книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

190

Аналогично (4.II) для этого уравнения записываем

<f~*'

ип-г , п-г

Вкачестве уравнения п порядка опять берем (2.62), для

которого имеем

о / Qn-г^п

<Е ^ ’П+2 К а ">« (4.17)

*л,г= -

*П- 1 , п Q п, п

Будем предполагать, что мезду коэффициентами уравнений

(2.62),(4.15) имеется следующее соответствие:

С использованием (4.19) для А л>г с учетом (4.16) после преобразований получаем искомую связь

Выше указывалось, что коэффициенты А будут использоваться

при исследовании систем более высоких порядков по сравнению с

порядками систем, для которых эти коэффициенты получены. Для этого будут использоваться соотношения (4.6) и (4.9). При этом

зависимости для коэффициентов Л будут представляться графи­ чески.

191

С другой стороны, при исследованиях будут использоваться

уравнения систем в третьей форме записи, а рабочие области бу­

дут графически представляться для различных фиксированных зна­ чений Ап_^ п п_ъ. Тогда, имея в виду последующее использование коэффициентов Л л_, при исследовании систем п порядка, для

этих коэффициентов целесообразно (когда будет рассматриваться

с третьим (если вести счет справа) соотношением (2.75). Заме­

также и коэффициенты Л„ _2 . Имея в виду это обстоятельство для этих коэффициентов целесообразно строить кривые, соответ­ ствующие фиксированным значениям отношений

пп -з, п - г , п-5

всоответствии с третьим (если вести счет справа) соотношением

(2.79). Заметим, что коэффициент Ап. 3 л_2 „^является коэффици­ ентом при первой степени р , а А„_2 ’п_г ^--свободным коэффи­ циентом.

Сейчас были изложены пояснения по определению коэффициен­ тов Л * необходимых для проведения исследований в системе

вательном исследовании систем различных порядков нужно каждый раз для систем каждого рассматриваемого порядка строить кри­ вые коэффициентов А как для фиксированных значений коэффи­

циента А , так и для фиксированных значений У (4.21).

Для удобства исследований в дальнейшем кривые А , соот­ ветствующие фиксированным значениям у , будем обозначать А .

■ В начале параграфа были указаны направления, в которых бу­ дут дополнены материалы главы I при исследовании возможности разложения на сомножители левой части уравнения (I .I1). Сейчас

192

укажем, что в основе всех этих дополнений лежит то положение,

что при вычислении параметра Л (величины %$ ) необязательно

определять корни уравнения быстропрстекающих составляющих, а этот параметр можно определять через постоянные времени отдель­

ных составляющих, как это было сделано при рассмотрении приме­ ров в главе Ш[см. (3.100Д и в данном параграфе [см.(4.3)] . На основе использования этого положения были составлены л со­ отношения (4.14) и (4.20).

Справедливость изложенного выше положения объясняется тем, что каждый раз при увеличении порядка уравнений систем и вы­

деления первых составляющих (как это делалось в главе I) вре­ мена затухания всех быстропротекающих составляющих практически не изменяются, а следовательно, не изменяются характеризующие их постоянные времени.

§ 2. СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Для рассмотрения методики и последовательности составле­

ния уравнений границ рабочих областей будем использовать третью форму записи уравнений системы (1.49).

На рис.4.1 построена граница устойчивости системы, правая

и верхняя границы рабочей области. При развитии методики со­ ставления границ рабочих областей в тех лее координатах A 2i3;0, А 3 з 0 (рис.4.1) были построены линии равных значений х д для случаев, когда первая составляющая соответствует как пер­

вому, так и второму порядкам.

Для первой составляющей второго порядка линии строились

по уравнениям

Уравнения (4.22') и (4.2211) получены из уравнений (3.87') и

(3.87") при замене коэффициентов a-L на А, с учетом условий (2.64) и (2.64'). Для коэффициента А было принято значение

Справедливость (4.23) объясняется тем, что для системы тре­

тьего порядка при втором порядке первой составляющей имеется только одна быстропротекающая составляющая, описываемая урав-

194

Условия (4.25) и (4.26) были получены из анализа уравнения для быстропротекающих составляющих. Для этого уравнения (3.67) при замене a-L на А- с учетом (2.64) и (2.64') и порядка л

имеем

(4.27)

