книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

120

цизнта принимать постоянными позволяют условия подобия переход­ ных процессов.. Таким образом, общее число коэффициентов, кото­

рые можно считать постоянными, равно трем. Выбор этих коэффи­ циентов ничем не ограничивается, за исключением лишь того, что

один коэффициент должен обязательно относиться к правой части уравнений систем в соответствии с тем, что условия подобия процессов по оси ординат (2.15) связывают лишь коэффициенты

правых частей уравнений.

В данном исследовании постоянными будут приниматься два

коэффициента левых частей уравнений, которые будут разными для различных исследований, и один коэффициент правых частей урав­ нений, в качестве которого всегда будет выбираться последний коэффициент.

Сформулированное выше положение о том, что три коэффициен­

та уравнений систем могут приниматься постоянными без наруше­ ния общности исследования, нужно т.еперь доказать. Для этого по­

кажем, что переходный процесс для системы любого порядка, со­ ответствующий любому сочетанию коэффициентов уравнения, измене­

яри исследовании переходных процессов при трех фиксированных коэффициентах выявляются все возможные по форме переходные про­ цессы и, следовательно, не нарушается общность исследования, по крайней мере, для формы процессов.

Пусть общим является уравнение (2.16), а уравнением, для которого проводятся исследования, пусть будет (2.17). Для по­ следнего уравнения три коэффициента, принимаются постоянными, а именно: i -я и J.-& коэффициенты левой части и т - й коэффициент правой части. В соответствии с изложенными выше замечаниями два

Тогда условия подобия (2,18) и (2.19) с включением в запись

<f -х коэффициентов левых частей примут вид

123

х m a x - f ( в о ’ ai » ^ 2 i &з ? ^0* b/'f 6 2)< (2-55)

Аналогичные приемы можно использовать при составлении об­ щих зависимостей для других показателей свойств систем.

3. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ

НЕПОСРЕДСТВЕННО ПАРАМЕТРЫ ЗВЕНЬЕВ АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

В третьей главе работы кроме условий типа (2.14) и (2.15)

будут использоваться условия подобия переходных процессов, связывающие непосредственно параметры звеньев автоматических

систем и начальные условия для координат этих звеньев. Содер­ жание данного параграфа посвящено, изложению этих условий, из­ ложению связей между параметрами звеньев автоматических систем и начальными условиями для координат этих звеньев, при которых

процессы в системах подобны.

Постановка задачи здесь следующая. Предположим, что имеет­

ся конкретная автоматическая система определенной структуры с конкретными звеньями. Рассматривается вторая автоматическая система, которая имеет такую же структуру и такие же звенья,

но параметры звеньев могут иметь другие значения. Требуется указать связи между значениями параметров звеньев систем и начальными условиями для координат этих звеньев, при которых процессы в системах подобны.

Для простоты суждений и в соответствии с потребностями

ограничимся случаями, когда автоматические системы состоят из апериодических, колебательных и идеальных интегрирующих

звеньев. При отыскании искомых связей будем исходить из рас­ смотрения переходных процессов в противоположность тому, как при отыскании связей (2.14) и (2.15) исходными являлись пере­ даточные функции (2.II) и (2.12). Обратимся сначала к простей­

шей автоматической системе, состоящей из трех звеньев (рис.2.3) Указанной структурной схеме соответствует система уравнений

125

(2.58)

(T3p - h l ) x 3 = х зд~ н'3 X

где

(2.59)

Кроме того, для начальных условий должны соблюдаться связи

я 7(0 ) = л } ( 0 ) к х )

JCzi®) = ^c^io)к х )

(2.60)

V ° ^ V 0jк*;

Зс3 (0 ) = х 3 (0) кх .

