книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

80

81

Ki f

п T

РисЛ . 62

А

Рис Л . 63

ниц для системы третьего порядка. Таким образом, можно было или составить самостоятельно уравнения для верхних границ или воспользоваться сразу уравнениями границ рабочих областей для системы третьего порядка. В обоих случаях получился бы одина­ ковый результат.

Изложенная выше связь между уравнениями границ рабочих областей одновременно означает, что значения первых четырех коэффициентов уравнения системы (1.58), если они удовлетворяют соотношения*(1.63), т.е. если соответствующая им точка лежит внутри рабочей области для системы четвертого порядка, будут

одновременно удовлетворять и соотношениям (I.5I), т.е. соответ­ ствующая им точка будет лежать внутри рабочей области для си­ стемы третьего порядка.

Эта особенность означает, что для первых рабочих подобла­ стей рассматриваемой системы четвертого порядка после выделения

первой составляющей процесса, соответствующей уравнению первого

82

порядка, выделение остальных составляющих должно осуществлять­ ся как для системы третьего порядка.

Всистеме третьего порядка возможно два варианта разложе­

ния процессов на простейшие составляющие (первая и вторая ра­ бочие подобласти). В связи с этим для первой рабочей подобла­ сти рассматриваемой сиотемы имеем два варианта преобразованных

структурных схем (рис.1.63).

Вконце § I, в котором анализировалась исходная предпо­ сылка метода, было указано, что эта предпосылка могла быть рассмотрена, по существу, лишь для системы четвертого порядка из-за того, что идею использованных для этой системы цриемов

внепосредственной форме трудно применить к системам высоких порядков. В связи с этим, как и предполагалось, дадим исходной предпосылке для системы четвертого порядка такое толкование, которое позволит исходную предпосылку распространить на систе­

мы любого порядка. Ниже указанное толкование будем называть общей трактовкой исходной предпосылки метода.

для системы четвертого порядка суть исходной предпосылки

состоит в том, что минимально допустимый запас устойчивости системы по ближайшим к мнимой оси корням должен оцениваться с

учетом влияния другах корней.

Иное толкование сформулированной исходной предпосылки поз­ воляют дать изложенные выше материалы по разложению процессов

всистемах на отдельные составляющие. Указанное толкование - общая трактовка исходной предпосылки метода - в общем случае состоит в том, что минимальный запас устойчивости систем дол­ жен оцениваться с учетом взаимного влияния друг на друга от­ дельных составляющих процессов, т.е. анализ взаимного влияния корней заменяется анализом взаимного влияния указанных состав­ ляющих. Ниже такое толкование рассматривается применительно к системе четвертого порядка, а затем делаются и общие выводы применительно к системе любого порядка.

Обратимся сначала ко вторым рабочим подобластям (рис.1.55 - 1.59) системы четвертого порядка. Границы этих подобластей (см.правые границы рабочих областей) с точки зрения обычной трактовки исходной предпосылки метода должны определяться с

учетом влияния на процессы в системе (в частности, на переход­

ные характеристики), зависящие в основном от ближайших к мни­ мой оси корней характеристического уравнения, также и дру­ гих корней характеристического уравнения. Это положение ил­

люстрирует кривые на рис.1.3. Без учета влияния указанных

83

корней рабочие области получились бы шире областей, представ­ ленных на рис,1.56 - 1.59.

С точки зрения общей трактовки исходной предпосылки мето­

да границы вторых рабочих областей должны определяться q уче­ том влияния на первую составляющую процессов, которая опреде­

ляет указанные границы, также и других составляющих. Без уче­ та влияния этих составляющих рабочие области также получились бы шире областей, представленных на рис.1.56 - 1.59. Здесь имело бы место такое же положение, которое мы показали выше

для системы третьего порядка (рис.1.49).

Сформулированный вывод полностью относится и к системам бо­

лее высоких порядков. Однако, как будет показано ниже, приме­ нительно к указанным системам необходимо учитывать влияние на первую составляющую процессов не всех других составляющих, на­ чиная со второй, а только нескольких.

