книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

91

Рассмотрим физические причины такого положения. На рис.1.66 представлена исходная замещающая структурная схема

системы и третья преобразованная замещающая схема, а на

рис.1.67 - исходная и вторая преобразованная замещающие схе­ мы для системы третьего порядка. Из сравнения схем, представ­ ленных на рис.1.66,б и 1.67,6, можно заметить, что при исполь­ зовании уравнения (1.73) не учитывается при определении пра­

вой границы влияние достоянной времени третьей составляющей процесса (рис.1.66,6) на колебательность второй составляющей. Однако нельзя не учитывать ее влияние на расположение границы

рабочей области.

Рис.1.67

По той же причине влияния постоянной времени третьей со­ ставляющей процесса точка в, , соответствующая уравнению (1.69) , лежит на границе рабочей области (система четвертого порядка - рис.1.60), хотя точка Q1, соответствующая уравнению (1.70) лежит внутри рабочей области (система третьего поряд­

ка - рис.1.52).

Сравним системы, соответствующие уравнениям (1.69) и

(1.68). Этим уравнениям на рис.1.60 и 1.64 отвечают точки Qv Исходная замещащая структурная схема системы и третья цреобразованная замещащая схема для уравнения (1.69) представлены, как указывалось, на рис.1.66. На рис.1.68 представлены исходная

92

и четвертая преобразованная структурные схемы для уравнения

( 1. 68).

Раскроем на примере сравнения рассматриваемых двух систем [уравнения (1.69) и (1.68)] физические причины, которые позво­ лили для уравнения правой границы в се е теме пятого порядка исполь­

зовать уравнение [последнее уравнение системы (1.67)] .кото­ рое получено из уравнения для системы четвертого порядка. Для

этого проведем сравнение двух замещающих структурных схем (рис.1.66,в и 1.68,6). Из сравнения можно заметить, что при

Рис.1.68

использовании указанного выше уравнения для определения правых границ в системе пятого порядка не учитывается влияние постоян­

ной времени ^четвертой составляющей процесса на положение пра­ вой границы, а учитывается лишь влияние постоянной времени Т3

третьей составляющей, как это делается и в системе четвертого порядка (рисЛ .66,в). Однако при учете и постоянной времени четвертой составляющей процесса общая сумма рассматриваемых постоянных времени будет мало отличаться от постоянной времени третьей составляющей (постоянная времени четвертой составляющей

относительно мала в сравнении с постоянной времени третьей со­

ставляющей). Поэтому определение правой границы с учетом толь­ ко постоянной времени третьей составляющей дает практически правильный результат.

Таким образом, для системы четвертого порядка из-за влия­ ния постоянной времени третьей составляющей процесса при опреде-

93

лении уравнения правой граница нельзя исходить из уравнения этой границыдля системы, порядок уравнения которой на единицу

меньше, а для системы пятого порядка этот прием дает правильный

результат, так как сумма постоянных времени для быстропротекающих составляющих мало отличается от постоянной времени Т3 соответствующей системы четвертого порядка.

Шше мы этот вывод обосновали физически лишь для конкрет­

ной точки первой подобласти. Однако это можно было сделать ана­ логичным образом и для всех других точек первых подобластей.

Кроме того, примерно такое же физическое обоснование можно бы­ ло привести и для граничных точек вторых подобластей. Общим здесь является то, что сумма постоянных времени для быстропротекающих составляющих процессов мало отличается от этой суммы

для системы четвертого порядка, коэффициенты которой соответст­ вуют последним коэффициентам уравнения пятого порядка.

В итоге можем заключить, что использованный выше прием оп­ ределения уравнения правой границы для системы пятого порядка подтверждается также физическими закономерностями.

Перейдем к рассмотрению физических закономерностей, которые

позволили применить изложенный выше прием для определения урав­ нений верхних границ. В качестве уравнений этих границ были взяты уравнения границ рабочих областей для системы четвертого

йорядка. Сейчас нужно этот прием обосновать физически. Причем

следний коэффициент характеристического уравнения для системы третьего порядка - равен нулю, рассматриваемое совпадение явля­ ется очевидным, так как система третьего порядка вырождается в систему второго порядка-. Для условия, когда коэффициент А 3 не равен нулю, совпадение указанных выше уравнений имеет место изза того, что при приближенной замене действительной границы ра­

бочей области (рис.1.49) верхняя граница была представлена пря­

мой линией, т.е. было принято, что граничные значения коэффици­

94

структурные схемы системы (рис.1.50) и переходные процессы для двух различных значений А3 , которые представлены на рцс.1.52, а также учитывая» что верхняя граница рабочей обла­ сти определяется предельной колебательностью для второй состав­

ляющей процесса.

