книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ
.pdfп о
Г л а в а П
О ПОЛОШИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОШДСОВ
Данная глава является вспомогательной. Выделение излагаемых здесь вопросов в самостоятельную главу объясняется тем, что ре
зультаты и приемы, которые вытекают из условий подобия переход ных процессов, будут ниже широко использоваться. В главе на ос нове известных положений и соотношений по подобию переходных процессов записываются связи между коэффициентами уравнений
(передаточных функций) систем применительно к трем формам запи си уравнений, которые будут использоваться в последующих гла
вах. Кроме того, в главе излагаются необходимые пояснения по
используемым ниже приемам исследования, которые также вытекают из соотношений по подобию переходных процессов.
§ I. ЖАОДНЫЕ ЮлОДВНИЯ
Для изложения исходных положений и составления исходных соотношений по подобию переходных процессов обратимся к теоре
ме линейности |
[17] и теореме масштабов операционного исчисле |
|||
ния [17, 43]. |
|
|
|
|
Пусть функция х ( t ) |
, определяющая переходный процесс в |
|||
автоматической системе, |
преобразуется по Лапласу и имеет своим |
|||
изображением функцию Х(р), т.е. |
пусть имеем |
|||
|
L [ х |
(£)] = X |
( р ) . |
(2.1) |
Введем в рассмотрение числа |
Kt и нх , |
которые могут быть |
||
произвольными, |
за исключением того, что |
является положитель- |
||
I ll
ным числом (на число кх ограничения не накладываются, но для
удобства будем дальше его считать положительным числом). Тогда справедливо соотношение
L[pc ( i j ] = X {р) , |
(2.2) |
|
где |
|
|
X(t) |
= КЛ х (J), |
(2.3) |
t |
= - |
(2.4) |
_ |
Kt |
|
и |
с |
|
Х { р ) = к х Х { к ь р ) . |
(2.5) |
|
С учетом (2.3), (2.4) и (2.5) |
соотношение (2.2) |
можно записать |
‘■[***(т{)]= ' < г х ( Ъ Р ) - |
<2- 6> |
|
Для того чтобы убедиться в справедливости (2.6), |
воспользуемся |
|
для левой части выражения (2.6) теоремой линейности. Имеем |
||
далее |
|
(2.7) |
|
= Kx X ( “ t P ) > |
|
отсюда |
|
|
|
|
|
( k J ] |
. = X |
( 2. 8) |
Полученное выражение справедливо по теореме масштабов. Следо
вательно, |
справедливо и соотношение (2 . 6 ). |
Далее |
будем предполагать, как подчеркивалось уже в первой |
главе, что |
переходные процессы соответствуют переходным функ |
циям систем, т.е. будем предполагать, что внешние воздействия являются скачкообразными и имеют место преднулевые начальные условия (по другим внешним воздействиям материал излагается в
конце главы 1У). В этом случае изображения переходных процессов являются передаточными функциями автоматических систем [ 8 и
дрГ], т.е. в данном исследовании передаточным функциям соответ ствуют изображения Х ( р )и Х ( р ) = к х Х ( к ^ р ) -
Из выражения (2.6) и его сравнения с (2.1) следует, что
умножению функции на постоянное число в вещественной области соответствует в комплексной области умножен® на эту постоян
ную изображения этой функции. Кроме того, из выражения (2.6) следует, что делению аргумента функции в вещественной области на постоянное число соответствует в комплексной области умно жение аргумента на такое же число.
