Г л а ва I I I . П л о с к о с т ь на эпюре М о н ж а . О с н о в н ы е позиционные и метрические з а д а ч и
52
нии задачи используют проецирующую плоскость как вспомогательную.
Рассмотрим схему решения задачи на построение точки пересечения прямой с пло скостью. Пусть плоскость Q, заданная двумя прямыми — AB и АС, пересекается пря мой EF (рис. 65).
Решаем задачу в определенной последо вательности: через прямую EF проводим одну из проецирующих плоскостей (плос кость M или N);
Р и с. 66
определяем линию / / / пересечения за данной плоскости Q вспомогательной про ецирующей плоскостью M (N);
определяем точку X пересечения данной прямой EF с линией / / / пересечения плос костей Q и M (N). Эта точка, общая для прямой EF и плоскости Q, является искомой точкой пересечения прямой с плоскостью.
По этой схеме решим задачу на чертеже.
Пусть даны |
плоскость abc, а'Ь'с' и пря |
|||
мая ef |
e'f |
Определим точку |
пересечения |
|
прямой с плоскостью (рис. 66). |
||||
Придерживаясь |
схемы, задачу решаем |
|||
в такой |
последовательности: |
|
||
прямую |
ef, e'f |
заключаем во |
фронталь |
но-проецирующую плоскость M у (для этого через фронтальную проекцию прямой сле дует провести фронтальный след Мѵ плос кости);
определяем линию пересечения заданной плоскости вспомогательной проецирующей плоскостью; прямая 12, Г2' пересечения плоскостей определяется по точкам 11' и 22' пересечения прямых ас, а'с' и Ьс, Ь'с' данной плоскости проецирующей плоскостью;
определяем точку хх' пересечения пря мой ef, e'f с прямой линией 12, Г2' пересе чения плоскостей.
Точка хх' является искомой точкой пере сечения прямой ef, eff с плоскостью abc,
а'Ь'с'.
На рис. 67 показано решение аналогич ной задачи на осном чертеже. Здесь плос кость abc, а'Ь'с' задана следами.
Пусть |
прямая ef e'f пересекает плос |
кость abc, |
а'Ь'с', заданную непрозрачным |
треугольником (рис. 68). Определим точку пересечения прямой с треугольником и ука жем видимые и невидимые отрезки прямой относительно плоскостей проекций. Через прямую ef e'f проводим горизонтальнопроецирующую плоскость NH- Строим ли нию 12, Г2' пересечения треугольника плос костью NH ПО точкам пересечения сторон ас, а'с' и ab, а'Ь' треугольника с этой вспомога тельной проецирующей плоскостью. Опре
делим точку |
хх' |
пересечения прямой ef |
e'f |
с линией 12, |
Г2'. |
Она и будет искомой точкой |
|
пересечения |
прямой с треугольником. |
Ука- |
§ 18. Пересечение прямых линий п л о с к о с т я м и о б щ е г о положения . Установление видимости прямой
жем видимые и невидимые (относительно плоскостей проекций) отрезки прямой линии, применяя способ так называемых конкури рующих точек.
Конкурирующими называют точки, лежа щие на одном проецирующем луче.
Если смотреть по направлению проеци рующего луча, то можно увидеть ту из кон курирующих точек, которая наиболее уда лена от плоскости проекций (или, что то же самое, наиболее близко расположена к нам).
Так, на горизонтально-проецирующем
луче 13, 1'3' находятся точки |
IV и 33', |
при |
надлежащие прямым ас, ас' |
и ef, e'f. |
Точ |
ка IV принадлежит стороне ас, а'с' треуголь |
||
ника, точка 33' принадлежит |
прямой ef |
e'f. |
П о фронтальным проекциям Г и 3' этих точек устанавливаем, что одна из них (точ ка / / ' ) расположена выше другой (точка 33') относительно плоскости проекций Я. Сле довательно, на участке хЗ, х'З' прямая ли ния ef, e'f (если смотреть на горизонталь ную плоскость проекций Я ) находится под плоскостью треугольника, т. е. закрыта этим треугольником. Условно горизонтальную проекцию прямой на участке хЗ покажем штриховой линией.