Обратимся к первым рабочим подобластям системы четвертого порядка (рис.1.55 - 1.59). Границы этих подобластей соответст­

вуют граничной колебательности для второй составляющей процес­ сов и при оценке положений этих границ рассматривались корни характеристического уравнения в соответствии с обычной трактов­ кой исходной предпосылки метода. Общая же трактовка исходной

предпосылки метода состоит здесь в следующем. Минимальный за­

пас устойчивости системы по второй составляющей цроцесса соот­

ветствует предельным по форме кривым х 2 * Значения коэффициен­ тов характеристического уравнения, при которых имеют место предельные формы кривых х г , должны определяться с учетом влия­ ния на кривую х 2 как первой, так и третьей составляющей про­

цессов.

Изложенные положения по оценке запаса устойчивости полностно

относятся и к системам более высоких порядков. При этом за­ пас устойчивости может оцениваться не только по второй, но и по другим.более высоким составляющим процессов, однако во всех случаях с учетом взаимного влияния различных составляющих про­ цессов.

В целом с точки зрения общей трактовки исходной предпосыл­ ки метода при оценке запасов устойчивости должно учитываться взаимное влияние всех составляющих процессов. Однако, как бу­

дет показано в последующих главах, при оценке запаса устойчиво­

сти по любой составляющей необходимо учитывать влияние лишь нескольких ближайших к рассматриваемой составляющих процессов.

84

При анализе общей трактовки исходной предпосылки метода необходимо не путать два обстоятельства. Исходная предпосылка

метода, как это уже несколько раз подчеркивалось, требует,что­

бы при оценке запаса устойчивости по какой-либо составляющей процесса учитывалось влияние на ее колебательность других со­ ставляющих. Если этого не делать, то ошибки в определении ра­ бочих областей будут совершенно недопустимыми.

С другой стороны, из этого вовсе не следует, что указанное обстоятельство накладывает ограничение на возможность разложе­

ния процессов на простейшие составляющие, цри котором влияние составляющих друг на друга не учитывается. Более того, выделе­ ние рабочих областей с необходимой точностью обеспечивает до­ пустимые ошибки в разложении процессов на отдельные составляю­

щие (см.главы Ши 1У).

т.е.-для системы пятого порядка нужно провести серии исследо­ ваний для различных возможных значений А ( , а в каждой серии провести варьирование коэффициента А0 .

Для системы пятого порядка определение рабочих областей и составление уравнений-границ этих областей в том плане, как это делалось для систем третьего и четвертого порядков,не вы­ полнялось, а использовался следующий прием.

Использовалось предположение, что для правых границ рабо­ чих областей будет справедливо уравнение, которое получается из уравнения правой границы для системы четвертого порядка увеличением индексов всех коэффициентов на единицу.

Использовалось также предположение, что для уравнений верх­

них границ рассматриваемой системы пятого порядка сохраняется такая же связь с уравнениями рабочих границ для системы, поря­

док уравнения которой на единицу меньше, какая выше отмечалась для уравнений верхних границ в системах четвертого и третьего

85

порядков, т.е. использовалось предположение, что в качестве

уравнений верхних границ для системы пятого порядка можно при­

нять уравнения границ рабочих областей для системы четвертого порядка.

Итак, в качестве уравнений границ рабочих областей для си­ стемы пятого порядка принимаем уравнения (1.63) и уравнение, которое получается из последнего уравнения системы (1.63) уве­

личением индексов всех коэффициентов на единицу. Таким образом, уравнения границ рабочих областей для рассматриваемой системы

будут следующими: верхние границы 2

а,

% =

цравая граница

Теперь нужно показать, что использованный прием составле­ ния уравнений границ рабочих областей действительно дает пра­ вильный результат. Это может быть сделано путем определения пе-. реходных процессов в системе пятого порядка и их оценки с точ­ ки зрения удовлетворения исходной предпосылке метода.

Определение процессов и указанная их оценка были выполнены. При этом для каждого значения Л, рассматривались серии резуль­

татов для различных значений А0 . В качестве примера эти резуль­ таты показаны на рис.1.64 и 1.65 для одного сочетания значений

Л, и Д0и нулевых начальных условий.

В целом проведенное исследование подтвердило справедливость

принятого предположения о том, что применяемые приемы опреде­ ления уравнений рабочих границ дадут правильный результат.

