книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ
.pdf210
211
наибольшие значения т а для полученных, таким образом, верхних границ оказываются в допустимых пределах.
Для более наглядного пояснения использованного приема состав ления уравнений верхних границ для системы четвертого порядка рассмотрим конкретное применение соотношений (4.59).
Предположим, что нужно определить протекание верхней грани цы дляАо1н=0,5. По первому соотношению (4.59) обращаемся к
прямой AZ3(f 0,5 на рис.4.1. По точке Е снимаемА3>3^ 0,25 и
по второму соотношению (4.59) определяем граничное значение
АзЛ>1= При уменьшении значений А0 ^ , соответствующая прямая на
рис.4.1 опускается вниз, а значения Аз л ^ для верхней границы,
как дают расчеты по второму соотношению (4.59), непрерывно увеличиваются. При стремлении А0 ^ , к нулю система четвертого порядка вырождается в систему третьего порядка (4.62), и по этому рабочая область вырождается в рабочую область для си стемы третьего порядка (рис.4.1), а уравнение верхней границы
становится
|
|
= |
б. |
|
|
(4.68) |
. |
Для того чтобы получить уравнение |
(4.68) |
из второго соотноше |
|||||
ния (4.59), заменим в немЛ3 3 0зависимостью (4.32). Имеем |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(4.69) |
|
3’"’ ’ |
' + SA2j3>0 + 2aU |
0 + ^ |
a W |
|
|||
Тогда при стремлении А г 3 0 к нулю |
из (4.69) получаем уравнение |
||||||
(4.68). |
|
|
|
|
|
прямая Аг^3 й= A0i4^ |
|
При увеличении значений |
, |
на рис.4.1 |
|||||
идет вверх, а значения |
А3 ^ , |
для верхней границы [второе |
|
||||
соотношение (4.59Д |
непрерывно уменьшается. |
|
|
||||
Из рис.4.1 видно, что последнее значение, какое может при |
|||||||
нимать коэффициент |
Ап . |
, , составляет |
|
|
|
||
= б» так как его дальнейшее увеличение ограничивает отсутствие ра
бочей области для системы третьего порядка при условии A2i30>6. Математически условие (4.70) получается из уравнения (4.33) с
учетом первого соотношения (4.59). Физически этому условию со
ответствует предельная колебательность наиболее быстропроте-
кающей составляющей процессов.
212
Уравнения рабочих границ для системы четвертого порядка
(4.66), (4.67) и (4.64) записаны для (1.58). Для того чтобы записать эти уравнения применительно к (1.57), необходимо вос
пользоваться условиями подобия переходных процессов и приме нить их, как указано в гл.П (§2). В итоге получились уравне
ния правой и верхних границ (1.63).
При рассмотрении уравнения разделительной кривой учиты вались соображения о распределении значений и Х3 г внутри рабочих областей, какие указывались для системы третьего по
рядка. Там же отмечалось, что разделительная кривая должна удовлетворять еще требованию по согласованию разложений про
цессов на отдельные составляющие для систем различных порядков. Здесь это требование рассматриваться не будет, его содержание, как указывалось, изложено в специальном параграфе.
При совокупном учете всех положений оказалось возможным
в качестве разделительной кривой использовать и здесь, как и для' последующих систем, кривую, соответствующую (1.53). При этом оказалось, что наибольшие значения для системы чет
вертого порядка не превышают значений действительного времени
запаздывания для системы третьего порядка. Следовательно, и наибольшие ошибки разложения, процессов на составляющие для дан ной системы не превышают ошибок для системы третьего порядка. Изложенный вывод, конечно, справедлив при условии использова ния приемов уменьшения ошибок разложения процессов на состав ляющие (см.§ 12 данной главы).
Для подготовки материалов к рассмотрению систем пятого по
рядка составим соотношения для коэффициентов |
и_Л^г(Х^>г) |
|
и представим эти соотношения графически. |
Коэффициенты |
|
соответствуют первым рабочим подобластям по л |
, а коэффициен |
|
ты Л^12(лЦ1г)-вторым рабочим подобластям. |
|
|
При составлении соотношения для |
впервые встречается |
|
случай, когда при составлении зависимости для коэффициента времени запаздывания \ необходимо учитывать значения этого
коэффициента для предыдущей системы [см,(4.14) и (4.20)] ,так
как уравнение для быстропротекающих составляющих имеет третий порядок и здесь уже возникают затруднения при составлении за висимости для времени Zg по этим составляющим.