Чтобы определить видимость прямой от носительно фронтальной плоскости проек
ций, воспользуемся |
фронтально-проециру |
ю щ и м лучом 45, 4'5'. |
Здесь точка 55' при |
надлежит стороне ас,, а'с' треугольника, а точка 44' — прямой ef e'f. По местоположе нию горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 55' ближе к нам, чем точка 44'.
Поэтому на участке 4х, 4'х' (если смот реть на фронтальную плоскость проекций V) прямая ef e'f закрыта треугольником и является невидимой. Условно на участке 4'х' фронтальную проекцию e'f прямой покажем штриховой линией.
В начертательной геометрии проециру ющие плоскости часто используют как вспо могательные для решения очень многих геометрических задач.
Пример. Через точку аа' провести пря мую, пересекающую данные скрещивающие ся прямые be, b'c' и de, d'e' (рис. 69).
Ри с . 67
Ре ш е н и е . Рассмотрим схему решения этой задачи в пространстве. Л ю б у ю из дан ных прямых, например, ВС и точку А при нимаем за плоскость. Эту плоскость в точ
ке X пересекает |
другая из данных пря |
мых — DE. |
. |
Р и с. 68
Г л а в а I I I . П л о с к о с т ь на эпюре М о н ж а . О с н о в н ы е позиционные и метрические з а д а ч и
Прямая линия АХ пересекает прямую ВС в точке Y. Решим задачу на чертеже по ука занной схеме. Пусть точка ad и прямая Ьс, Ь'с' представляют плоскость.
Определим точку хх' пересечения с этой плоскостью второй из данных прямых — de, d'e'. Чтобы найти эту точку, через пря мую de, d'e' проводим вспомогательную
фронтально-проецирующую |
плоскость Мѵ |
и находим линию 12, Г2' |
ее пересечения |
с плоскостью abc, a'b'c'. На пересечении прямых 12, 1'2' и de, de' находится точ ка хх'.
Искомая прямая линия проходит через точки ad и хх" и пересекается в точке уу'
с прямой be, Ь'с'.
В З А И М Н О П Е Р Е С Е К А Ю Щ И Е С Я П Л О С К О С Т И
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Прямую линию пересечения плоскос тей можно определить по точкам пересе чения двух любых прямых линий одной плоскости с другой плоскостью или по точ кам пересечения прямых каждой из плос костей — пересечения прямой первой плос кости со второй плоскостью и пересечения прямой второй плоскости с первой плос костью.
Следовательно, для построения линии пересечения плоскостей необходимо найти две общие для них точки.
Линию пересечения плоскостей можно построить, применяя к решению задачи и вспомогательные секущие плоскости. Обычно выбирают проецирующие плос кости, часто — горизонтальные или фрон тальные.
На рис. 70 решение аналогичной задачи представлено на чертеже. Здесь произвольно
выбранная секущая |
вспомогательная |
плос |
|||
кость Sv |
пересекает |
заданные плоскости |
по |
||
прямым линиям — горизонталям 12, |
Г7 |
и |
|||
34, |
3'4'. |
Горизонтали пересекаются |
в точ |
||
ке |
хх". |
|
|
|
|
§ 19. В з а и м н о п е р е с е к а ю щ и е с я п л о с к о с т и
55
Р и с . 70
Вторая секущая |
горизонтальная плос |
|
кость Ѵѵ пересекает |
заданные |
плоскости |
по горизонталям 56, 5'6' и 78, 78', |
которые, |
в свою очередь, пересекаются в точке уу'. Прямая ху, х'У является линией пересечения заданных плоскостей.
На рис. 71 дано построение линии пере сечения двух треугольников и указана види мость этих треугольников относительно плоскостей проекций.
Линия пересечения ху, х'у' двух данных треугольников построена по точкам -пересе чения двух сторон одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Постро ение точки хх' пересечения стороны ed, e'd' треугольника edk, e'd'k' с плоскостью тре угольника abc, a'b'c' производим по общей схеме.