112
Изложенные преобразования в вещественной области имеют кон кретный физический смысл, который вытекает из сравнения пере ходных функций x ( i )и o c (t ) . При графическом представлении этих
функций каждая из кривых шкет быть получена из кривой другой функции без ее изменения всего лишь изменением масштабов по
оси абсцисс и оси ординат. Так, например, кривая х (Сможет быть получена из кривой x ( t ) изменением масштабов по оси ор
динат в к х раз, |
а по оси абсцисс в к^раз. Это легко заметить |
|||
|
|
из (2.3). Имея в виду |
|
|
|
|
этот результат, будем |
|
|
|
|
далее числа к х и |
Kt на |
|
|
|
зывать коэффициентами |
|
|
|
|
масштаба соответственно |
||
|
|
оси ординат и оси абсцисс. |
||
|
|
Рассматриваемые здесь |
|
|
|
|
положения по масштабам |
||
|
|
осей иллюстрируют кривые |
||
|
|
на рис.2.1. Здесь пока |
||
|
|
зана вначале (рис.2 . 1 ,а) |
||
|
|
кривая х (jf-фзатем измене |
||
|
|
нием масштаба по оси ор |
||
|
|
динат (рис.2 . 1 ,6 ) полу |
||
|
|
чена кривая |
|
|
|
|
x ' ( i ) = Кх х ( t) |
(2.9) |
|
|
|
и, наконец, за счет из |
||
|
|
менения масштаба по оси |
||
|
|
абсцисс сделан переход |
||
|
|
к кривойл^Крис.2 .1 ,в). |
||
|
|
Пели при графическом |
||
|
|
представлении кривых |
|
|
|
|
x ( i ) , х ' Ш и х (-£) не |
|
|
делать изменений масштабов осей, то при рассмотренных выше |
|
|||
переходах от х (t) к х (^кривая х ( £ ) будет "растягиваться" |
или |
|||
"сжиматься" вдоль соответствующих осей. Пели кх>1 и к^.> 1, |
то |
|||
будет иметь место "растяжение" вдоль обеих осей, а яри к х < |
I |
|||
и к £< 1 - |
"сжатие". Возможно,в зависимости от соотношения ве |
|||
личин КдЛ |
к ь , |
что по одной из осе! будет "растяжение", а по |
||
другой "сжатие" |
кривой х Ц ) . i-ля конкретного пояснения этих |
|
||
|
и з |
особенностям на рис.2 . 2 |
показаны те же кривые 5c(i) , x ‘(i)& х , |
но для кривых х'(Ь)и х |
( i ) не сделано изменение масштабов осей. |
Будем в дальнейшем два процесса x ( t ) и х ( t ) , удовлетво
ряющих соотношению (2.3), называть подобными. Такое определе ние характеризует и то положение, что по форме эти процессы полностью совпадают, так как каждая из кривых может быть по лучена из кривой другой функции только изменением масштабов по оси абсцисс и оси ординат.
Будем также говорить о соответственных точках подобных переходных процессов. Под соответственными будем понимать
каждые две точки функций х Ц ) ш 5c(t), удовлетворяющие соотно
шению (2.4), которое |
при рассмотрении соответственных точек |
|
будем записывать |
* |
, |
( 2. 10)
114
Здесь через |
t |
и t - |
обозначены соответственные моменты вре |
||
мени для функций m |
i |
. При графическом представлении кри |
|||
вых в виде, |
как это сделано на рис.2 . 1 , |
т.е. при изменении |
|||
масштабов осей для x ( t ) |
по сравнению с |
кривой х ( 6 ) , соот |
|||
ветственные точки на графиках занимают одинаковые положения |
|||||
(например, |
точки Л и А на рис.2.1,а и 2.1,^. В случае, отве |
||||
чающем рис.2 . 2 , |
т.е. |
при одинаковых масштабах для кривых x ( t ) |
|||
и х (i), соответственные |
точки занимают на графиках различные |
||||
положения. |
Но все же |
эти положения являются аналогичными (на |
|||
пример, точка А и А |
на рис.2.2,а и 2 .2 ,в). |
||||
Если переходные процессы являются подобными, то между коэф
фициентами передаточных функций, которым эти процессы соответ ствуют, будут иметь место определенные связи. Зти связи и бу дем называть условиями подобия переходных процессов.