Соотношение для Л ^ в соответствии с зависимостью (4.14) с учетом (2.64) и (2.641) для уравнения (1.58) записывается
213
|
Л v, I / + л 3 а* |
(4.71) |
Для коэффициента |
вторая рабочая подобласть для Л ) |
|
еще монет быть составлено соотношение без использования коэф
фициента Л |
для предыдущей системы, |
так как уравнение для |
|
быстропротекающих составляющих имеет |
всего |
второй порядок. |
|
Из (1.58) |
характеристическое уравнение для этих состав |
||
ляющих записывается |
|
|
|
|
Р 2+ Р +7} = 0 . |
(4.72) |
|
Это уравнение соответствует или колебательной или апериодиче
ской второго порядка составляющим. Соотношение, разделяющее эти два случая, легко получить из условия равенства единице коэффициента затухания для уравнения (4.72). Для указанного соотношения находим
А0,*ы |
I |
(4.73) |
|
4 |
|||
При условиях |
|
||
|
|
||
АО, <*,! |
=л |
(4.74) |
|
и |
4 |
|
|
I |
|
||
А |
(4.75) |
||
4 |
|||
|
|
для уравнения (4.72) имеем соответственно колебательную и апе риодическую второго порядка составляющие.
Первая составляющая для второй рабочей подобласти имеет
второй порядок и аналогично такой же составляющей для системы третьего порядка может быть как колебательной, так и апериоди
ческой второго порядка. Характеристические уравнения для срав ниваемых составляющих (4.30) и (4.60) отличаются лишь увеличе нием для системы четвертого порядка индексов коэффициентов на
единицу. Поэтому соотношение, разделяющее случаи колебательной и апериодической второго порядка составляющих, по аналогии с (4.41) записываем
|
«ь |
|
(4.76) |
|
Аз,1+,1 |
• |
|
При условиях |
|
||
|
|
|
|
А |
лг |
|
(4.77) |
|
43,<м |
|
|
214
и |
|
|
1_ |
г |
(4 .7 8 ) |
А 4 , 4 , 1 |
А 3,4,1 |
первая составляющая соответственно будет колебательной и апе
риодической второго порядка.
Согласно изложенным замечаниям для Л. „имеем следующие со- |
||||||
|
|
|
« |
2 |
т, с |
|
отношения: а) при |
*4,4,1 |
^ |
'ц ^ з ,ч ,i |
|
|
|
|
п3,4,1 |
+ г V a 0,4,1 |
|
|||
|
Ач,4,1 |
|
|
|
|
|
|
* 4 , г ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
S |
(4 .7 9 ) |
или |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 3 , 4 , 1 |
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
^0,4,1 |
> ц . |
, |
|
|
|
/+ А 3,4,1
А4,4,1
|
4, г |
|
'3,4,1 |
или |
4,4,1 |
|
(4 .8 0 )
|
|
|
Г * * * |
|
|
|
|
|
А3,<ь1 |
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
А |
< |
^ * |
|
|
|
Ло,ч,1 |
|
1+1 |
|
|
б) при |
А |
=» |
— А^ |
|
|
|
2V ^ Z7 +^ |/Д4,4,1 |
} |
(4 .8 1 ) |
||
|
'4,г |
|
13,4,1 |
||
|
|
|
|
|
|
14,4,1
215
или
(4.81)
если
и
А
или
> (4.82)
если
А
Для графического представления зависимостей (А.71), (А.79),
(4.80), (4.81) и (4.82) были построены функции
(4.83)
и
(4.84)
для различных значений А3 (пример показан на рис.4.5,а), ко торые строились так же, как’ зависимости (4.46) и (4.47) для
системы третьего порядка. Имеется только особенность в построе
нии линий |
по соотношению (4.71). Здесь для определения |
|
функции (4.83) |
необходимо для каждого значения А0^,знать |
вели |
чины а 3 . Эти |
величины следует определять по рис.4.3,а, |
ис |
пользуя первое соотношение (4.59), которое позволяет найти на
рис.4.3,а необходимую кривую. После этого нужно обратиться ко второму соотношению (4.59), которое позволяет снимать значения
коэффициентов |
А 3 . |
Были представлены графически также, зависимости для коэффи |
|
циентов Ам и |
А ( п р и м е р показан на рис.4.5,б). При построе |
нии графиков учитывались все положения, которые отмечались для
216
зависимостей a 3i, и л 3,2. Поэтому здесь укажем только формулы для рассматриваемых коэффициентов.