Уравнение для быстропротекагощих составляющих (4.27) имеет второй порядок и поэтому определение выражений для коэффици­ ента Л не представляет труда. Если полином левой части урав­

нения (4.27) соответствует апериодическому звену второго по­

рядка, то справедливо (4.25) и уравнение (4.24'). Если указан­ ный полином соответствует колебательному звену, то для X по­ лучаем выражение (4.26)

Линия, разделяющая области применения уравнений (4.241)

и (4.24"), соответствует условию,когда параметр £ для урав­

нения (4.27) равен единице. Для параметра ^ имеем выражение

Тогда уравнение указанной линии записывается

(4.29)

Из рис.4.1 видно, что для малых значений Аг з,о и ^з,з,о

всегда можно выделить область, для которой процессы третьего

порядка сколь угодно мало отличаются от процессов второго по­ рядка вследствие малости значений . Характеристическое уравнение второго порядка для этой области из (3.65) с учетом

(2.64) и (2.641) и порядка п записывается

195

Для уравнения второго порядка граница рабочей области со­

ответствует условию (1.4). Для этого условия уравнение, связы­

вающее коэффициенты (4.30), имеет вид

к нулю, когда система третьего порядка вырождается в систему второго порядка, уравнение (4.31) становится точным уравнени­

ем границы рабочей области.

Уравнение (4.31) использовалось в качестве исходного при составлении уравнения правой границы для системы третьего по­

рядка, Это уравнение было получено, как указывалось в первой

главе, путем аппроксимации кривой, построенной в соответствии с исходной предпосылкой метода эффективных полюсов и нулей. При этом в качестве условия ставилось, чтобы при стремлении

^2 ,з,о к НУЛЮ это уравнение вырождалось в (4.31).

Полученное для (1.49) уравнение правой границы записыва­

ется

6А г,з,о

(4.32)

^^г,з,о + 2 А 2 ,з,о + Р^^ г,з,о

Из рис.4.1 видно, что для любых значений Аг 3 0могут быть

указаны диапазоны столь малых значений А3(3)0, при которых вы­ деление из процессов первой составляющей первого порядка соот­

ветствует сколь угодно малым ошибкам вследствие малости вре­ мени .

Характеристическое уравнение для остальных составляющих будет для этих диапазонов A3j30 иметь второй порядок и со­ ответствует (4.27). Так как первая составляющая имеет второй порядок, то граница рабочей области может соответствовать толь­

ко предельной колебательности (1.4) для уравнения второго по­

рядка. Для условия (1.4) уравнение, связывающее коэффициенты

(4.27), имеет вид

= (4.33)

^ 2 , 3 , 0

196

Уравнение (4.33),аналогичное уравнению (4.31), тем точнее соответствует границе рабочей области для системы третьего

Очевидно, что уравнение (4.33) будет практически справед­

ливо не только при бесконечно малых значениях Х д , но и для некоторого диапазона малых значений Хд . Было принято, что

(4.33) можно использовать до значения А33= 1,01, при котором прямая, соответствующая (4.33), пересекается с правой границей (рис.4.1). Наибольшее значение Хд соответствует точке пере­ сечения правой границы с прямой (4.33). Это значение состав­

Из графика ошибок видно, что здесь ошибки в переходных процес­

сах сравнительно небольшие и можно ожидать допустимость оши­

бок в колебательности по сравнению с (1.4). Это положение под­

тверждает график на рис.1.49,б. Таким образом, было получено

уравнение верхней границы, соответствующее (4.33).

Для того чтобы записать уравнения (4.32) и (4.33) примени­ тельно к (2.62), необходимо было воспользоваться условиями подобия переходных процессов и применить их, как указано в гл.Ш. В итоге получились уравнения правой и верхней границ

(1*51)•

При определении разделительной кривой (рис.4.1) учитыва­ лось, что в верхней и левой части рабочей области имеет место

Эта линия выше и была названа разделительной кривой.. При ее использовании ошибки выделения первых составляющих оказываются

в среднем минимальными.

Для определения разделительной кривой необходимо сначала

найти точку на границе рабочей области, где имеет место (4.37) На рис.4.1 этой точкой является точка А' . Затем необходимо

197

найти точки, удовлетворяющие (4.37) и внутри рабочей области. Однако оказалось, что разделительная кривая должна удов­

летворять еще требованию по согласованию разложений процессов

на отдельные составляющие для систем различных порядков. Это требование будет подробно пояснено в специальном параграфе.

