книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

130

Предположим, что это уравнение получено умножением на „ р ”

всех слагаемых и добавлением последнего слагаемого, т.е. пред­ положим, что выполняются условия

Преобразуем уравнение (2.69) путем изменения масштаба оси времени таким образом, чтобы были равны единице коэффициенты не при и р 3 , а при слагаемых с третьей и второй степе­

нями р .к-Это будет уравнение, для коэффициентов которого нуж­

но найти рассматриваемые здесь связи [связи с коэффициентами уравнения (2.68)] . Указанное уравнение записывается

соотношениями (2.70).

Для определения связей между коэффициентами уравнений

131

Соотношения (2.74) есть связи между коэффициентами уравне­ ний (2.69) и (2.71). Используя соотношения (2.70), получаем

следующие искомые связи между коэффициентами уравнений (2 .6 8 )

и (2.71):

"о, л, л-з- "о, п- 1, л-'t" л-г, л-1, л-'t» " ц л, л-з ~ "цл-ц п-ч^п-г, п-t, л-*»” ’’

для этого необходимо использовать такие же приемы, которые при­

менялись при составлении связей (2.75), но сделать это нужно •

здесь дважды, в два этапа.

Первый этап полностью совпадает с преобразованиями и пере­ ходами, которые применялись к уравнениям (2.68) и (2.71) и в итоге которых получены связи (2.75). В применении данных свя­ зей к рассматриваемой сейчас задаче будут иметь место особен­ ности, которые вытекают из того, что вместо (2.68) и (2.71) мы будем рассматривать здесь уравнения, порядки которых на

132

Всоставлении соотношений (2.78) состоит первый этап отыс­ кания связей между коэффициентами уравнений в третьей форме за­ писи, порядки которых отличаются на две единицы. Второй этап

будет состоять в составлении связей между коэффициентами урав­ нений (2.77) и (2.71). Эти связи совпадают с (2.75) и в их

специальном составлении нет необходимости.

Витоге для коэффициентов уравнений (2.76) и (2.71) полу­

чаем следующие связи:

133

Г л а в а Ш

ЗАДАЧА ТЛ-ШЛЕНИЯ ПЕРВЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

В первой главе указывалось,что широко используемая в мето­

де эффективных полюсов и нулей задача приближенного разложения процессов на отдельные составляющие и задача выделения первых составляющих этих процессов (задача понижения порядка уравне­ ний систем) во многом аналогичны в том смысле, что в этих зада­

чах совпадают исходная идея и используемые приемы, для раскры­

тия указанных идей и приемов в данной главе и рассматривается задача выделения первых составляющих процессов в автоматических

системах.

В определенной степени эти идеи и приемы уже раскрыты в пер­ вой главе. Для их целостного изложения по задаче выделения пер­ вых составляющих процессов (задаче понижения порядка уравнений систем) дается полное решение. Анализ других методов понижения порядка уравнений систем, как об этом сказано в главе I, излагается в конце главы 1 У.

§ I. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Пусть имеем уравнение автоматической системы

В-уравнении отсутствует правая часть в связи с тем, что пред­ полагается сейчас отсутствие возмущающего воздействия и проте­

кание процесса определяется только начальными условиями. Поставим цель - найти соотношения между коэффициентами

134

этого уравнения, при выполнении которых возможно выделение

первой составляющей, имеющей первый или второй порядок урав­

нения. При этом ошибки в описании процессов должны быть срав­ нительно малыми.

Если говорить конкретнее, то наша цель состоит в том,что­

бы уравнение (3.1) представить по крайней мере в форме двух уравнений, из которых первое уравнение будет описывать первую составляющую процессов.