При определении этих формул в соответствии с материалами
§ I [см. (4.21)] была сделана замена
^3,^,1 |
(4.85) |
|
|
Тогда для коэффициента |
из (4.71) находим |
|
/+А 3 гг. |
Для коэффициента Л^г из соотношений (4.79), (4.80), (4.81)
и (4.82) находим соответственно |
следующие зависимости: |
||||
а) при |
Г « ^ |
|
|
|
|
|
|
^Ч,г= |
|
|
* |
если |
|
|
|
|
(4.86) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ао л , , ^ { - ’ |
|
|
|
и |
|
^ |
|
___ _ |
|
|
|
• Ч , г = /+*'*"’• |
|
> |
|
если |
|
|
; |
|
(4.87) |
|
|
|
|
||
|
^ |
A o,if,i s |
"ц '■> |
|
|
б) при |
|
|
|
|
|
если |
\ z = 2 ] / f ' + 2 r t o , b , r l / r |
|
’ |
||
|
|
|
|
V (4.88) |
|
|
|
А0,<Ы > |
Ц. ’ |
|
|
|
я , >г= г ^ + YF-VK |
г |
(4.89) |
||
|
|
|
|
|
|
если
ц. •
§ 4. СИСТЕМЫ ПЯТОГО ПОРЯДКА
Для системы пятого порядка, как следует из материалов гла вы I, при составлении границ рабочих областей использовалось два предположения. Предполагалось, что в качестве уравнений верхних границ для системы пятого порядка можнопринять урав
217
нения границ рабочих областей для системы четвертого порцдка.
Предполагалось также, что уравнение правой границы для систе
мы пятого порядка можно получить из уравнения правой границы для системы четвертого порядка увеличением индексов всех коэф
фициентов на единицу. Так были записаны уравнения (1.67). В главе I также отмечалось, что уравнения (1.67), полученные с использованием указанных предположений, правильно описывают границы рабочих ооластей, что подтвердила конкретная проверка
процессов для граничных точек. Там же на конкретных примерах были показаны физические закономерности, вследствие которых
выполняются предположения о приемах составления уравнений гра ниц рабочих областей.
В данном параграфе указанные физические закономерности бу дут рассмотрены в общем виде применительно к уравнению в третьей
форме записи. Существо этих закономерностей состоит в том, что для системы пятого порядка значения действительного времени запаздывания Z g для всех точек правых границ рабочих областей
мало отличаются от соответствующих значений для системы четвер того порядка, характеристическое уравнение которой получается из уравнения для системы пятого порядка (1.65) при а0= О
(А05 г= 0). В диапазонах изменения Х д заключаются и рассматри ваемые физические закономерности для верхних границ. Здесь суть дела заключается в том, что значения времени для этих гра ниц изменяются от нуля до сравнительно небольших величин, при
которых влиянием ‘tQ можно пренебречь.
Для системы пятого порядка характеристическое уравнение в третьей форме записи соответствует (1.66). Для этого уравнения
границы рабочих областей будут описываться уравнениями: верхние
границы
Д3 , 5 , 2 |
► (4.90) |
А
218
правая граница
6А *.,5,2 |
(4.90) |
’ 5 , 5 , 2 " |
|
' + * K , ^ ^ * K 5 , z ) b \ , s ^ ° M l + W 0 A h5a) k \ iSA |
|
Уравнения (4.90) получены из уравнений (1.67) |
при условиях |
(2.64) и (2.64'). |
|
Из уравнения (1.66) и уравнений (4.90) видно, что в срав
нении с системой четвертого порядна здесь должны быть рассмот рены для каждого значения Аь5 гсерии рабочих областей. Однако
оказывается, что серии этих рабочих областей при их графическом изображении лучше объединять в единые рисунки.
