книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

220 .

Уравнения (4.95') и (4.95") использовались с учетом областей их применения, определяемых (3.571) и (3.57").

При рассмотрении системы пятого порядка впервые встречает­

ся такой случай, когда в обойх уравнениях для действительного

времени запаздывания (тд , и "Сд<г) коэффициенты У- не удается заменить аналитическими выражениями в связи с тем, что уравне­

ния быстропротекающих составляющих во всех случаях имеют по­ рядок выше второго.

Всоответствии с материалами, изложенными в § I [см.(4.6)

и(4.9)3 для коэффициентов Л5 , и Л5>гимеют место соотноше­

ния

ного значения А, 5 г учитывалось второе соотношение (4.91), т.е.

которое получается для данной системы из общей зависимости

(4.21), т.е. с графиков для A 3j, и А 3;1 снимались значения этих коэффициентов по кривым для тех значений 3” , которые удовлет—

221

воряют соотношению (4.99). При этом с кривых снимались наиболь­ шие значения рассматриваемых коэффициентов с тем, чтобы рас­

смотреть и здесь наиболее "тяжелые" случаи. При выборе этих "тяжелых" случаев учитывалось сокращение рабочих областей за

также разделительные кривые по уравнению (1.53), которые выде­ ляют в рабочих областях рабочие подобласти. Линии равных зна­ чений Z dj1 и Ъд г строились уже с учетом пролегания раздели­

тельных кривых. Анализ значений XdjJ и Хд гдля рабочих областей показал, что наибольшие значения действительного времени за­

паздывания для системы пятого порядка не превышают, как и для системы четвертого порядка, действительного времени запаздыва­ ния для системы третьего порядка. Следовательно, наибольшие ошибки разложения процессов на составляющие здесь не будут

превышать ошибок для систем третьего и четвертого порядков, ^ т.8, указанное разложение для системы пятого порядка можно sсчитать возможным. При этом в качестве разделительной кривой

можно использовать уравнение (1.53). Изложенные выводы .здесь также справедливы при условии использования приемов уменьше­ ния ошибок разложения процессов, которые рассматриваются ниже.

Анализу ошибок разложения процессов на составляющие должно

было предшествовать рассмотрение физических закономерностей, которые позволили использовать указанные выше приемы составле­ ния уравнений границ рабочих областей. Рассмотрим эти законо­

мерности сейчас на основе тех же кривых постоянных значений

Ч т и Ч г * Физические закономерности, которые лежат в основе приемов

записи, уравнений верхних границ уже использовались выше для уравнений верхних границ систем третьего и четвертого поряд­

ков. Эти закономерности состоят в том, что для верхних границ оказывается ограниченным диапазон значений действительного вре­ мени запаздывания Zg . При этом оказалось, что для системы пятого порядка этот диапазон не превышает диапазона значений для системы четвертого порядка. По. этой причине использованный прием записи уравнения верхних границ для системы пятого по­

рядка себя оправдал.

Для анализа физических закономерностей, которые лежат в

основе приемов составления уравнения правых границ, обратимся к рис.4.7. Ка этом рисунке и на других аналогичных рисунках,

222

которое получается из (1.58) увеличением индексов всех коэффи­ циентов на единицу. В связи с указанным соответствием между уравнениями (4.I0I) и (1.58) кривые = const и t^^constдля

условия (4.100) специально определять не требуется, а необхо­ димо их перенести с рисунков для системы четвертого порцдка

(см., например, рис.4.4) с соблюдением условий

(4.100). При практическом совпадении этих значений со значе­ ниями Zdj1 иТд 2 для полного уравнения пятого порядка в скоб­ ках значения времени запаздывания не ставились.

Сравнение значений Zg t и Х3 г д т системы пятого порядка и для системы с уравнением (4.I0I) показывает, что для одних

и тех же точек границ рабочих областей значения Z d , и Zg^z для сравниваемых систем если и отличаются, то незначительно. Раз­ ница в значениях действительного времени запаздывания AZgдля этих систем составляет

величинами ошибок будем пренебрегать, и поэтому уравнение пра­ вой границы для системы пятого порядка можно определять, как

для системы четвертого порядка с уравнением (4.I0I). Такой

прием и был выше применен.