Если,например, первая составляющая описывается уравнением первого порядка, то уравнение (3.1) может быть представлено в форме следующих двух уравнений:

(3.2)

Если первая составляющая описывается уравнением” второго порядка, то система двух уравнений, заменяющих уравнение (3.1), записывается в виде

(3.3) более простыми уравнениями не заменялись. Координаты х г

одновременно соответствуют выходной координате х . Физический смысл понятий "первая составляющая" и "вторая

составляющая" проистекает из тех же положений, на основе кото­ рых такие понятия применялись в первой главе работы. Если оп­

ределять по системам(3.2) и (3.3) переходные процессы методом последовательного формирования отдельных составляющих, то вна­

чале должны быть построены кривые х - первые составляющие

составляющих х г должны использоваться как входные воздей­ ствия. В соответствии с последовательностью формирования со­

135

ставляющие и имеют номера.'Это положение справедливо не только для случая двух, но и большего числа составляющих.

Результаты построений процессов по системам (3.2) и (3.3),

иллюстрирующие изложенные выше положения, представлены соот­ ветственно на рис.3.1 и 3.2. Сдвиг кривых 5ги x t друг относи­

При записи систем (3.2) и (3.3) не предусматривалось пред­ ставление уравнений быстропротекаощих составляющих [вторые уравнения систем (3.2) и (3.3)]через отдельные составляющие. Это отразилось и на рис.3.1 и 3.2. В дальнейшем уравнения быстропротекающих составляющих почти всегда будут записываться через уравнения отдельных составляющих. Это не имеет принци­ пиального значения, но методически оказывается более удобным.

Для определения соотношений между коэффициентами уравнения (3.1), при выполнении которых возможно выделение первых состав­ ляющих, будем рассматривать не уравнение (3.1) непосредствен­

но, а системы уравнений, при свертывании которых получается

уравнение (3.1). В указанных системах уравнений должны быть звенья, определяющие протекание первой составляющей, и звенья

смалыми постоянными времени, влиянием которых можно пренебречь

стем, чтобы получить искомые соотношения.

136

Системы уравнений, при свертывании которых получается урав­ нение (3,1), будем называть замещающими аналогично тому, как

это определение использовалось в первом разделе. Нужно только

иметь в виду, что используемые здесь замещающие системы, вооб­ ще говоря, отличаются от других замещающих систем, хотя и име­ ют с ними много общего.

В простейшем случае в качестве замещающей системы можно было бы использовать систему уравнений, соответствующих корням характеристического уравнения для (3.1). Можно выбрать и какуюлибо другую замещающую систему, так как принципиальных огра­ ничений здесь нет. Однако практически требуется, чтобы исполь­ зуемая система позволила получить простые по структуре соотно­ шения, определяющие возможность выделения первых составляющих, и коэффициенты уравнений для первой и быстропротекающих состав­ ляющих должны простым образом выражаться через коэффициенты уравнения (3.1).

В связи с этим систему уравнений, соответствующих корням

характеристического уравнения для (3.1), использовать не пред­

ставляется возможным. Оказалось целесообразным использовать

системы .уравнений, которые для случаев,когда первые составляю­

щие имеют уравнения первого и второго 4порядка, соответственно

записываются

138

двумя первыми уравнениями. Остальные уравнения соответствуют звеньям с малыми постоянными времени (быстропротекающин состав­

ляющим). В (3.4) и (3.5) было принято определенное сочетание этих звеньев, хотя указанное сочетание может быть и любым дру­

гие.3.4

Замещающие системы уравнений (3.4) и (3.5) оказываются удобными потопчу,что первые коэффициенты уравнения (3.1), кото­ рое получается при свертывании систем (3.4) и (3.5), определя­

ются только постоянными времени и коэффициентами затухания урав­

нений быстропротекающих составляющих (постоянными времени и

коэффициентами затухания апериодических и колебательных зве­ ньев). В то же время лишь последний коэффициент уравнения (3.1)

в случае системы (3.4) и два последних коэффициента в случае системы (3.5) определяются, кроме того, и коэффициентами

и К г , соответствующими уравнениям первых составляющих.

Так, если первая составляющая имеет первый порядок, то вы­ ражения коэффициентов А п. г , А п_, и А п имеют вид