книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник
.pdfГ л а в а I . О с н о в н ы е м е т о д ы проецирования г е о м е т р и ч е с к и х форм на п л о с к о с т и
22
Ут-оа
H |
|
|
|
|
|
У |
|
Р и с . |
17 |
|
|
на плоскость проекций |
Н, называется |
гори |
|
зонтально-проецирующей |
прямой, |
или |
гори |
зонтально-проецирующим |
лучом. |
Эта прямая |
без искажения проецируется на фронтальную
плоскость проекций |
V. |
Прямая Аа\ проецирующая точку А на |
|
плоскость проекций |
V, называется фронталь |
но-проецирующей прямой, или фронтальнопроецирующим лучом. Эта прямая без иска жения проецируется на горизонтальную плоскость проекций Н. Проекции проеци рующих лучей на соответствующих плос костях проекций показывают тонкими сплошными или штриховыми линиями.
Два проецирующих луча Аа и Аа', исходя щих из какой-то точки геометрического об раза, представляют собой задание некото
рой |
плоскости. Эту |
плоскость |
называют |
|
плоскостью проецирующих |
лучей |
или проеци |
||
рующей плоскостью; |
она |
перпендикулярна |
||
к плоскостям проекций H к V и к оси проек |
||||
ций |
Ох. |
|
|
|
Отметим, что удаление точки от горизон тальной плоскости проекций H равно удале
нию фронтальной проекции этой точки от оси проекций. Удаление точки от фронталь ной плоскости проекций F равно удалению горизонтальной проекции той же тонки от оси проекций. Отсюда вытекают следующие теоремы:
Т е о |
р е м а . |
Точка |
в пространстве |
уда |
|||
лена |
от |
плоскостей |
проекций |
Ни Vна |
вели |
||
чины |
удаления |
от |
оси |
ее |
фронтальной |
и |
|
горизонтальной |
проекций. |
|
|
П о двум проекциям точки м о ж н о пред ставить положение этой точки в пространст
ве: восставляя |
перпендикуляры в |
точках а |
|||
и а' соответственно к плоскостям Ни |
V, на |
||||
их пересечении |
можно определить |
искомую |
|||
точку А |
пространства. |
|
|
|
|
Т е о р е м а . |
Положение |
точки |
в про |
||
странстве |
вполне определяется |
ее |
|
ортого |
нальными проекциями на две плоскости.
Геометрические образы в пространстве ориентируются также и относительно сис темы трех взаимно перпендикулярных коор динатных плоскостей. Линии пересечения этих плоскостей — координатные оси — по казаны на рис. 16.
Д л я построения чертежа точки основные плоскости проекций H и V совмещают, поворачивая вниз вокруг оси х плоскость H до совмещения ее с плоскостью проекций V.
Таким образом, все построения, выпол ненные в двух плоскостях, располагаются соответствующим образом в одной плоскос ти, принятой за плоскость чертежа. В резуль т а т е ' п о л у ч и м ортогональный чертеж, или эпюр* точки А (рис. 17), состоящий из двух
проекций а m а'. |
Проекции а и а' точки А |
располагаются |
на одном перпендикуляре |
к оси проекций. |
П р я м у ю , соединяющую на |
чертеже разноименные проекции а а а' точ
ки А, |
называют линией |
связи. |
|
|
|
|
Обычно на чертеже контуры полей сов |
||||||
мещенных плоскостей |
проекций |
не |
пока |
|||
зывают. |
Горизонтальная |
и |
фрон |
|||
Т е о р е м а . |
||||||
тальная проекции |
любой точки |
геометриче |
||||
ского |
образа располагаются |
на |
одной |
линии |
||
связи. |
|
|
|
|
|
|
|
О т ф р а н ц . é p u r e |
ч е р т е ж , п р о е к т . |
|
§ 6. П о с т р о е н и е чертежей геометрических о б р а з о в в о р т о г о н а л ь н ы х проекциях
Рассматриваемый чертеж |
(рис. 17) точ |
ки А является метрически |
определенным. |
Совместное использование двух ортогональ ных проекций на двух взаимно перпендику лярных плоскостях проекций положено в ос нову метода Монжа.