Полученные выше связи (2.59) и (2.60) есть условия подобия переходных процессов, связывающие непосредственно параметры звеньев конкретной автоматической системы (рис.2.3) и началь­ ные условия для координат этих звеньев. Однако изложенные выше

положения могут быть применены к любым автоматическим системам, состоящим из апериодических, колебательных а идеальных интегри­

рующих звеньев, уравнения которых записываются в виде, используе­

мом в (2.56). Поэтому в общем виде условия подобия переходных процессов, связывающие непосредственно параметры звеньев авто­ матических систем, можно записать

и i -е коэффициенты передачи интегрирующих звеньев соответст-

ственно для исходных уравнений и уравнений, описывающих подоб­

ные процессы.

Аналогично (2.61) могут быть записаны с учетом (2.60) в

общем виде связи между начальными условиями для координат

звеньев систем, соответствующих подобным процессам.

127

§4. ТРИ-ФОРМЫ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ

Вдальнейших исследованиях будут широко использоваться три

формы записи уравнений. Первая форма записи является обычной

иимеет вид (I.I1). Эта форма записи широко использовалась в

первой главе. Здесь в дополнение к записи (I .I1) введем для коэффициентов вторые индексы. Эти индексы будут соответство­ вать порядку полинома левой части уравнения, т.е. кроме ( I .l') будем использовать уравнение

С ао,прП+ а1,п Р П' ’+ ■• ■+ a n-i,nP + ^ n , n ) x =

= ( b o , n P m + b Un P m' 1+ - - - + b m- h n p + bm)n)f .

(2.62)

Оба уравнения (I .I1) и (2.62) соответствуют первой форме

записи и могут полностью заменить друг друга. Применение вто­ рых индексов в коэффициентах уравнения (2.62) оказывается удоб­ ным при использовании результатов'по исследованию систем срав­ нительно низких порядков для исследования более сложных систем.

Это уже делалось в первой главе, например при составлении урав­ нений верхних границ. Однако там ввиду общего характера главы

использование вторых индексов не потребовалось. Вторые индексы будут использоваться в обозначениях коэффициентов и для других

форм записи, где они будут иметь такой же смысл.

Вторая форма записи уравнений систем отличается тем, что коэффициент при наибольшей степени р левой части уравнения

принимается равным единице. Уравнения систем во второй форме

записи будем обозначать:

(р + Aj, пР +■ • • + А л-2, л Р + An- i , nP + А п , п ) х ~

Во второй форме записи уравнений конкретные значения могут быть заданы еще одному, двум или большему числу коэффициентов.

Теперь уже эти коэффициенты необязательно должны быть равны единице.

При использовании второй формы записи уравнений систем могут, кроме того, накладываться различные другие ограничения

на значения коэффициентов. В задаче выделения из процессов

128

первых составляющих (в задаче понижения порядка уравнений си­ стем) будут накладываться ограничения на изменения коэффициен­ та Ап л(первая составляющая имеет уравнение первого порядка) и

коэффициентов Ап_1п и А п „(первая составляющая имеет уравне­ ние второго порядка).

Для третьей формы записи уравнений систем принимаются кон­ кретные и равные единице значения для двух коэффициентов урав­ нений систем, рядом расположенных. Обычно будут приниматься условия

Кроме того, равными единице могут приниматься и другие

рядом расположенные коэффициенты. Для того чтобы из записи коэффициентов сразу было видно, что они относятся к третьей форме записи уравнений и какие коэффициенты приняты равными единице, для рассматриваемой формы могут использоваться при

обозначении коэффициентов третьи индексы. Так, например, если в уравнении л порядка принимаются условия:

то при использовании третьих индексов уравнение систем в третьей

форме записи сказывается следующим:

(Ао,л,л-;Р + А1гП п_5 р +• • •+ An. Si„in. 5 р + р + р + АП^3^П) n.s p +.

" ' + ^n,n,n-s)x ~(^o,n,n-sP +^t,n,n-sP + ' " + &m-i,n,n-s Р + •

(2 .6 7 )

Из этой записи видно, что в качестве третьего индекса для коэф­ фициентов используется номер второго коэффициента из двух коэф­

фициентов, принимаемых равными единице.

Третьи индексы для коэффициентов при третьей форме записи

уравнений,как и вторые индексы во всех формах, будут использо­ ваться лишь в случаях, когда из с одержания материала не обна­