дело заключается в том, что при А3= 0 кривая процесса по координате х, вырождается в прямую линию, и поэтому процесс

по этой координате не оказывает влияния на колебательность второй составляющей процесса. ПриА= 0 координата- х ; уже из­ меняется и имеет место взаимное влияние процесса по этой ко­ ординате и по второй составляющей процесса. Чем больше отно­

шение удвоенной постоянной времени (2Гг)для второй составляю­ щей к длительности процесса по первой составляющей t 7 , тем взаимное влияние сильнее, которое выражается, а это нас сей­ час и интересует, в увеличении колебательности второй состав­ ляющей.

Однако в тех пределах изменения коэффициента А3 , которое

соответствует верхней границе и определяется правой границей рабочей области (рис. 1.52), взаимное влияние первой и второй составляющих процесса не приводит к слишком значительному из­ менению колебательности второй составляющей. Физически это

объясняется сравнительно небольшой величиной отношения 2 Г2 и времени t 7 .

Изложенные пояснения полностью относятся и к системе чет­ вертого и пятого порядков. При этом для этих систем значения

отношения 27^к t , также оказываются сравнительно малыми. Кроме

того, для систем четвертого и пятого порядков в общем случае

верхние границы могут определяться предельной колебательностью не только второй, но и других составляющих процессов, а также

вообще могут определяться не только предельной колебательностью для какой-либо составляющей процесса, но и вообще взаимным со­ отношением колебательностей для составляющих процессов в соот­ ветствии с исходной предпосылкой метода. Взаимное влияние пер­ вой и других составляющих процесса не приводит к значительному изменению колебательности последних составляющих. Это объясня­

ется тем, что отношение суммы постоянных времени £ T-L для этих составляющих процесса к времени t ; , если первая составляющая

апериодическая,- или к величине Тп&1, если первая составляющая колебательная, везде оказывается сравнительно небольшой. Для систег/ы же пятого порядка значения рассматриваемого отношения

95

практически совпадают со значениями этих величин в соответст­ венных точках (глава IУ) для системы четвертого порядка. .

Наконец, изложим физические закономерности, которые позво­ лили для разделения первой и второй рабочих подобластей исполь­

зовать разделительное уравнение (1.53). Подробно этот вопрос рассматривать не будем, лишь укажем, что использование урав­

нения (1.53) оказалось возможным по тем же причинам, какие оправдали его использование для систем четвертого порядка.. Дело в том, что значения отношения суммы постоянных времени

тически такими же, как и для соответствующих точек системы четвертого порядка. Соответствие здесь заключается в равен­ стве последних пяти коэффициентов уравнения пятого порядка аналогичным коэффициентам уравнения четвертого порядга, как это

имеет место, например, в уравнениях (1.68) и (1.69).

х х

х

Из материалов по рассмотрению систем третьего и четверто­ го порядков вытекает, что уравнения правых границ для этих си­ стем должны записываться в соответствии с их полными характе­ ристическими уравнениями.

Для системы пятого порядка (как и для систем всех более высоких порядков, о чем будет изложено ниже) это положение нарушается. При исследовании указанной системы было показано, что уравнение правой границы для этой системы должно записы­ ваться по уравнению правой границы для системы четвертого по­ рядка с увеличением индексов всех коэффициентов на единицу. Иначе это означает, что при определении уравнения указанной границы из характеристического уравнения системы (1.65) долж­ ны быть выделены последние пять слагаемых, т.е. в уравнении не должно учитываться первое слагаемое. Получится характеристи­ ческое уравнение четвертого порядка, которое отличается от

обычного уравнения (1.57) увеличением индексов всех коэффици­ ентов на единицу. Уравнение имеет вид

96

После этого уравнение правой границы для системы пятого поряд­ ка должно составляться, как уравнение правой границы для си­ стемы четвертого порядка с характеристическим уравнением (1.74)

Таким образом, для системы пятого порядка с учетом уравне­ ний верхних границ общая система уравнений, определяющих рабо­ чие области, состоит из уравнения для системы второго порядка, уравнения правой границы для системы третьего порядка и двух уравнений правых границ для систем четвертого порядка. Пере­ численные уравнения различных порядков получаются из уравнения

(1.65) и записываются

а0рг + а ,р + аг = 0 ■,

Решение задачи приближенного разложения процессов в указан­

ных системах можно было бы рассматривать последовательно для систем шестого, седьмого и других более высоких порядков в со­ ответствии с той методикой и теми приемами,, какие применялись для систем более низких порядков. Однако такой трудоемкой работы удалось избежать. Зто оказалось выгодным еще и потому, что уда­ лось получить результат сразу для системы /7-го порядка, причем этот порядок может быть любым.

Подробно пояснять решение задачи приближенного разложения процессов в системах шестого и более высоких порядков здесь не будем. Материалы по решению этой задачи изложены в главах Ши IУ. Здесь же приемы ее решения укажем лишь в общих чертах.