Указанное требование заставило отойти от (4.37) и в каче­ стве разделительной использовать кривую, удовлетворяющую урав­

нению (1.53). Применительно к (1.49) это уравнение записыва­ ется

Кривая, соответствующая (4.38), имеется на рис.4.1. Отклоне­

ние от условия (4.37) увеличивает ошибки выделения первых со­ ставляющих и, как видно на рис.4.1, наибольшие значения време­ ни запаздывания для системы третьего порядка несколько превы­ шают (3.23). Однако ошибки разложения процессов на простейшие

составляющие (при использовании приемов уменьшения этих ошибоксм.§ 12 данной главы) не превышают 30% и здесь. Это положение имеет место и для систем других порядков.

Изложенный выше материал совместно с содержанием главы I

раскрывает полностью задачу разложения процессов на отдельные составляющие для систем третьего порядка. Осталось подготовить

материал к рассмотрению систем четвертого порядка. С этой целью будут составлены аналитические соотношения для коэффициентов Л 3 1(Лз,;)и ^з г (^г)и представлены кривые для них.

Коэффициент ^соответствует второй рабочей подобласти, где первая составляющая имеет уравнение первого порядка, а уравне­ ние для быстропротекающих составляющих (второго порядка) может соответствовать одной колебательной составляющей или двум апе­ риодическим, как это уже отмечалось при рассмотрении уравне­ ния (4.27). Условие, разделяющее эти случаи, соответствует (4.29). Выше (4.29) имеется колебательная быстропротекагощая со­

ставляющая, а ниже - две апериодические быстропротекающие со­

ставляющие .

Коэффициент Л3>2 соответствует второй рабочей подобласти,

где первая составляющая имеет уравнение второго порядка. Гра­ ницей между первой и второй рабочими подобластями, как уже

известно, является линия (4.38).

Однако использовать уравнение (4.38) здесь не потребуется.

Дело в том, что для упрощения исследования при определении

198

коэффициентов Л (упрощаются зависимости для этих коэффици­ ентов) будем в качестве границы между первой и второй рабочи­

В соответствии с этим изменится конфигурация первой и второй рабочих подобластей, как это показано на рис.4.2 (в отличие, например, от рис.4.1). Изменение границы между первой и вто­ рой рабочими подооластями приведет к изменению значений Л, (л)

для области, которая на рис.4.2 заштрихована, по сравнению со

Рис.4.2

значениями А ( л ) при обычной конфигурации рабочих подобла­

стей. При исследовании систем четвертого и более высоких по­ рядков это обстоятельство может привести к увеличению значе­

ний . Однако указанное положение не нарушит выводов о воз­ можности разложения процессов на отдельные составляющие.

199

Нужно иметь в виду, что рабочие подобласти, представлен­

ные на рис.4.2, будут использоваться только при определении

коэффициентов Л(А) , необходимых для исследования последующих систем. При рассмотрении всех других вопросов будут использо­ ваться, как это уже делалось, обычные рабочие подобласти. Рас­

смотренная здесь замена рабочих подобластей будет применяться

при определении коэффициентов А (А ) не только для систем тре­ тьего, но и для систем всех других порядков. С целью под­ черкнуть различие между обычными и используемыми при опреде­ лении А (А ) рабочими подобластями будем первые называть про­ сто рабочими подобластями, а вторые - рабочими подобластями для А .

Из рис.4.2 видно,' что первая рабочая подобласть для А полностью располагается выше прямой (4.39). Поэтому для этой

подобласти имеется первая составляющая первого порядка и коле­ бательная вторая составляющая [см.(4.29)] . В соответствии с этим для уравнения (1.49) получаем [см.пример (4.3)].

или

риодическая быстропротекающая составляющая. В то не время пер­ вая составляющая, хотя и имеет второй порядок, может быть как колебательной, так л апериодической второго порядка. Соотноше­ ние, разделяющее эти два случая, легко получить из условия равенства единице коэффициента затухания для рассматриваемой

составляющей. Из уравнения (4.30), которому соответствует урав­

нение первой составлю щей в данном случае, находим

(4.41)