Для составления этих условий нужно обратиться к изображе
ниям Х ( р ) и Х ( р ) функций x ( t ) И X ш и к соотношению (2.5),
которое их связывает. Изображения Х( р ) и Х(р)щ}и принятых усло виях (рассматриваются переходные функции систем) соответствуют,
как уже подчеркивалось, передаточным функциям систем. Поэтому связи между коэффициентами изображений Х(р)иХ(р)будут являться и связями между передаточными функциями, соответствующимиx ( t )
и |
Эти передаточные функции обозначим Ф(р) и Ф ( р ) : |
|
, т . т-1 |
•е чГ и X |
ЬоР + biP |
+*• •+ b m - iP + bm |
||
II |
|
|
|
|
■ |
С 0 Р П+ ai Р П~,+ ’ -'• + ап-1р + ап |
|||
|
||||
|
ъ0 Р т+ ь , р т' 1+- ’ • + Ьт. гр +Ът |
|||
ф (р)= х ( я ; = — |
п |
+ а 1 р |
п-1 |
|
|
а „ р |
|
+• ■ ’ + ° n - i P + Bn ' |
|
Тогда, используя (2.5), получаем
Ь0 р т+ bl P m 1+- • •+ b m- j P + Ьт
а 0 р п + а 1 р п~' + • •* + e n- iP +
(2 . И )
(2 . 1 2 )
|
ь Х р т +ь^ Г р ^ • • • ■ * • bm.,Kt p+bm |
. |
(2.13) |
а 0 к £ р п+ а } к 2 - 1р пЛ " . + а п_ , к ър + а п |
Из (2.13) имеем следующие два ряда соотношений:
а о= ° 0 K i |
; |
0 7 - a , x t |
; . . • j a n-i~ a n - i Ht \ °n ~ a n ( 2 . 1 4 ) |
b o K t K x 'i |
b i = |
b i K t K x |
» • • • i b m-i~ bm - i^ t Kx ’,< bm = bm Kx ’ |
|
|
|
( 2 . 1 5 ) |
115
Связй (2.14) и (2.15) составляют искомые условия подобия пере ходных процессов, которые будут ниже широко использоваться.
В дальнейшем условия (2.14) и (2.15) будут использоваться
не только применительно к передаточным функциям (2.II) и (2.12), но и применительно к уравнениям, которым эти функции соответ
ствуют. Указанные уравнения записываются:
(о0 рп+ а,рп~+ ••■+ап_,р +ап)х=(Ъ0 рт+Ь}рт+- ■■+ bm_,p+bm) f (2.16)
(а0рп+а,рп ~ + • • • + an_,p + an)x= (b 0pm+bfp l ■• '+bm_tp+bm} f . { 2 . 17)
Следует заметить, что последнее условие (2.14) накладывает
требование равенства последних коэффициентов знаменателей пере
даточных функций Ф(р)и Ф( р) или требование равенства последних
коэффициентов левых частей уравнений систем.Это положение нужно иметь в виду при практическом применении условий подобия
(2.14) и (2.15).