Через прямую ed, e'd' проводим проеци рующую плоскость Мѵ. Определяем ли нию 12, 1'2' пересечения э*ой плоскости с плоскостью треугольника abc, a'b'c'. Точ ка хх' пересечения найденной линии 12, Г2'
со стороной ed, e'd' треугольника является точкой пересечения стороны одного тре угольника с плоскостью другого треуголь ника, т. е. она принадлежит линии пересе чения заданных треугольников.
Аналогично определяем вторую общую для двух треугольников точку — уу'. Пря мая линия ху, х'у' является линией пересе чения двух треугольников abc, a'b'c' и edk, e'd'k'. Видимость треугольников относитель но плоскостей проекций H и V определена с помощью конкурирующих точек.
Видимость треугольников относительно горизонтальной плоскости проекций опре делим следующим образом. Проведем гори зонтально-проецирующую прямую 67, 6'7', пересекающую стороны ed, e'd' и ab, a'b' треугольников в точках 66' и 77'. По фрон тальным проекциям 6' и 7' устанавливаем, что точка 77' прямой ab, a'b' ближе к нам — она дальше отстоит от плоскости про екций Н, чем точка 66' прямой линии
ей, e'd'.
Г л а в а I I I . П л о с к о с т ь на эпюре М о н ж а . О с н о в н ы е позиционные и метрические задачи
56
Р и с . 71
Следовательно, прямая ed, e'd' на уча стке dx, <fx' (от точки dd' до пересечения ее с плоскостью треугольника abc, а'Ъ'с') яв
ляется видимой. Этого достаточно, чтобы определить видимую и невидимую части треугольника edk, e'd'к' относительно гори зонтальной плоскости проекций Н. Соответ ственно определяем видимость относитель но той же плоскости проекций H и другого треугольника.
Аналогичными построениями определя ем видимость треугольников относительно фронтальной плоскости проекций. Прово
дим |
фронтально - проецирующую |
прямую |
|||
28, |
2'8', |
пересекающую стороны |
Ьс, Ь'с' |
и |
|
ed, |
e'd' заданных треугольников в точках 22' |
||||
и 88'. |
При этом устанавливаем, что точка 22' |
||||
конкурирует с точкой 88', т. е. она |
наиболее |
||||
удалена от плоскости проекций V и находит |
|||||
ся ближе к нам, чем точка 88'. |
|
|
|||
|
Поэтому прямая Ьс, Ь'с' на участке |
by, |
|||
Ь'у' |
(от |
точки ЬЪ' до пересечения |
ее с плос |
костью треугольника edk, e'd'k') является видимой. Этого достаточно, чтобы опре делить видимую и невидимую части тре угольника abc, а'Ь'с' относительно фронталь
ной |
плоскости |
проекций V. |
Соответствен |
но |
определяем |
видимость |
относительно |
плоскости проекций V и другого треуголь ника.
§20 П Р Я М Ы Е Л И Н И И И П Л О С К О С Т И , П А Р А Л Л Е Л Ь Н Ы Е П Л О С К О С Т И
1. Прямые линии, параллельные плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой этой плоскости.
Через каждую точку |
пространства |
можно |
|||
провести бесчисленное |
множество |
прямых, |
|||
параллельных данной |
плоскости. |
|
|||
Пусть плоскость Q представлена двумя |
|||||
пересекающимися |
прямыми |
линиями AB |
|||
и АС |
(рис. 72). |
Прямая F G |
параллельна |
||
плоскости Q, так как она параллельна пря |
|||||
мой III |
этой плоскости. |
|
|
На рис. 73 показан чертеж взаимно па раллельных прямой линии и плоскости.
Плоскость задана двумя |
параллельными |
прямыми — ab, а'Ь' и cd, c'a'. |
П р я м а я ./g, f'g' |
параллельна плоскости, так как она парал лельна прямой 12, Г2' этой плоскости.