Две проекции (горизонтальная и фрон тальная) рассматриваемого геометрическо го образа, соединенные линиями связи со ответствующих его точек, служат основой для различных исследований этого геомет рического образа.
При решении многих задач в начерта тельной геометрии геометрические образы часто не связывают с плоскостями проекций, а пользуются разностью удалений их точек от соответствующих плоскостей проекций.
На рис. 18 представлен ортогональный чертеж треугольника ABC — построены его горизонтальная abc и- фронтальная а'Ъ'с' проекции.
Как уже известно, при параллельном проецировании проекции геометрического образа на плоскостях одного направления остаются неизменными, т. е. сохраняют и вид, и размеры. Учитывая это, плоскости проекций можно приближать к геометриче скому образу или удалять от него. Изобра жения на этих плоскостях остаются постоян ными. П о изображениям можно определять разности удалений точек геометрического образа от плоскостей проекций.
Y и с. 18
На чертеже разноименные проекции гео метрического образа можно раздвигать по линиям связи, сближая их или удаляя одну от другой. Поэтому здесь ось проекций как прямую, фиксирующую положение плоскос тей проекций Я и К можно исключить. В этом случае будем иметь безосный чертеж геометрического образа. Такими чертежами в основном и будем пользоваться.
В о п р о с ы д л я |
с а м о п р о в е р к и |
|
|
|||
1. К а к и е и з о б р а ж е н и я н а з ы в а ю т р и с у н к а м и , |
6. |
С ф о р м у л и р у й т е и п о к а ж и т е на ч е р т е ж а х |
||||
к а к и е — ч е р т е ж а м и ? |
|
|
о с о б е н н о с т и м е т о д о в о р т о г о н а л ь н ы х и а к с о н о м е т |
|||
2. К а к и е |
и з в е с т н ы |
в а м о с н о в н ы е |
м е т о д ы |
р и ч е с к и х п р о е к ц и й , п р о е к ц и й с ч и с л о в ы м и о т |
||
п р о е ц и р о в а н и я |
г е о м е т р и ч е с к и х ф о р м |
на п л о с |
м е т к а м и и ф е д о р о в с к и х п р о е к ц и й . |
|||
к о с т и ? |
|
|
|
|
7. |
Ч т о н а з ы в а ю т к о о р д и н а т а м и т о ч к и п р о |
3. |
С ф о р м у л и р у й т е и д о к а ж и т е о с н о в н ы е с в о й |
с т р а н с т в а в д е к а р т о в о й с и с т е м е к о о р д и н а т ? |
||||
с т в а п а р а л л е л ь н о г о п р о е ц и р о в а н и я . |
|
8. |
У к а ж и т е о с н о в н ы е с в о й с т в а ч е р т е ж е й г е о |
|||
4. |
Ч т о н а з ы в а ю т |
н е с о б с т в е н н ы м и |
э л е м е н |
м е т р и ч е с к и х о б р а з о в . |
||
т а м и п р о с т р а н с т в а ? |
|
|
9. |
У к а ж и т е о с о б е н н о с т и о с н ы х и б е з о с н ы х |
||
5. |
Ч т о н а з ы в а ю т о б р а т и м о с т ь ю ч е р т е ж а ? |
ч е р т е ж е й . |
Г Л А В А II
Т О Ч К А И О Т Р Е З К И П Р Я М Ы Х Л И Н И Й НА Э П Ю Р Е М О Н Ж А
§П Ч Е Р Т Е Ж И Т О Ч Е К , Р А С П О Л О Ж Е Н Н Ы Х В Р А З Л И Ч Н Ы Х
/У Г Л А Х П Р О С Т Р А Н С Т В А
Две плоскости проекций — Ни У при их пересечении разделяют пространство на четыре части (четыре двугранных угла). Та кие двугранные углы пространства называют также квадрантами, или четвертями.
