книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ
.pdf240
Л * |
А * * |
(4.129) |
/ 7 - Г , п ^ |
^ П-1, П |
|
Разделительное уравнение (1.53) было подобрано так, чтобы ~ был сравнительно небольшим диапазон значений действительного
времени запаздывания (для малости ошибок разложения про цессов на составляющие) и чтобы выполнялось условие (4.129).
Таким образом, при использовании разделительной кривой (1.53) выполняется соответствие разложения процессов на отдель ные составляющие, которое именовалось выше так же, как согла
сование разложений процессов на составляющие для систем раз
личных порядков.
§ 7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА ПРОСТЕЙШИЕ СОШОШТЕЛИ
В главе Шбыло осуществлено приближенное разложение пере
даточной функции замкнутой системы на два сошожителя, из ко торых один является простейшим, а второй может быть любой слож ности в зависимости от сложности исходной передаточной функции. В данном параграфе на основе зависимостей для приближенного
•разложения передаточной функции замкнутой системы на два сом
ножителя и на основе материалов предыдущих параграфов данной
главы будет полностью решена задача приближенного разложения передаточной функции замкнутой системы на простейшие сомно-
. жители.
Как указывалось в предыдущей главе, задача разложения пе
редаточной функции (I.I) на сомножители означает, что должно "быть осуществлено разложение на свои сомножители знаменателя
и числителя этой функции. Для знаменателя такое разложение на простейшие сомножители уже выполнено.Основной результат пред шествующих параграфов в этом и заключается.
Дейстштельно, предположим, что коэффициенты уравнения . системы (I. I*) удовлетворяют исходной предпосылке метода. Осу ществим выделение из (3.107) уравнения первой составляющей.
Возможность такого выделения была показана в предыдущих пара графах. Предположим, что первая составляющая имеет первый по
рядок. Тогда вместо (3.107) получаем систему уравнений
241
|
|
( < * „ - г Р + a n ) x l = b - m f i |
,(4.130) |
|
i |
n - t |
n ~ 2 |
+ at - l P +c!n- i ) x * = a n-ix r. |
|
( a 0 p |
+ a l P |
+ |
|
|
Затем рассматривается второе уравнение системы (4Л30) и
из него выделяется уравнение первой составляющей, которая для исходной системы л-го порядка будет уже второй составляющей. Возможность выделения из уравнения л -I-го порядка (как и из уравнения любого другого порядка), первой составляющей была до
казана вше. Вели рассматриваемая составляющая имеет уравнение
второго порядка, |
то вместо |
(4.130) |
записываем |
|
|
( а п - , р + a n ) x r = |
b m |
f i |
|
||
( а п . 3 р г+ |
а п . г р + |
a n ^ ) x t |
= |
а п . { х , |
>(4,131) |
|
П-tt, |
|
а п. 3) х ^ = а „,3х г |
|
|
( a 0 p n 3+ a j p n~*+ •••+ |
|
|
|||
Изложенный процесс должен быть продолжен и дальше до тех
пор, пока последнее уравнение систем типа (4.130) и (4.I3I) станет уравнением второго или первого порядка, т.е. будет осу ществлено разложение на простейшие составляющие. Если первая и последняя составляющие будут иметь первый порядок, а вторая
и предпоследняя - второй, то система уравнений для простейших составляющих будет иметь вид
( a n ~ i Р + а п ) х , = |
f ; |
|
( ° n - 3 P Z+ а п - г Р + a n - i ) x z ~ а г, - 1 X J |
||
|
|
(4.132) |
( а , р г + агР + |
= |
а3 х ^ _ г ; |
( а 0 р + а , ) |
= a, |
a:v _, . |
Левые части уравнений системы (4.132) являются сомножителями приближенного разложения знаменателя функции (I.I), приближен ного разложения левой части уравнения (3.107).
В уравнениях (4.132) отсутствуют члены, характеризующие
начальные условия аналогично тому, как эти члены отсутствова ли в уравнениях (3.106) и (3.122). Для устранения этого недо
статка системы уравнений с выделением уравнений первой, второй и других составляющих процессов будем записывать е использова
нием материалов по приближенному разложению передаточной функ ции замкнутой системы на два сомножителя (гл.Ш, § 5), т.е. будем исходить из уравнения (3.107) и будем при выделении со
242
ставляющих записывать нак левые части уравнений, так в общем виде и правые части.