Перейдем к составлению соотношений для коэффициентовЛ5 и -^5, г (^5,2^и к графическому представлению этих соотношений.

Так как составляются соотношения для системы пятого порядка,

224

§ 5. СИСТЕШ ШВСТОГО И ВЖЕЕ ВЬСОКЙХ ПОРЯДКОВ

Для систем шестого и более высоких порядков можно было бы использовать путь последовательных исследований с увеличением

каждый pas порядка исследуемых систем на единицу. Этот путь уже использовался ниже по отношению к системам третьего, чет­ вертого и пятого порядков. Однако в дальнейшем он оказывается громоздким. Кроме того, его использование принципиально не может привести к решению задачи для системы л -го порядка.

В связи с этим воспользуемся некоторым искусственным приемом, который приведет к решению задачи для системы п -го порядка.

Этот прием по своему содержанию может быть отнесен к задачам метода математической индукции.

Из материалов главы I следует, что при составлении уравне­ ний границ рабочих областей для систем высоких порядков исполь­

зовались такие же два предположения, какие применялись при со­ ставлении уравнений границ рабочих областей для системы пято­ го порядка. Справедливость этих двух предположений и необходи­ мо в первую очередь доказать. Для этого будем использовать, как

это делалось и для системы пятого порядка, кривые равных зна­ чений Хд , и г . Предварительно рассмотрим некоторые законо­

мерности, которые шжно сформулировать на основе уже изложен­ ного материала.

Из взаимного расположения рабочих областей для система пятого порядка (рис.4.6) видно, что рабочие области для усло­

вия (4.100) являются наиболее широкими, т.е. все рабочие обла­ сти приАо 5 f О лежат внутри рабочих областей для уравнения

(4.I0I). Таким образом, влияние коэффициента А0 ..может выра­ зиться только в сокращении рабочей области.

Это положение является частным случаем общей закономер­ ности, которая состоит в том, что рабочие области для систе­ мы л -го порядка, соответствующие третьей форме уравнения,

лежат внутри рабочих областей для системы четвертого порядка, характеристическое уравнение которой записывается;

225

Ап - ь , п , л - з р*+ р3+-р 2+АП - I , п , п - з р + Ап,п,п-з = 0 . (4.109)

Влияние коэффициентов от Ао п п_3Д0 Ап_5 п п_5может выразиться

только в сокращении рабочей области.

Таким образом, получается, что цри условии

А

рабочие области оказываются наиболее широкими.

Для доказательства этой закономерности рассмотрим внача­ ле рабочие области для систем пятого и более высоких порядков.

При этом сейчас мы исходим из того, что приемы составления границ рабочих областей, которые изложены в главе I, являются

справедливыми, хотя их обоснование мы изложим в данном пара­ графе ниже.

Для системы пятого порядка анализируемая закономерность

была уже доказана. Сейчас вернемся к ее рассмотрению для пол­ ноты исследования.

При доказательстве положения о том, что для условия (4.100) рабочие области являются наиболее широкими, использовалось

Используя пояснения, изложенные на стр.218 и учитывая (4.III), вспомним, что наиболее широкими для условия (4.100) рабочие области получаются потому, что для системы предыдущего поряд­

ка (четвертого) цри каждом А3 4|наибольшие граничные значения

При доказательстве рассматриваемой закономерности для си­ стемы шестого порядка необходимо использовать связи, аналогич­ ные (4.91), которые для шестого порядка из общих связей (2.75) получаются следующими:

Так как в качестве уравнений верхних границ используются

уравнения границ рабочих областей для предыдущей системы (си­ стема пятого порядка), то на этом основании мы и можем исполь­

зовать связи (4.ИЗ) для определения значений А$1.Of. J.для верх-

них границ. С этой целью необходимо воспользоваться третьим

соотношением (4.TI3), которое после замены A ^ SiZ через второе соотношение записывается

и других аналогичных рисунках выделить горизонтальные прямые, для которых значение А4 5 2совпадает со значением A2i6)3[вто­

рое соотношение (4. И З )]. Различным граничным значениям ASfSiZ на этих прямых будут соответствовать различные граничные зна­

так как в этом случае будут наибольшими значения Л5 s 2 на пра­ вой границе рабочей области для системы пятого порядка. Усло­

вием (4.II5) по существу вводится в рассмотрение вместо (4.II2) уравнение, соответствующее (4.100). Поэтому можем за­

писать, дополняя (4.II5), что наиболее широкими рабочие обла­ сти получаются при

Полученный результат будет иметь место не только для одно­

го, но и для всех значений A2j6)3. Поэтому можно сформулировать

общий вывод о том, что для систем шестого порядка рабочие об­ ласти получаются наиболее широкими для условий (4.II6), являю­

щихся частным случаем общих условий (4.ПО).