На рис. 19 показана пространственная модель системы двух плоскостей проекций
Ни |
ѴИ точек А , В, |
С |
и D, |
расположенных |
в различных углах |
пространства. Указаны |
|||
проекции этих точек |
на плоскостях H и V. |
|||
|
Точка А расположена в первом углу про |
|||
странства, точка В—во |
втором, С—в треть |
|||
ем |
и D — в четвертом. |
|
||
|
Чертежи точек, расположенных в раз |
|||
личных углах пространства, |
представлены |
на рис. 20. Точка А находится в первом углу пространства. Она удалена от плоскости проекцией Я на величину axa', равную оасстоянию от ее фронтальной проекции а до оси проекций, и удалена от плоскости F на величину axa, равную расстоянию от ее горизонтальной проекции а до оси про екций.
Точка В находится во втором углу. Обе проекции этой точки (горизонтальная Ь и фронтальная Ъ') на чертеже располагаются на одной линии связи выше оси проекций.
В зависимости от расстояний проекций Ъ и Ь' точки В от оси устанавливаем, что точ ка В располагается ближе к плоскости проек ций V, чем к плоскости Н.
Точка С находится в третьем углу. Здесь горизонтальная проекция с располагается выше оси проекций, а фронтальная проекция
с'— ниже оси проекций. Поскольку |
фрон |
|
тальная проекция |
точки С ближе |
к оси |
проекций, чем ее горизонтальная проекция с, утверждаем, что точка С пространства рас полагается ближе к горизонтальной плоскос ти проекций Н.
Точка |
D находится в |
четвертом углу. |
Обе проекции этой точки |
располагаются |
|
ниже оси |
проекций. |
|
Таким образом, по расположению проек ций точек относительно оси проекций можно судить о положении точек в пространстве, т. е. можно установить, на каких расстояниях от плоскостей проекций и в каких углах пространства они находятся.
|
Точки А , В, |
С, ... пространства на черте |
же |
часто называют их проекциями, т. е. |
|
аа'; |
bb'; ce'; ... |
|
На рис. 20 представлены также и чертежи точек, занимающих некоторые частные (осо-
§ 7. Ч е р і е ж и т о ч е к , р а с п о л о ж е н н ы х в р а з л и ч н ы х у г л а х п р о с т р а н с т
бые) положения. Так, точки 1Г; 22'; 33' и 44' находятся в плоскостях проекций.
Точка 1Г находится на передней поле плоскости Н; горизонтальная проекция / точки ІГ располагается под осью и совпада ет с точкой / пространства (1=1), а фрон тальная — / ' находится на оси проекций.
Точка 22' находится на задней поле плос кости Н; горизонтальная проекция 2 точки 22' расположена над осью и совпадает с са мой точкой / / п р о с т р а н с т в а (11=2), а фрон тальная — 2' находится на оси проекций.
Точка 33' находится на нижней поле плоскости V; фронтальная проекция 3' точки 33' расположена под осью и совпадает с точ кой / / / пространства (111=3'), а горизон тальная — 3 находится на оси проекций.
Точка 44' находится на верхней поле плоскости V; фронтальная проекция 4' точки 44' расположена над осью и совпадает с точ кой / V пространства (/ Ѵ=4'), а горизон тальная — 4 находится на оси проекций.