При выделении первой составляющей вместо (4.130) получаем
систему [см. (3.II8)].
( ° n - i P + ° п ) х , = ( b m - i P + b m ) f ;
(а оРП~1+a iP n~Z+ ■ |
• • + |
а п -гР + Q n -f)x 4 = |
|
( г . ^ П - 1 - Г П - 1 |
г. а П - 1 . |
т - ъ |
. Q n - I _ . / т о т |
= \ЬоТ ~ Р |
Ь'Т ~ ,Р |
|
+'-'+Ь'”-гГ-Р+ап-№ (^ 188) |
и т~1 |
и т-1 |
|
°т-1 |
При выделении следующей, второй, составляющей необходимо
результаты, полученные для уравнения (3.107), применить ко
второму уравнению (4.133) с учетом того, что это уравнение от личается от уравнения (3.107) индексами коэффициентов и другой
структурой коэффициентов правой части. В итоге вместо (4.133) получаем систему уравнений
( а „ - , р + a n) x r = ( b m - i Р + bm ) f ■>
^а п-зР + ап-гР + an -i):xz~fim-3 ь |
Р |
+ Ьт -ги |
P + an-i)x P |
||
|
|
|
|
|
7 ( 4 . 1 3 4 ) |
(a0p n~3+ a lPn~ \ - ' - |
+ а п^ р + а п. 3 ) х 3 = |
||||
1 & П - 3 |
! 7 1 - 3 4 О П - 3 |
/77if |
f |
O n - Z |
> |
(bolT ^ P |
+bi f ^ P |
+ --- + Ьт -^ ~ Р + ап-з)хг- |
|||
° т - з |
° т - з |
|
|
От-з |
|
Осуществляя аналогичное применение результатов, составлен ных для уравнения (3.107), к последним уравнениям получающихся
систем,в итоге вместо (4.132) найдем
( a n-,P + a n) * , = ( b m- , P + bm ) f ;
(а п - з Р + а п - г Р + b n - i ) x |
z ~ \ Ьт - з Т |
Р + Ьт-г~1 P + b n-i)x v |
|
|
|
0 W -1 |
и■'т-1 |
(4.135) |
|
|
|
|
|
|
|
Оз |
z t |
\ |
|
( а ,/ Л а г р + а 3) х ^ ( кЬ) — |
р + Ьг ^ р + а 3) х 4 _ г ; |
|
||
( а оР + |
a 7) . r v = ( Ьо Т ~ Р + |
в/)**-/- |
|
|
°1
24S
Систем (4.135) позволяет записать приближенное разложение фп( р ) передаточной функции замкнутой системы (I.I) на простейшие
сомножители. Для этого разложения имеем
Ф„ (/>)=$* (Р) $ v -i (p)f . . . , Ф г (р)Ф1(р)- (4.136)
Здесь через Ф,(р), Фг (р),-- •, Ф^,(р)иФ/р)обозначены передаточ
ные функции для отдельных составляющих, начиная от первой до \) составляющей. В соответствии с уравнениями (4.135) эти пе редаточные функции записываются
ф { р ) = Ь я £ * * > ;
'и а п_]р + а п
|
|
|
П-1 |
П~1 |
|
Jm~ 3 b m - , P |
+ Ь т-г Ьт-1 |
||||
Р + ° п |
|||||
Фг(р) |
|
|
|
(4.137) |
|
а п - з Р + ^ п - г Р |
|||||
+ & п- 1 |
|||||
|
0-3 |
2 , |
г. |
|
|
_ |
ь1 ЬзР |
|
Ьз Р + ° 3 |
||
ф * - Л р ) |
а , Р |
+ |
а г Р |
+ 0 3 |
|
|
|||||
ф ^ ( р ) = Ьо% .Р * Ч - . |
|
||||
г |
а0р + а1 |
|
|||
Если индексы для каких-либо коэффициентов ъ в функциях типа (4.137) становятся отрицательны!®,то эти коэффициенты принимаются равными нулю в соответствии с тем, что они отсут
ствуют в уравнении (3.107). Принимаются равными нулю и отношения этих коэффициентов.
