книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

230

231

В этом случав, как видно из соотношений (4.14) и (4.20), значения коэффициентов Лл и А п для соответственных точек

будут совпадать независимо от порядка уравнения и будут рав­

ны значениям этих коэффициентов для системы пятого порядка. Будут также совпадать и кривые Л „и А п, построенные соответ­ ственно для постоянных значений А„ , „ „ . и У

Можно было бы этим ограничить данное исследование и ис­

пользовать в дальнейшем сокращенные рабочие области. Однако целесообразно не сокращать все же рабочие области. В этом слу­ чае для отыскания предельных значений коэффициентов Лп и Х п был .применен искусственный прием,несколько видоизмененный по

сравнению с изложенным.

Расширим рабочие области для систем третьего и четвертого порядков, сохраняя неизменными рабочие области для системы пя­

щих систем, не превышали соответствующих значений для систем третьего и четвертого порядков.

Из формул (4.14) и (4.20) следует, что в этом случае зна­ чения коэффициентов Л„ и А п для соответственных точек будут

совпадать независимо от порядков уравнений и будут равны зна­

чениям этих коэффициентов для системы пятого порядка. Будут целиком совпадать также кривые А п и А „, построенные для по­

стоянных значений А„ , „ „ ,(кривые А п) и постоянных значений j- (кривые А ).

Таким образом существо изложенного выше искусственного приема отыскания условий, при которых для соответственных то­ чек коэффициенты А л и А п не будут возрастать, состояло в искусственном расширении рабочих областей для систем третьего и четвертого порядков. На самом деле такое расширение рабочих областей предусматриваться не будет, но зато указанный прием позволил получить предельные кривые для Ал и л „ , которые да­ ют предельные значения этих коэффициентов. Будем эти кривые, пример которых представлен на рис.4.10, обозначатьЛлпяе3и Ап<пред

При наличии указанных предельных кривых обоснование двух

цредположений о приемах составления уравнений границ рабочих областей (см.гл.БУ стр.224 , гл.1, стр.97 ) оказывается

достаточно простым, так как при обосновании первого предполо­

жения необходимо сравнить кривые для постоянных значений Тд,и

, в системе четвертого порядка с такими же кривыми, соот-

Oj z

232

234

Анализ значений действительного времени запаздывания для верхних границ в предельном случае показывает, что диапазон этих значений оказывается о:граниченным и практически не пре­ вышает диапазона этих значений для систем третьего, четверто­ го и пятого порядков. В связи с этим предположение о том, что

в качестве верхних границ для системы любого порядка можно ис­

пользовать уравнения рабочих границ для предыдущей системы,

соответственных точек границ рабочих областей разность в дей­

Из графика ошибок видно, что отличия в процессах, которые име­ ют место из-за наличия (4.I2I), не будут превышать (10-12)$. Этими ошибками можно пренебрегать, так как наибольшие разности Д'Гд имеют место в точках, где величины не являются наи­ большими, и поэтому уравнение правой границы для системып -го

порядка можно определять, как для системы четвертого порядка с уравнением (4.109), т.е. предположение о приеме составления уравнений правых границ также является оправданным.

Во всем исследовании данного параграфа предполагалось, что

в качестве разделительной кривой используется (1.53). Эта же разделительная кривая применялась для систем третьего, четвер­

того и пятого порядков. Для последних систем возможность ис­

рабочих подобластей при использовании (1.53) не выходят из диа­ пазона значений времени запаздывания для систем третьего, чет­ вертого и пятого порядков. Для этого достаточно установить наи­ большее значение для предельного случая - для предельного

расположения кривых постоянных значений Z j jiiZg г, так как все другие случаи по значениям действительного времени запаздыва­

ния х д являются промежуточными между системой пятого порядка и предельным случаем. Точнее говоря, предельный случай являет­

ся наиболее "тяжелым” в том смысле, что он соответствует наи­ большим значениям Z$ . Это происходит потому, что значения действительного времени запаздывания для соответственных точек

235

в целом непрерывно возрастают с ростом порядка уравнений си­ стем.

Из рисунков, аналогичных рис.4.II, было получено, что зна­

чения для предельного случая лежат в интервале

(0+ 0,17) сек, (4.122)

который действительно не превышает значений времени запаздыва­ ния для систем третьего, четвертого и пятого порядков.

Для решения задачи приближенного разложения процессов на отдельные составляющие осталось только показать, что каждый раз

при увеличении порядка уравнений систем выделение первой со­

ставляющей осуществляется с допустимыми ошибками. Это положе­ ние оказывается справедливым потому, что значения действитель­ ного времени запаздывания ‘l q каждый раз не выходят из диапа­ зона (4.122), и поэтому ошибки оказываются допустимыми.

Здесь нужно иметь в виду, что в данном выводе предполага-

етбя использование приемов уменьшения ошибок разложения про­ цессов на простейшие составляющие, которые описаны в § 12 дан­ ной главы.