Т е о р е м а . |
Если точка |
|
принадлежит |
||
плоскости |
проекций, |
то одна из ее проекций |
|||
находится |
на оси, |
а другая |
совпадает с |
||
точкой. |
|
|
|
|
|
Точка 55' (рис. 20) принадлежит оси про |
|||||
екций. Обе ее проекции — 5 и 5' |
совпадают |
||||
и принадлежат оси. |
|
|
|||
Точки 66', 77', 88' и 99' |
принадлежат |
||||
биссекторным |
плоскостям — |
|
плоскостям, |
||
делящим |
углы |
|
пространства |
пополам. |
|
Здесь горизонтальные и |
фронтальные |
проекции точек равноудалены от оси про екций.
|
Плоскость, делящую первый и третий |
||
углы пространства |
пополам, называют |
пер |
|
вой |
биссекторной |
плоскостью. |
|
|
Плоскость, делящую второй и четвертый |
||
углы пространства пополам, называют |
вто |
||
рой |
биссекторной |
плоскостью. |
|
|
Точки 66' и 77' принадлежат первой |
бис |
секторной плоскости, точки 88' и 99'— вто рой биссекторной плоскости.
Г л а в а I I . Т о ч к а и о т р е з к и п р я м ы х линий на э п ю р е М о н ж а
26
fMI
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л - ^ > ^ - < і |
о |
ç- |
2' |
3 |
4 |
5&V\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
<?— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
*з=ш |
|
|
|
|
9 = 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
|
|
|
|
|
I' и с. |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т е о р е м |
а. |
Если точка |
|
пространства |
ее |
горизонтальная |
|
и |
фронтальная |
проекции |
||||||||
принадлежит |
оиссекторной |
плоскости, |
то |
равноудалены |
от |
|
оси. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
§8 Ч Е Р Т Е Ж И Т О Ч Е К В Т Р Е Х П Р О Е К Ц И Я Х |
|
|
В результате того, что пространственные |
|||||||||||||||
Чертежи фигур в двух проекциях опреде |
|
|||||||||||||||||
ляют форму |
и |
размеры рассматриваемого |
формы являются |
трехмерными, |
чертежи |
их |
||||||||||||
предмета и его положение в пространстве. |
в трех проекциях являются более ясными, |
|||||||||||||||||
Такие чертежи являются метрически опре |
более удобопредставляемыми. В этом слу |
|||||||||||||||||
деленными (полными). Однако в ряде слу |
чае |
вводят третью плоскость |
проекций |
W, |
||||||||||||||
чаев применяют |
изображения |
фигур на трех |
перпендикулярную |
к |
плоскостям |
Я |
и |
V, |
||||||||||
плоскостях проекций. |
|
|
|
|
I . е. получаем |
известный |
прямоугольный |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
трехгранник координатных плоскостей про |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
екций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 21 представлена система трех |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
изаимно перпендикулярных плоскостей про |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
екций Я , Ѵк |
И7 и точка А. Положение |
точки |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А относительно плоскостей проекций опре |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
деляется расстояниями от этой точки до |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
соответствующих |
плоскостей |
проекций. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Опуская перпендикуляры из точки А на |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
плоскости Я , |
К и |
И7 |
найдем |
соответствую |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
щие проекции точки А: горизонтальную |
а, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
фронтальную |
а' |
и профильную |
а". |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Совмещая |
плоскости Я |
и |
|
И7 |
проекций |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
вместе с изображениями на них данной точ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ки с плоскостью |
^ п о в о р о т о м их вокруг осей |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V и z в направлениях, указанных на рис. 21 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
стрелками, получим чертеж точки А в трех |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
проекциях. П о чертежу точки |
м о ж н о |
легко |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
представить |
ее положение |
в |
пространстве. |
Р и с. 21
Г л а в а I I . Т о ч к а и о т р е з к и п р я м ы х л и н и й на э п ю р е М о н ж а
28
Р и с. 24
направлениях вокруг осей абсцисс и аппли кат, получим эпюр (чертеж) этой модели, представленный положениями осей про екций.