Передаточные функции (4.137) соответствуют конкретному
сочетанию порядков уравнений отдельных составляющих процессов. Однако анализ рассмотренного сочетания распивает общие законо
мерности формирования передаточных функций составляющих. Передаточные функций должны формироваться при их последо
вательном выделении, начиная с первой составлящей (возможен и другой подход). Если очередная составляющая имеет первый по рядок, то ее передаточная функция записывается
,Of n - i
m-i-1 bt |
Р + 0 п-1 |
Ф ( р ; = . |
(4.138) |
1П-С-1 |
+■ а П-L |
Если очередная составляющая имеет второй порядок, то для нее
передаточная функция имеет, вид
244
|
|
ln-L |
Qn-L |
|
|
|
ьm - i - г bt t i P + b n - l - i t t P + O n - l |
(4.139) |
|||
b i ( p ) = |
|
+ |
ct , |
||
|
|
|
|
||
|
a n-L- z P + ®n-L-]p • |
“ ri-L |
|
||
В (4.138) и (4.139) |
через J- |
обозначен номер очередной состав |
|||
ляющей, |
а через L- |
суммарный порядок уже выделенных состав |
|||
ляющих. |
В числителях (4.138) |
и (4.139) для первой составляю |
|||
щей свободные коэффициеты равны Ът .
При составлении передаточных функций (4.138) и (4.139) долж
ны учитываться замечания в отношении отрицательных индексов для коэффициентов,,6 ” . Эти замечания были изложены после состав ления функций (4.137).
§ 8. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО АЛГОРИТМАМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТШ
При рассмотрении кратких сведений об алгоритмах исследова ния автоматических систем указывалось, что запасы устойчивости
систем для колебательных составляющих оцениваются с помощью ко лебательностей р е п овсем составляющим оцениваются путем ис
пользования соотношений, которые получены из уравнений границ рабочих областей типа (I .51), (1.63) и (1.78). Указанные соот
ношения записаны ниже, в данном параграфе.
Каждое из уравнений границ рабочих областей (1.78) опреде ляет граничное значение коэффициенте* номер которого совпада ет с номером уравнения границы. Будем считать, что запасы устойчивости системы тем выше, чем больше отличаются значения
коэффициентов от их граничных значений. Тогда соотношения, по которым целесообразно оценивать запасы устойчивости систем, бу
дем записывать
07
2) /77,
3,2
3)
/71, , =
3,з
4 )
т 2,к
6 at |
|
г г ' |
_з |
3 - 1 |
|
Г О а-тао |
|
||||
J3 Li1 + |
1 |
- G,* |
f Q6 |
.1 |
|
|
|
и. |
|
) |
(4.140) |
|
R |
а; |
|
|
|
аза, |
г |
ага'0\-Ъ'-,г |
|
‘7a^0]a5af,S| |
|
1+ 9 ^ + г Ч^ТГ;-гР) - аТ + О МЧ1' -Ш а? / gf J.
J
245
5 )
т3>5
т.3,п
а,,-г
При использовании (4.140) запасы устойчивости систем оце
ниваются с помощью коэффициентов |
5 ^ |
з »••• i m i , n ' |
Для границ рабочих областей эти коэффициенты равны единице. |
||
Чем меньше значения указанных коэффициентов, |
тем глубже внутри |
|
рабочих областей располагаются точки, соответствующие коэффи циентам уравнений систем, и выше запасы устойчивости.
|
Целесообразность оценки запасов устойчивости по коэффициен |
|
там |
определяется, |
во-первых, тем, что использовать оценки |
по колебательностям |
р , вычисляемым по приближенным уравне |
|
ниям составляющих процессов, можно лишь в случае, если все т^ равны или меньше единицы (если выполняется исходная предпосыл
ка метода). Кроме того, параметры |
, если выполняется исход |
||
ная предпосылка метода, характеризуют |
удаленность значений коэф |
||
фициентов уравнения от границ рабочих |
областей (см.гл.У). |
|
|
Формулы для колебательностей р |
записаны в § |
3 гл.УТ. |
Как |
указывалось в главе I, целесообразно использовать |
формулы, |
ко |
|
торые получены с учетом исправления ошибки в процессах при зна
чительных колебательностях.
§ 9. О ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ОТЛИЧНЫХ ОТ СКАЧКООБРАЗНЫХ
Во всех изложенных выше главах и параграфах рассматривались
процессы в системах при скачкообразных входных воздействиях и
преднулевых начальных условиях, т.е. рассматривались переход ные функции систем. Для этих же воздействий были получены ре
зультаты по задаче разложения процессов на отдельные составляю щие и были сформулированы правила составления приближенных пе редаточных функций систем.