для рассматриваемых систем было высказано сначала предполо­ жение, что те приемы составления уравнений правых и верхних гра­

ниц рабочих областей, которые использовались для системы, пятого порядка, дадут правильный результат и для систем других поряд­ ков. Кроме того, было высказано предположение о том, что для

данных систем будет справедливо уравнение (1.53) разделения пер­

вых и вторых рабочих подобластей.

для обоснования приема составления уравнений правых границ

97

ивозможности применять разделительное уравнение (1.53) исполь­ зовался следующий способ.

При рассмотрении системы пятого порядка также сначала вы­ сказывались такие же предположения об уравнении правой границы

иразделительном уравнении. Затем путем тщательного исследова­ ния рабочих областей была доказана справедливость указанных

предположений. При этом физически это объясняется тем, что для всех точек рабочих областей отношение суммы £ 7^ постоянных

к системе седьмого порядка и т.д. для всех точек рабочих обла­ стей указанное выше отношение будет также мало отличаться от

его значения для системы четвертого порядка, то можно считать принятые предположения справедливыми, так как они оказались справедливыми для системы пятого порядка.

Положение о малых отличиях отношения £ Г- к длительности t f или Тпб (удалось доказать. Даже при стремлении порядка уравне­ ния системы п к бесконечности указанное отношение для вс^х то­ чек рабочих областей шло отличается от соответствующих значе­ ний для системы четвертого порядка, т.е. предположения об урав­

нениях правых границ и о разделительном уравнении себя оправ­ дали.

для обоснования приема составления уравнений верхних гра­ ниц использовался аналогичный способ с той лишь разницей, что '

здесь были доказаны просто узкие пределы изменения отношения суммы постоянных времени для быстролротекающих составляющих

процессов к величинам и Тпв ,(в зависимости от характера пер­ вой составляющей) в соответствии с тем, что для системы пятого порядка этим обстоятельством физически и объясняется возмож­ ность использовать в качестве уравнений верхних границ уравне­ ния рабочих границ для системы, порядок уравнения которой на единицу меньше.

В заключение исследования систем шестого и более высоких

порядков необходимо было бы обосновать при переходе к каждой следующей системе возможность выделения первой составляющей

процессов. Тем самым была бы обоснована возможность приближен­ ного разложения процессов на простейшие составляющие, так как

98

возможность выделения остальных составляющих доказывать не

нужно, если она доказана для систем меньших порядков. Этот

вывод вытекает из приема составления уравнений верхних границ и подробно обоснован для систем пятого порядка.

Однако обосновывать возможность выделения и первой состав­

ляющей процессов также нет особой необходимости. Дело в том, что доказательство малых отличий отношений суммы Е Т- постоян­ ных времени к длительности t 1 или Тпв (является одновременно и обоснованием возможности выделения первой составляющей процес­

сов. Это доказательство для всех точек рабочих областей было проведено одновременно с его рассмотрением для границ рабочих

областей.

X X

X

После исследования системы пятого порядка были указаны характеристические уравнения, на основе которых записываются

уравнения границ рабочих областей. Такие уравнения запишем и для системы п -го порядка. Из пояснений, которые изложен^ для системы пятого порядка, можно заметить, что система указанных характеристических уравнений для системы л-го порядка будет

отличаться от системы (1.75) увеличением числа уравнений чет­

вертого порядка.

характеристическое уравнение для системы п -го порядка

Тогда характеристические уравнения, на основе которых записы­

а , р ^ + а г р3+ а 3 р г+ a^p + as ^ 0 -,

a n - s P ‘h+ а п -ьр 3+ а п-з PZ+ а п -гР + o n- i = 0 5

а п - г Р г + а г,-7Р + Оп = 0 - .

99

Сучетом уравнений (1.77) по аналогии о (1.67)

уравнения границ рабочих областей записываются

г

Номера уравнений в (1.78) введены для удобства их исполь­ зования.

Учет начальных условий

В данном параграфе при рассмотрении методики решения зада­ чи приближенного разложения процессов на отдельные составляю­ щие пока в основном говорилось о левых частях уравнений от­ дельных составляющих [о сомножителях знаменателя приближенно­ го разложения функции (I.I) типа (I.I5) и (1.27)] . При состав­ лении выражений для правых частей уравнений отдельных состав­

ляющих, для числителей сомножителей приближенного разложения функции (I.I) необходимо было исходить из учета начальных ус­

ловий для отдельных составляющих.

Начальные условия для координат исходной замещающей струк­ турной схемы и исходной замещающей системы уравнений, как вид­

но из рассмотренных выше примеров, определяются по исходной пе­

редаточной функции (I.I) с учетом ее числителя и знаменателя.