С другой стороны, рассматриваемое условие равенства послед них коэффициентов можно заменить равенством любых других соот
ветствующих коэффициентов, |
стоящих при одинаковых степенях р . |
|||||||||||
Потребуем такого равенства коэффициентов прип-t-x |
степенях р , |
|||||||||||
т.е. |
потребуем равенства |
t-x |
коэффициентов. |
При этом потре |
||||||||
буем их совместного равенства |
единице, так как ниже только та |
|||||||||||
кие случаи и будут рассматриваться. |
|
|
|
|
|
|||||||
Для составления условий подобия для рассматриваемых случа |
||||||||||||
ев все коэффициенты дроби, |
стоящей слева от знака равенства в_ |
|||||||||||
(2.13), разделим на |
a-L, а дроби, стоящей справа, |
- |
на |
|||||||||
Тогда условия подобия процессов будут следующими: |
|
|
||||||||||
а о |
а 0 |
i |
a, |
a, |
|
|
|
1 |
4-r |
|
|
|
|
— - к. |
ai |
<П Kt |
>•' •7 |
4 |
ai |
V> |
|
||||
|
a i |
* |
4 2 . 1 8 ) |
|||||||||
|
a i +l |
H-t> ••*’ |
&П-1 |
Qn-1 |
-n+L+i a n |
a„ -lu-L |
||||||
Si |
OL |
°L |
~ |
° i |
Kt |
7 |
ai |
Hi |
;J |
|||
Ьо |
bo |
m~n + L |
|
h |
- |
b, |
is m-n+- i-1 |
|
|
|
||
di~ |
a-L |
* |
K x » |
s i |
|
Kt |
|
Kx \ - |
|
|||
|
bm-r |
|
b m. 1 |
- n+i i■1 |
|
|
bm |
- n + t |
|
/ (2.19) |
||
|
|
" |
a L « t |
K-x'l |
°i |
ai |
|
|
|
|
||
В условиях (2.18) и (2.19), |
т.е. |
в условиях подобия пере |
||||||||||
ходных процессов, стали фигурировать отношения коэффициентов
функций (2 .II) и (2.12). Это фактически означает, что при ис
пользовании условий (2.18) и (2.19) нужно рассматривать уравне ния
116
а о |
п, |
&i |
л-7 |
|
|
Of- |
f |
n-i+j n-i |
Q■L...+i |
и |
n - L - ’, |
|
+ |
a а , \ |
|||||
a i |
|
|
Qi |
|
|
|
fli/ |
|
^ |
|
^a i |
4 |
- . . |
5 l) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
— |
р |
|
« |
|
||
|
|
|
|
|
m |
+ ИГР |
m-; |
+ |
|
; |
^ |
Л |
1 - 7 |
|
|
|
(2 .2 0 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а о п , |
|
„П-1 |
|
СГ; |
|
|
|
|
н |
Ol +j П-i-f |
+ - • |
On |
|||||||
а [ Р |
+ - р |
р |
+ • . . + |
— р + р |
|
“ |
7 |
ГрГ “ |
• )* = |
||||||||||
|
|
|
— |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' + ^ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
6 О |
„ Л 7 . |
^7 |
„ Л 7 ~ 7 , |
|
|
|
6/TJ-7 |
„ _ 6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
cu r |
|
a i г |
'*- +%гр+ъ )г- « - г1> |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Р |
+ — Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Очевидно, что вместо (2.20) й (2.21) можно использовать |
|||||||||||||||||
запись уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
/ — |
|
/7 |
— |
/7-7 |
|
|
— |
|
лЛ-6+71 |
Лn-L |
., ~— |
Л/7- С-1,—-7/ ., |
|
, |
"Г \ __ |
||||
( а 0 р + а , р |
+ . . . + а ; _ , я |
|
+ я |
|
|
+ a i +, p |
+-~ + а п ) х = |
||||||||||||
|
|
|
|
= (ЬоЯ |
+ |
|
|
•••+ |
|
|
+ 6 J |
f > |
|
|
(2 . 2 2 ) |
||||
(a oPn+ o lP n_,+ •••+ |
|
n - i + 7 |
л- t |
|
|
П - L - l |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
я" |
ь+ а £+г р " ‘ ь- '+ ». + ап) г = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
= ( b , p " ’+ b , p m - \ - - 4 - b „ _ , p + bm ) f , |
|
|
( 2 . 2 3 ) |
||||||||||||
и тогда вместо условий (2.18) |
и (2.19) будем иметь |
|
|
|
|||||||||||||||
a 0 |
= |
a 0 |
K ^ j |
a |
; = |
a , / < t |
; . |
. |
a i _ |
f |
= |
a £ _ |
; |
k ^ . j a-L+1~ a |
£ + ? к * |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Л-М.-7-7 |
|
|
|
- n + L |
|
|
(2.24) |
|||
|
|
|
|
|
Op~i ~ |
|
|
|
|
» ^n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r |
|
, |
m -n + i |
Kx'> |
r |
|
, |
|
т - л + ь-7 |
. |
|
|
|
||||
|
|
b D = b OKt |
|
b 1 = |
b 1Kt |
|
‘ОГ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
b m~{~ |
b m - i Kt |
|
|
Hx i‘ |
|
|
|
- n +i |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b m ~ b m Kt |
KX . (2. 2S) |
|||||||||||||
Выше отмечалось, что подобные переходные процессы характе ризуются тем, что формы этих процессов совпадают. Однако важ ным является также и то обстоятельство, что для многих показа
117
телей качества и свойств этих процессов справедливы простейшие аналитические зависимости (например, для максимальных отклоне
ний, максимальных скоростей изменения координат и длительности
протекания процессов). Кроме того, простейшие соотношения спра ведливы для корней характеристических уравнений, соответствую щих подобным процессам.