246
Данный параграф посвящен изложению возможного подхода к обобщению результатов по разложению процессов на отдельные со ставляющие и приближенным передаточным функциям на случаи изме
нения воздействий по законам, отличным от скачкообразных.
Указанный подход будет рассмотрен в общем плане. Более конкретно будет проведено исследование по использованию при-
,блшсенных передаточных функций для. определения амплитудных частотных характеристик замкнутых систем. Ниже последние результаты будут использованы также при составлении алгорит
мов определения полосы пропускания частот систем.
Д л я в х о д н о г о в о з д е й с т в и я произ вольного вида, прикладываемого в момент t = +0, переходный, процесс при преднулевых начальных условиях может быть подсчи
тан на основании интеграла Дюамеля-Карсона по переходной функ-
цииA(t) |
jn(*)= A( i ) + JVftjA( t - t ) d ? , |
14.141) |
|
О |
|
|
A{i) = f{+0) A (t) , |
(4.142) |
где f(+0)- значение входного воздействия при t = |
+0; |
|
'о - |
вспомогательное время суммирования, |
изменяющееся |
|
в пределах от нуля до рассматриваемого текущего |
|
момента времени;
цроизводная от входного воздействия в момент V .
При использовании точной переходной характеристики систе мы зависимость (4.I4I) дает точную кривую на выходе системы. При использовании приближенной переходной характеристики, по
лученной на основе приближенного разложения цроцессов на со ставляющие, это положение нарушается. При этом точность опре
деления переходного процесса зависит, в первую очередь, от точности приближенной переходной характеристики системы. Од нако существенное и даже в некоторых случаях определяющее влияние на точность вычисления переходного процесса оказывает
закон изменения входного воздействия.
Для того чтобы цроиллюстрировать такое влияние, обратимся к случаю изменения входного воздействия по синусоидальному
закону и будем рассматривать ошибки в определении амплитуд ных частотных характеристик, которые будут использоваться так. же, как выше указано, для определения полосы пропускания час
тот систем.
Для того чтобы убедиться в справедливости вывода о возмож
ных больших ошибках в амплитудах выходного сигнала, достаточ
но обратиться к интегралу в соотношении (4.I4I). При синусо
247
идальном загоне изменения входного воздействия по такому же закону будет изменяться и производная от входного сигнала,ко торая стоит под знаком интеграла. В этом случае даже при неиз менном знаке для функцииA (f-^рассматриваемый интеграл будет
формироваться путем алгебраического сложения сумм различных знаков и окончательно этот интеграл может получаться как раз
ность двух больших чисел одинакового знака. Даже сравнительно небольшие ошибки в каждом из этих чисел могут приводить к су щественным ошибкам в окончательном результате.
Таким образом действительно, при синусоидальном законе
изменения входного воздействия ошибки в определении амплитуд ных частотных характеристик могут быть весьма существенными.
Положение не изменяется от того, что при определении амплитуд
выходного сигнала время t |
в соотношении (I.I4I) |
должно |
при |
ниматься бесконечно большим. |
Причем очевидно, что |
данные |
ошиб |
ки вызваны не только ошибками в переходных характернотиках,но и связаны с законом изменения входного воздействия.
Из сформулированного вывода не следует, что приближенные переходные функции, приближенные передаточные функции систем
Фп (р) нельзя использовать для оцределения амплитудных частот ных характеристик систем. Специальное исследование, которое излагается ниже, посвящено обоснованию возможности определять амплитудные частотные характеристики с использованием Фп ( р)
в случае, когда в числителе передаточной функции (I.I) имеет ся только свободный член и она приобретает вид
Ф( р) = |
.(4.143) |
а оРп + а , Р п~’+ а г р п-г+ |
+ а п - г Р + а п - , Р + а * |
Можно использовать непосредственно цриближенные передаточ
ные функции для определения амплитудных частотных характери стик и в других случаях. Однако для выявления условий, каким эти случаи должны удовлетворять, потребовались специальные исследования, которые изложены также ниже.