В плоскости проекций Коси проекций х и |
|
z остаются неизменными. При совмещении |
|
плоскости Не |
плоскостью F положительное |
направление |
оси у совпадает с отрицатель |
ным направлением оси —z, а отрицатель
ное |
направление оси —у — с |
положитель |
||
ным |
направлением |
оси z. |
|
|
П р и |
совмещении |
плоскости W с плос |
||
костью |
V положительное направление оси у |
|||
совпадает с отрицательным |
направлением |
оси —ж, а отрицательное направление оси —у — с положительным направлением оси х.
Если обозначить на рис. 22 противополож ные направления координатных осей на чер теже соответствующими знаками, то полу чим обозначения осей проекций для восьми октантов (рис. 24).
Построение профильных проекций то чек, расположенных в других октантах, мож но производить в т о м же порядке, как и для точек октанта /.
На рис. 24 показаны построения про фильных проекций точек А, В, С w D, распо ложенных в октантах /, II, / / / и / И Так, профильная проекция Ъ" точки В, располо женной в октанте Д на чертеже определяется следующим образом . Из горизонтальной проекции Ь точки В проводят горизонталь-
ную прямую линию bby до пересечения с осью у ординат (отрицательное направле
ние оси —у) |
в точке Ьу. Затем точку Ь, пере |
||
носят |
на второе положение оси у ординат |
||
(тоже |
отрицательное направление оси — у). |
||
В точке by |
восставляют |
перпендикуляр к |
|
оси у |
до пересечения его в искомой точке |
||
Ъ" с |
горизонтальной прямой, проведенной |
||
из фронтальной проекции |
Ь' данной точки. |
На пространственной модели (рис. 23) нетрудно убедиться, что профильная проек ция Ъ" точки В, расположенной в октанте //, при совмещении плоскостей проекций рас полагается слева от оси г.
Аналогично определяются профильные проекции и других точек С и D. Можно, например, построить профильные проекции точек, расположенных и в других октантах.
При рассмотрении чертежа точки А (рис. 24) устанавливаем, что горизонталь ная а и фронтальная а' проекции точки А находятся на одном перпендикуляре к оси абсцисс X (на одной линии связи).
Фронтальная а' и профильная а" проек ции точки находятся на одном перпендику ляре (на одной линии связи) к оси аппликат г. Линия, связывающая горизонтальную и про фильную проекции точки А, представляется двумя отрезками. Это аа,— горизонтальная прямая и а,у а"— вертикальная прямая, сое диненные дугой окружности или равно на клоненной к осям прямой линией. Из точки О пересечения осей проекций можно провести прямую под углом 45° к направлениям осей ординат. Она будет постоянной прямой чер
тежа. Л о м а н у ю линию |
аа0а" называют |
го |
ризонтально-вертикальной |
линией связи. |
|
§ 9. Ч е р т е ж и о т р е з к о в п р я м ы х л и н и й
Р и с . 25
Таким образом, на чертеже в трех проек циях линиями связи являются: аа'— верти
кальная линия; а'а"—горизонтальная |
ли |
|
ния; аа"— горизонтально-вертикальная |
ли |
|
ния. |
|
|
Пользуясь постоянной прямой |
чертежа, |
|
легко определить профильную |
проекцию |
точки на пересечении горизонтальной линии связи с горизонтально-вертикальной.
На технических чертежах обычно оси проекций не показывают. Это означает, что плоскости проекций могут перемещаться параллельно самим себе. Однако в случае отсутствия осей проекций по известным двум проекциям некоторой точки и постоянной прямой линии чертежа можно определить третью проекцию точки (рис. 25).
Ч Е Р Т Е Ж И О Т Р Е З К О В П Р Я М Ы Х Л И Н И Й
1. Прямые линии общего положения
Прямая линия пространства в системе плоскостей проекций занимает некоторое определенное положение. Она может быть расположена произвольно относительно Плоскостей проекций или занимать неко
торые частные положения — быть па раллельной плоскости проекций или пер пендикулярной к ней, принадлежать плоскос ти проекций и пр.
Прямая линия, занимающая в системе плоскостей проекций произвольное (общее) положение, называется прямой общего по
ложения.