книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

61

Выше указывалось, что задача приближенного разложения про­ цессов на отдельные составляющие полностью совпадает с задачей

понижения порядка уравнений систем и даже можно сказать, что последняя задача является основой задачи приближенного разложе­

ния процессов. Это положение верно в том смысле, что совпадают в этих задачах исходная идея и используемые приемы. Однако име­

ются здесь и отличий, которые состоят в том, что задача разло­ жения процесса на составляющие является более широкой,не всег­ да там, где можно разложить процессы на составляющие, возможно понижение порядка уравнений систем, т.е. не всегда можно пре­

небречь влиянием содержания, которое вносят в процессы быстро-

протекающие составляющие. Изложенные положения подтверждают,на­

пример, кривые для примера 2 и кривые на рис.I.16,а. В приме­ ре 2 можно пренебречь влиянием составляющих , jc3 и л?2и ис­ пользовать только кривую составляющей лг,(рис.1.12,а). Эта со­ ставляющая описывает основное содержание всего процесса в си­

стеме. В кривых, представленных на рис.I.16,а, для описания основного содержания процесса нельзя ограничиваться использова­ нием только первой составляющей, необходимо учитывать также

вторую составляющую процесса.

В связи с указанным! обстоятельствам! задачу понижения поряд­ ка уравнений систем будем ниже рассматривать как задачу выделе­ ния из процессов основных составляющих. Для изложения исходной

идеи и используемых во всех перечисленных задачах приемов (в том числе и в задаче приближенного разложения процессов) ниже (глава Ш) рассматривается задача выделения первых составляющих процессов.

Изложим еще некоторые пояснения по основным составляющим процессов. Под основной составляющей процесса здесь понимается

кривая, которая с достаточной точностью описывает основной ха­ рактер протекания этого процесса, но порядок уравнения которой ниже порядка полного уравнения. Здесь мы конкретно не указываем цифры, которые характеризовали бы ошибки, с какими основная

составляющая должна описывать кривую полного процесса в связи с тем, что этот вопрос должен решаться самостоятельно в каждом конкретном случае.

Уменьшение ошибок в совпадении полной кривой с основной со­ ставляющей может достигаться не только увеличением числа учиты­

ваемых составляющих. Эта цель может достигаться (и часто именно толькотак)путем отказа от разложения кривой, соответствующей основному

63

Рис.1.4?

составляющие действительно уменьшает ошибки в совпадении кривой

указанного полного процесса (кривая на рис.1.48) с основной

составляющей.

Отказ от разложения основного процесса на отдельные состав­ ляющие может быть оправдан лишь в специальных случаях, так как это означает, что при синтезе систем необходимо осуществлять решение дифференциальных уравнений систем в машине, хотя поря­ док этих уравнений (следовательно, и потребное машинное время) будет меньше порядка исходных'уравнений. С другой стороны, в главе 71 предлагается специальный алгоритм, при использовании которого потребное время счета получается приемлемым и при по­ вышении точности протекания основного процесса. Здесь мы счита­ ем, что определение процессов, соответствующих уравнениям выше второго порядка, осуществляется только интегрированием уравне­ ний.

§ 4. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРИЕШШВННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ

ИА ОТДЕЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СИСТЕМАМ

РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

В этом параграфе на основе идеи задачи приближенного разло­ жения процессов в системах на отдельные составляющие покажем методику ее решения применительно к системам различных поряд-

64

ков. Вначале рассмотрим системы третьего порядка, затем чет­ вертого и более высоких порядков. Причем здесь мы не будем

подробно обосновывать каждый этап и переход. Это сделано в

главе 1У. В данном параграфе, следуя цели, которая стави­ лась выше, покажем физические основы решения задачи.

Для того чтобы содержание параграфа было более обозримым, в характеристических уравнениях систем будем считать два коэф­

фициента равными единице. Возможность считать один коэффициент равным единице не требует пояснений. Для другого коэффициента

это можно сделать по условиям подобия переходных процессов. Это положение обосновывается в главе П. Для уравнений, в ко­ торых два коэффициента приняты постоянными, будем для коэффи­

Приняты постоянными коэффициенты именно левой части уравнения в связи с тем, что излагаемая ниже методика опирается на анализ характеристических уравнений систем (знаменателей передаточных функций систем). Принятые условия (61) не нарушают, как будет

указано в главе П, общности исследования.