Вместе с тем оказывается, что возможность использовать, когда (I.I) соответствует (4.143), приближенные передаточные
функции для определения амплитудных частотных характеристик
имеет значение и для оценки свойств систем по амплитудным и частотным характеристикам в общем случае.
Для того чтобы показать это положение, представим функцию
(I.I) в виде
248
Ф(р)= Ф"(р) ф'(р) |
(4.144) |
где
и
$ (Р) = |
(4.146) |
Вдальнейшем вместо обычных амплитудных частотных характе ристик для удобства при графических представлениях будем ис
пользовать логарифмические амплитудные частотные характеристи ки (ЛАХ), в том числе и асимптотические.
Как видцо, (4.146) соответствует (4.143), и определение амплитудных частотных характеристик, соответствующих этой функ
ции, южет быть выполнено приближенно. С другой стороны, сомно житель (4.145) функции (4.144) не имеет знаменателя и поэтому
ЛАХ для него будет состоять из слагаемых, каждое из которых увеличивает наклон вверх асимптотической ЛАХ. Действительная ЛАХ для (4.145) может располагаться как ниже, так и выше асимп тотической и даже может иметь существенные "провалы" в своем протекании (см., нацример, [39[] ). Будем этими "провалами" пре
небрегать, как не отражающими общее протекание характеристик.
Вэтом случае максимумы кривой амплитудной частотной характе ристики для функции (4.144) могут иметь место только в районах сопрягающих частот для сомножителя (4.146), так как на этих частотах происходит увеличение наклона асимптотической ЛАХ вниз.
Всвязи с этим оказывается, что для оценки свойств’Систем
по амплитудным частотным характеристикам необходимо знать зна чения этой характеристики в районах частот, соответствующих
корням знаменателя сомножителя (4.146). Для этого нужно знать сами корни. Однако вместо этих корней могут использоваться эф фективные корни, так как их применение [применение приближен
ной передаточной функции вместо (I.I J, как показано ниже, да
ет цравильное выявление очертаний амплитудной частотной харак
теристики, соответствующей (4.143) или (4.145).
§ ю . приближенный; амплитудные частотные характеристики
ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ ПРИ Б0ЛЯ1МХ И МАЛЫХ ЧАСТОТАХ В данном параграфе будут получены результаты, которые спра
ведливы как для (4.143), так и для передаточной Функции вида
(I.I).
249
функция (IЛ ) есть точная передаточная функция систем в общем случав. Для амплитудной частотной характеристики и ло гарифмической амплитудной характеристики имеем
Д(оо) = V ( Ът~ Ът-г + ^(4.147)
1 /W ап-г(° г+ ап - ^ . . . ) г+ (ап_,со - с7„.3ш3+ап_5ш5- ■■}
LfahlOl ^/(Ьт~Ьт- г^ г+Ьт- ^ - •••Г+ (Ьт-,а -Ь т.3^ Ъ т_5и --^ i4g) У(ап~ап. ^ + а п^ с о \ . . ) г +(Qn„,CQ-a„_3co3+bm-s a>s— .)*
Для со = 0 амплитудная частотная характеристика будет
А(со) |
= |
(4.149) |
или ЛАХ |
а п |
|
|
|
|
Ц oo) = 2 |
0 l q ^ . |
(4.150) |
|
d "п |
|
Зависимости (4Л49) и (4.150) |
будут также описывать амплитуд |
|
ные характеристики на некоторых диапазонах малых значений со .
Таким образом, (4.150) |
является здесь первой асимптотой. • |
|
При стремлении со |
к бесконечности для (4.147) |
можем запи |
сать |
|
|
Д(со] = — |
(4Л51) |
|
|
о 0 со т |
|
или для ЛАХ [см. (4.148)] |
|
Ц со) = 20 L g |
(4.152) |
а 0соп-т ' |
Зависимости (4.I5I) и (4.152) описывают амплитудные частот ные характеристики не только яри стремлении со к бесконечности, но и на некотором диапазоне больших значений со . Таким образом, (4.152) является здесь последней асимптотой.
Приближенная передаточная функция в общем случав соответст вует (4.136). Для приближенной амплитудной частотной характе
ристики запишем
А(оо) = А„Аг , . . . , Aj , . . . |
(4.153) |
Для сомножителей А^, Аг , А у -выражения будут различными в зависимости от порядков составляющих, т.е. в зависимости 6т значений параметров j>; , рг , . . . , р •, ...