§ 6. СОГЛАСОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЙ ПРОЦЕССОВ НА ОТДЕЛЬНЫЕ

СОСТАВДЯНЩЕ ДЛЯ СИСТЕМ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

В предыдущих параграфах задача разложения процессов на от­ дельные составляющие решалась путем постепенного увеличения порядка уравнений систем или, будем говорить, решалась прямая задача. При анализе и синтезе систем, как указывалось в гла­ ве I (§ 2, стр. 32 ) и, как следует из краткого описания ал­ горитма, выделение составляющих процессов может осуществляться путем постепенного уменьшения порядка уравнений для быстропротекающих составляющих, т.е. после выделения первой составляю­

щей может быть осуществлено выделение второй и последующих

составляющих или, как будем говорить, может решаться обратная

задача разложения процессов на отдельные составляющие. Как пря­

мая, так и обратная задача должны соответствовать согласова­ нию разложений процессов на отдельные составляющие для систем

различных порядков. Для пояснения содержания указанного согла­ сования рассмотрим два случая применительно к обратной задаче

разложения процессов на отдельные составляющие в соответствии

236

с тем, что алгоритм анализа и синтеза записаны для этой за­ дачи.

П е р в ы й с л у ч а й . Предположим, что для систе­

мы л -1-го порядка осуществлено для определенного сочетания значений коэффициентов уравнения системы разложение процессов

на отдельные составляющие. При этом пусть оказывается, что первая для указанного уравнения составляющая процессов имеет первый порядок.

Рассмотрим систему п -то порядка, для которой все коэффи­ циенты уравнения, кроме последнего, совпадают с коэффициента­

ми уравнения для системы л -1-го порядка. Для системы л-го порядка осуществлено выделение первой составляющей. Причем за­

дача выделения первой составляющей осуществлялась на основе ре­ зультатов разложения процессов на составляющие для системы л-1-го порядка, т.е. задача решалась так же, как это делалось для систем различных порядков в предыдущих параграфах главы.

В данном случае возможны два варианта. В первом варианте первая составляющая' для системы п -го порядка имеет первый

порядок. После выделения первой составляющей получается урав­ нение п -1-го порядка, которое должно дальше раскладываться в соответствии со своими составляющими,, т.е. в данном варианте никаких затруднений не возникает. Для наглядности запишем си­ стему уравнений для первой и остальных составляющих процессов.

Система имеет вид

Во втором варианте первая составляющая для системы л -го порядка имеет второй порядок. В этом варианте после выделения первой составляющей получается уравнение л-2-го порядка, кото­ рое должно дальше раскладываться в соответствии со своими со­ ставляющими, которые известны, так как первая составляющая для

уравнения л-1-го порядка, не входящая в уравнение л-2-го поряд­

ка, вошла в уравнение первой составляющей здесь. Таким образом, в данном варианте и, следовательно, для случая в целом никаких

затруднений в согласовании порядков составляющих не возникает. Система уравнений для первой и остальных составляющих процессов

здесь оказывается следующей:

237

Вт о р о й с л у ч а й . Предположим также, что для си­ стемы п -1-го порядка для определенного сочетания значений коэф­

фициентов уравнения системы осуществлено разложение процессов на отдельные составляющие. Однако^ пусть сказывается, что пер­

вая для указанного уравнения составляющая имеет не первый, а второй порядок.

Будем рассматривать опять такую же систему п -го порядка, как и для первого случая. Здесь тоже возможны два варианта,

Впервом варианте первая составляющая для системы л -го

порядка пусть оказалась первого порядка. После выделения пер­

вой составляющей получается уравнение п -1-го порядка, и поэтому этот вариант по рассматриваемым здесь вопросам не имеет отличий от первого варианта предыдущего случая.

Во втором варианте первая составляющая для системы л-го

порядка пусть имеет второй порядок. В этом варианте после вы­ деления первой составляющей получается уравнение п -2-го поряд­ ка. Однако для этого уравнения в отличие от второго варианта первого случая разложение на отдельные составляющие неизвест­

но, так как уравнение л -1-го порядка имело последнюю состав­ ляющую второго порядка и, следовательно, уравнение этой состав­ ляющей оказалось расчлененным между уравнением первой состав­

ляющей для системы п -го порядка и уравнением остальных со­ ставляющих для этой системы. Это легко заметить из системы уравнений для этого варианта, которая имеет вид

Таким образом, в итоге рассмотрения данного случая (а так­ же учитывая результаты анализа первого случая) заключаем, что в задаче разложения процессов на составляющие требуется спе­ циальный контроль для случая, когда в предыдущей системе (си­ стеме гг-1—го порядка) первая составляющая имеет Еторой порядок. Должно быть исключено такое сочетание, когда первые составляю­ щие в системах п -1-го и п -го порядков имеют первые составляю­

щие второго порядка. В зтом исключении и заключается требова­ ние по согласованию разложений процессов на отдельные состав­ ляющие для систем различных порядков.

Правда, может оказаться, что изложенное требование буд^т

в определенных случаях излишним. Однако для этого нужны допол­

нительные исследования. Если основываться только на изложенных

239

Р и с .4 .1 3

п е р в а я со ст а в л я ю щ а я д л я с и с т е м ы п - 1 - г о п о р я д к а и м е е т п ер вы й

в и и п е р в а я со ст а в л я ю щ а я д л я си ст ем ы п - г о п о р я д к а м ож ет и м е т ь

т о л ь к о п ер в ы й п о р я д о к .

И зл ож ен н ы е у с л о в и я в ы п о л н я ю т ся , е с л и и м е е т м е с т о с о о т н о ­ ш ение