Физические закономерности, вследствие которых оказалось возможным применить изложенные приемы, будут описаны несколько

ниже. Сейчас же рассмотрим деление рабочих областей для системы

86

пятого порядка на рабочие подобласти и приближенное разложение процессов на простейшие составляющие.

Вкачестве разделительного уравнения, выделяющего перше

ивторые рабочие подобласти, было использовано соотношение (1.53), применение которого для систем третьего и четвертого

порядков уже было обосновано. Анализ переходных процессов для систем пятого порядка тоже подтвердил целесообразность исполь­

зования этого соотношения. Одновременно этот анализ, который проводился так же, как и для систем третьего и четвертого по­

рядков, показал, что приближенное разложение процессов на про­ стейшие составляющие с .допустимыми ошибками возможно для всех точек рабочих областей. В качестве примера, как выше указыва­ лось, на рис.1.64 и 1.65 для конкретного сочетания значений коэффициентов Aj и А0 показаны процессы для ряда точек, распо­

ложенных внутри и на границе рабочей области. Исправление оши­ бок для точеу рабочих областей, где ошибки весьма значительны,

может быть осуществлено по тому же приему, как и для систем третьего и четвертого порядков. Сплошные, пунктирные и штрихпунктирные кривые на рис.1.64 и 1.65 имеют такой же смысл, как и на предыдущих аналогичных рисунках.

Подробное изложение возможных вариантов преобразованных структурных схем для данной системы излагать не будем, так как суть дела в достаточной степени иллюстрируют материалы по предвдущим системам. Однако нужно указать все же следующее.

Для первой рабочей подобласти после выделения первой со­ ставляющей процесса, уравнение которой соответствует первому порядку, выделение остальных составляющих должно осуществлять­ ся как для системы четвертого порядка. Возможность выделения этих составляющих определяется тем, что первые пять коэффициен­ тов уравнения (1.65) имеют значения, которые соответствуют ра­ бочей области системы четвертого порядка.

Для второй рабочей подобласти после выделения первой со­ ставляющей процесса, уравнение которой соответствует второму

порядку, выделение остальных составляющих должно осуществлять­

ся как для системы третьего порядка. Возможность выделения этих составляющих определяется тем, что первые четыре коэффи­ циента уравнения (1.65) имеют значения, которые соответствуют рабочей области системы третьего порядка.

Рассмотрим физические закономерности, вмледствие которых

оказалось возможным в составоении уравнений границ рабочих об­ ластей исходить из соответствующих уравнений для системы чет­

87

вертого порядка, а в качестве pasделительного уравнения взять соотношение (1.53).

При рассмотрении указанных закономерностей для уравнения

прав.ой границ! следует анализировать два случая в связи с тем,что эта граница может являться ограничивающей кривой как для пер­ вой, так и для второй рабочих подобластей. Это видно, напри­

мер, из рис.1.64 и 1.65, соответствующих конкретному сочетанию значений А,и А0 . Сначала рассмотрим случай,- когда правая граница является ограничивающей кривой для первой рабочей под­ области и возьмем для примера сочетание значений коэффициентов,

соответствующее точке на рис.1.64. Характеристическое урав­ нение системы для указанного сочетания значений коэффициентов

записывается

для раскрытия физических закономерностей, о которых сказа­

но выше, будем проводить сравнение рассматриваемой системы с системами четвертого и третьего порядков, коэффициенты уравне­ ний которых совпадают с соответствующими коэффициентами урав­

нения- (1.68). Уравнения для указанных систем имеют вид

Сочетания значений коэффициентов этих уравнений отвечают точ­

кам ф, на рис.1.60 и 1.52.

Кроме того, будем рассматривать еще две системы (третьего

и четвертого порядков), характеристические уравнения которых записываются

Сочетания значений коэффициентов этих уравнений отвечают точ­ кам Qz на рис.1.60 и 1.52.

Сравним сначала системы, соответствующие уравнениям (I.7I) и (1.72). Сочетание значений коэффициентов для уравнения (1.72) отвечает, как видно из рис.1.52, 1ранице рабочей области для

системы третьего порядка. По кривым переходных процессов можно