Для пояснения такого изображения обратимся к связям между коэффициентами уравнений в третьей форме записи (2.75). Для
данного случая эти связи записываются
г |
|
|
^ЪЫ.(4.91) |
|
Ао,5,г = А0,Ь,1 Аэ , * , 1 '■> |
^1,5,2 - |
ль,5,г |
||
Аг |
||||
|
|
|
Л 3,4,\ |
|
Приемы использования связей |
(4.91) |
поясним на конкретном при |
||
мере. |
|
|
|
|
Предположим, что необходимо построить рабочие области для
Д)5г= 0,5 (см.рис.4.6,6). Из второго соотношения (4.91) видно, что для этого нужно рассматривать в рабочих областях системы
четвертого порядка прямыеА3 ^,= 0,5 |
(см., |
например, рис.4.4). |
Отмечаем точки пересечения этих прямых с |
правыми границами |
|
(точка Е). Значения коэффициентов |
, в |
этих точках по тре |
тьему соотношению (4.91) определяют значения\5>гдля верхних границ. Получается серия верхних границ, каждая из которых со
ответствует своему значению |
А0;52. Значения Ао5допределяются |
|||
по первому соотношению (4.91). |
|
|
||
Обратим внимание на то, |
что диапазон значений А0 5 г оказы |
|||
вается ограниченным, |
так как диапазон значений А0Л)для систем |
|||
четвертого порядка ограничен значениями: |
|
|||
|
V r |
° - |
б- |
(4 .9 2 ) |
Ограничен также диапазон возможных значений А , 5 г вследствие |
||||
ограниченности диапазона значений для А, |
„ ,. Из рис.1.55 - |
|||
1.59 и второго соотношения (4.91) |
Оj*t-f 1 |
|||
видно, |
что диапазон значений |
|||
для А , с , составляет |
|
|
(4.93) |
|
Ь5’г |
Л , 5 , г = 0 - |
6 - |
||
219
Это* диапазон совпадает с диапазоном возможных значений для
Ав системе четвертого порядка [см.(4.92)3.
Выше было пояснено, |
что для кавдого значения A I?Jjt по |
|||
лучается |
серия верхних |
границ рабочих |
областей. В то же |
|
время, |
как видно из |
уравнения правых |
границ [см.послед |
|
нее уравнение (4.90)3 , |
всей серии этих верхних границ соот |
|||
ветствует одно уравнение правой границы [см., |
например, |
|||
рис.4 .б,б] . |
|
|
|
|
По этой причине действительно оказывается, |
что рабочие |
|||
области для каждого значения A,j5iZпри их графическом изобра
жении лучше объединять в одном рисунке, как это было показано для А,5г= 0,5. Рабочие области, которые' будут использоваться при дальнейшем исследовании, показаны на рис.4.6.
Из рассмотрения указанных рисунков легко заметить, что
наиболее широкими рабочие области при всех AhS Z получаются при
Ао,5,г = 0» т,е* в случае перехода системы пятого порядка в си
стему четвертого порядка. Это обстоятельство будет ниже исполь зоваться.
В начале параграфа указывалоь, что для обоснования приемов составления уравнений границ рабочих областей будет использо ваться анализ значений действительного времени запаздывания
Тэ . Для этого были построены, как и при рассмотрении преды дущих систем, внутри рабочих областей линии равных значений
и T j i Z (CH.t например, рис.4.7). Для некоторых линий и точек А в скобках указывались вторые значения Т# . Пояснения
к этим значениям будут указаны ниже.
Линии 'Cdf=constcTpoHHHCb по уравнению, |
которое получается |
|||
из (3.86) применительно к уравнению (1.66). |
Имеем |
|||
5,5,2 |
J - 7 |
Д |
о , . |
(4.94) |
A5f, |
м ’г |
д>1 |
|
|
|
|
|||
Для построения линий ‘С(?(г=соп5'Ьиспользовались уравнения, ко торые получаются из (3.871) и (3.87м). Для этих уравнений за писываем
А |
г |
1 |
(4.95.') |
|
As,г 'д,г |
||||
|
|
|||
15,5,2 |
7,3 Z д, г |
(4.95м) |
||
к5,2