2. Взаимно параллельные плоскости
Если две пересекающиеся прямые линии одной плоскости соответственно параллель ны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости |
параллельны. |
Через |
точку пространства м о ж н о про |
вести бесчисленное множество прямых, па раллельных данной плоскости. Пучок этих прямых представляет плоскость, параллель ную данной. Для задания плоскости из этого множества прямых достаточно выде лить две любые прямые. Д л я этого проведем из точки F вне плоскости Q (рис. 72) пря
мые |
FD и |
F К, параллельные п р я м ы м AB |
и АС |
этой |
плоскости. |
Прямые определяют плоскость, парал лельную плоскости Q.
§ 20. П р я м ы е линии и плоскости, п а р а л л е л ь н ы е п л о с к о с і и
Р и С. 72
На рис. 74 представлен чертеж плоскости, заданной двумя параллельными прямыми ab, а'Ь' и cd, c'a". Проведем через точку ее' плоскость, параллельную заданной.
Прямые ет, е'т' и en, e'ri, параллельные прямым cd, c'a" и 12, 1'2' данной плоскости, определяют плоскость, параллельную за данной.
Если плоскости заданы следами или глав ными линиями (горизонталью и фрон
тальна), то для условия параллельности плоскостей достаточно, чтобы их следы, или главные линии, были между собой па раллельны.
Проведем через точку кк! плоскость, па раллельную данной плоскости abc, а'Ъ'с'. Плоскость abc, а'Ъ'с' задана следами (рис. 75). Проведем через точку кк' одну из главных линий искомой плоскости, напри мер, горизонталь. Через след горизонтали, точку / / ' проходит фронтальный след ne. ne'
а=а
Р и с . 75
§ 21. П р я м ы е линии и плоскости, перпендикулярные к п л о с к о с т и
правлений |
горизонтали |
и фронтали |
плос |
|
|
|
|
59 |
||||
кости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имея направления проекций горизон |
|
|
|
|
|
||||||
тали и фронтали, согласно этой теореме, |
|
|
|
|
|
|||||||
определяем проекции прямой линии, пер |
|
|
|
|
|
|||||||
пендикулярной к |
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Горизонтальная |
проекция |
перпендику |
|
|
|
|
|
||||
ляра составляет прямой угол с горизонталь |
|
|
|
|
|
|||||||
ной проекцией горизонтали плоскости. |
|
|
|
|
|
|||||||
Фронтальная проекция перпендикуляра со |
|
|
|
|
|
|||||||
ставляет прямой угол с фронтальной |
проек |
|
|
|
|
|
||||||
цией фронтали плоскости. На основании |
|
|
|
|
|
|||||||
этой теоремы можно определить и постро |
|
|
|
|
|
|||||||
ить направления заданных, плоскостей и |
|
|
|
|
|
|||||||
плоскости |
заданных |
направлений. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
На рис. 78 даны построения по определе |
мые, |
параллельные |
плоскостям |
проекций |
|||||||
нию |
направления |
плоскости |
abc, |
a'b'c'. |
||||||||
В |
этой плоскости |
проведены |
горизонталь |
(рис. 79). |
|
ab, |
а'Ь' яв |
|||||
' al, |
а'Г и фронталь с2, с'2'. |
|
|
Так, горизонтальная прямая |
||||||||
|
Проекции прямой ек, е'к' перпендикуляр |
ляется направлением |
горизонтально-проеци |
|||||||||
ны соответственно к одноименным проекци |
рующей плоскости NH. Фронтальная пря |
|||||||||||
ям направлений горизонтали и фронтали |
мая cd, e'd' является направлением |
фрон |
||||||||||
плоскости, т. е. ek-Lal |
и е'к'Л- с'2'. |
|
тально-проецирующей плоскости My . Го |
|||||||||
|
П р я м а я |
линия |
ек, |
е'к' перпендикулярна |
ризонтально-проецирующая прямая |
ef, e'f |
||||||
к плоскости abc, a'b'c' и является направле |
является направлением горизонтальной пло |
|||||||||||
нием |
этой |
плоскости. |
|
|
|
скости |
Sv. |
|
|
|
||
|
Если плоскости проецирующие, то на |
Пример. Через точку аа' провести плос |
||||||||||
правления этих плоскостей определяют пря- |
кость данного направления ек, е'к' (рис. 80). |
Р и с. 78