Система третьего порядка

Характеристическое уравнение системы записывается

Сначала необходимо выделить область, в которой выполняется первоначальная исходная предпосылка метода. Для системы третье­

го порядка, которая может иметь лишь одну пару комплексно-со­ пряженных корней, исходная предпосылка требует,чтобы выполнялось условие (1.4). Граница же рассматриваемой области должна опре­ деляться из условия

р,2 = 4,89. (1.50)

Здесь через р, г обозначена колебательность для пары комплекс­

но-сопряженных корней.

65

На р и с .I .4 9 ,а пунктирной кривой выделена область, для ко­ торой выполняется условие (1 .5 0 ) . В дальнейшем эту область бу­ дем называть рабочей.

Р и с.1 .49

Единое аналитическое выражение границы этой области оказы­ вается слишком громоздким. Кроме того, единое уравнение труд­ но затем использовать в задаче синтеза систем. В связи с этим пунхтирная граница была заменена двумя сплошными линиями ОАВ

66

и ЕС. Первую линию будем называть правой границей, а вторую - верхней. Правая и верхняя границы приближенно выделяют рабочую

область. На этих границах условие (1.50) нарушается, однако

незначительно. Об этом свидетельствуют кривые на рис.1.49,б, показывающие значения колебательности для границ. АОВ и ВС.

Терминологию "правые" и "верхние" границы сохраним и для систем всех других порядков. Для этих систем правые и верхние

границы имеют такое же взаимное расположение, как и для систе­ мы третьего порядка, что будет видно из последующего материала.

Уравнения для правой и верхней границ системы третьего

порядка записываются: верхняя граница

л

аг = 6 аа, 0

Разделим рабочую область, выделяемую верхней и правой гра­ ницами, на две (первую и вторую) рабочие подобласти кривой,со­

ответствующей уравнению

а п - г

Уравнение (1.53) есть как раз то соотношение, которое опреде­

ляет простое правило оценки порядка каждой составляющей процес­ са при его приближенном разложении. В связи с тем, что кривая,

соответствующая уравнению (1.53), выделяет в рабочей области две рабочих подобласти, будем уравнение (1.53) и соответствую­

щую ему кривую называть разделительными. Причем эту терминоло­ гию сохраним и для систем более высоких порядков, где мы будем

рассматривать не одну, а серии 1фивых. и соответственно серии

первых и вторых рабочих подобластей.

Разделительная кривая, соответствующая уравнению (1.53).

67

на рис Л . 49,а представлена штрих-пунктирной линией ОДА. В пер­ вой рабочей подобласти, которая лежит вше разделительной кри­

вой, первая составляющая процессов имеет первый порядок, а вторая составляющая - второй порядок. Во второй рабочей под­

области, которая лежит справа от разделительной кривой, первая составляющая имеет второй порядок, а вторая - первый.

Изложенный вывод получен путем сравнения величин постоян­ ных времени для второй составляющей процессов с длительностью

первой составляющей tj , если эта составляющая апериодическая, и с длительностью одной полуволны колебаний Тп& , если первая

составляющая колебательная.

Кроме того, вывод о порядке уравнений первых и вторых со­ ставляющих процессов получен путем анализа большого числа пе­ реходных процессов, который сводился к оценке величин ошибок и

проводился не только для тех точек рабочих областей, которые расположены вблизи верхней и правой границ, но и вообще для всех точек рабочей области, в том числе и для точек раздели­

тельной кривой.

Выделение первой-и второй составляющих движения соответст­ вует двойному преобразованию (первому и второму) исходной структурной схемы. Исходные и преобразованные структурные схе­

мы для первой и второй рабочих подобластей показаны соответст­ венно на рис.1.50 и I.5I.

Сравнение величия постоянных времени для второй составляю­ щей процессов с величинами £7 пли Тпв и анализ переходных про­

цессов показали, что приближенное разложение процессов на про­ стейшие составляющие с допустимыми ошибками возможно почти для

всей рабочей области. Ошибки такого разложения, как легко за­ метить из 1фивых на рис.1.52 и 1.53, существенно зависят от

расположения точек, для которых анализируются переходные про­

цессы, внутри рабочей области и от начальных условий процес­ сов, т.е. правых частей уравнений (числителей передаточныхфунк­ ций замкнутых систем). Однако для всей принятой рабочей обла­

сти, за исключением точек, расположенных вблизи точки А, наи­

большие возможные ошибки в описании кривых при использовании приближенного разложения процессов оказались вполне допустимы­ ми независимо от начальных условий.

Рассматриваемые ошибки зависят кроме рассмотренных факто­ ров также от расположения разделительной кривой внутри рабочей области. Можно провести тщательное исследование по определению