Исследования, которые выше описаны применительно к систе­

мам пятого и шестого порядков, могут быть продолжены и далее для систем более высоких порядков. Однако и без этих исследо­

227

ваний уже очевидно, что действительно для системы п -го по­ рядка рабочие области получаются наиболее широкими при (4.НО) или, иначе можно сказать, что рабочие области для системы

п -го порядка лежат внутри рабочих областей для системы чет­ вертого порядка с характеристическим уравнением (4.109).

Здесь, конечно, имеется в виду, что в соответствии с пер­

вым предположением о приемах составления уравнений границ ра­ бочих областей в качестве уравнения правой границы для каждой

из систем используется уравнение, полученное из уравнения для предыдущей системы увеличением индексов всех коэффициентов на единицу. Для того чтобы записать уравнение для системы п -го порядка, не требуется обязательно осуществлять такие последо­

вательные переходы, а можно в уравнении цравой границы для си­ стемы четвертого порядка сделать замены коэффициентов по сле­

При аналогичных заменах получается последнее уравнение (1.77).

При формулировании вывода о рабочих областях при условиях (4.НО) также имелось в виду, что в соответствии со вторым

предположением о приемах составления уравнений границ для каж­ дой из систем используются уравнения границ рабочих областей

для предыдущей системы. Это позволяет использовать связи меж­ ду коэффициентами уравнений, которые применительно к уравне­ ниям л-1-го иц-го порядков соответствуют (2.75).

Из рассмотренной закономерности о границах рабочих обла­ стей при условиях (4.НО) вытекает вторая закономерность, ко­ торая заключается в том, что рабочие области при условии (4.НО) для всех систем совпадают независимо от порядка п .

Под совладением здесь подразумевается то положение, что рабо­

чие области, построенные в соответственных координатах, сов­

падают. Для системы четвертого порядка этими координатами бу­

В дальнейшем будем говорить и о соответственных точках

рассматриваемых рабочих областей, под которыми будем понимать точки с одинаковыми значениями соответственных координат.

Перейдем к построению кривых равных значений ;и Т^2и

229

Формулы (4.II8) * (4.II9) показывают, что значения дейст­ вительных времен запаздывания t и <С^гдля соответственных

нений систем объясняется увеличением именно этих коэффициентов.

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить кривые А и а для систем четвертого и пятого порядков (см., например,

рис.4.5 и рис.4.8).

Из рисунков видно, что в соответственных точках значения

коэффициентов А и А для системы пятого порядка или выше зна­ чений этих коэффициентов для системы четвертого порядка, или

равны последним. Поэтому значения Z d и "cd 2для соответствен­ ных точек при увеличении порядка уравнений систем в целом воз­ растают, хотя во многих случаях, как уже указывалось, и не

изменяются.

С другой стороны, из проведенного анализа видно, что зна­

чения параметров ; и “с^ при увеличении порядка уравнений систем не будут возрастать, если не будут увеличиваться цри возрастании порядка систем коэффициенты А п и А л .Это достигается, если воспользоваться следующим приемом.

Сократим за счет правых границ рабочие области для системы пятого порядка таким образом, чтобы наибольшие значения а5и А5

совпадали с наибольшими значениями аналогичных параметров для системы четвертого порядка ( А^ и А^). Сокращенные и исходные рабочие области показаны на рис.4.9.

Уравнение для правых границ сокращенных рабочих областей применительно к уравнению (2.62) можно записать

а 5 , 5 ~ f ( ^ 0 , 5 '» a i,S j ° 2 , S » a 3 ,5 ?

Для исследуемых систем уравнения правых границ будем состав­ лять путем увеличения на единицу индексов коэффициентов в урав­

нениях правых границ для предыдущих систем,используя в качестве

исходного написанное выше уравнение для a 5i5 .