для максимальных отклонений, максимальных скоростей измене ния координат и длительностей протекания подобных процессов
справедливы соответственно следующие зависимости:
Я max ~ ^ m a x ^ х |
* |
(2.26) |
|
х m a x ~ |
х max ^ х |
к |
(2.27) |
|
|||
- |
t f i x Ht • |
|
(2.28) |
|
|
||
Для доказательства (2.26) |
обратим внимание на то, |
что |
|
вследствие совпадения процессов по форме максимальные отклоне ния для кривых х (t) и х(£)имеют место в соответственных точках,
для этих точек координаты кривых x ( t ) u |
х(£)связаны зависимостью |
|||||||
(2.3) , |
из которой (2.26) |
вытекает, |
как частный случай. |
|||||
Максимальные скорости изменения координат вследствие совпа |
||||||||
дения процессов по форме также имеют место в соответственных |
||||||||
точках. |
Поэтому для доказательства |
(2.27) опять обратимся к |
||||||
(2.3) , |
откуда получаем |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d x { t ) |
i |
(2.29) |
||
|
|
d t |
- |
d i |
‘ |
Kt |
||
|
|
|
||||||
функция |
x ( t ) |
получается из функции |
х |
( t ) простой заменой |
||||
аргумента t |
на t . |
Поэтому |
|
|
|
|
||
|
|
|
d x ( t ) |
d x (t) |
(2.30) |
|||
|
|
|
|
d t |
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
||
Подставляя (2.30) в |
(2.29), имеем |
|
|
|||||
|
|
d x |
d x ( t ) |
|
к х |
|
(2.31) |
|
|
|
~ d t = |
d t |
|
Tt |
|
||
|
|
|
|
|
||||
Из общей зависимости (2.31) соотношение (2.27) вытекает как частный случай.
При расчете времени протекания переходных процессов часто
определяют момент их окончания по оценке относительных отклоне
118
ний координат в конце процессов. Причем в качестве базовых зна
чений при расчете относительных отклонений рассматривают какиелибо характерные параметры кривых, например максимальные от
клонения. Очевидно, что при таком приеме определения длитель ностей протекания процессов для кривых x ( t ) и х (^окончание процессов будет наступать в соответственных точках. Для этих
точек справедливо соотношение (2 .1 0 ),из которого (2.28) сле
дует, |
как частный случай. |
|
|
||
Для корней характеристических уравнений, |
соответствующих |
||||
подобным процессам, справедливы соотношения, |
аналогичные (2 . 2 ?) |
||||
или (2.28). Для 1 - х |
корней |
|
|
||
|
|
|
|
|
(2.32) |
Здесь через |
p L обозначен |
I -й корень,соответствующий про |
|||
цессу |
х Ш |
, а через |
p L- |
L -й корень, соответствующий функ |
|
ции х |
( i ) . |
Такие же соотношения, как (2.32), |
имеют место и |
||
для других корней.
Справедливость рассматриваемых соотношений для корней ха рактеристических уравнений вытекает непосредственно из (2.4).
Пусть, например, система, процесс для которой описывает
ся, имеет три корня, |
два из которых являются комплексно-сопря |
|
женными. Корни обозначим |
|
|
Тогда |
р 1 и р 2, э = dLz ± |
{2.33) |
|
|
|
x ( t ) |
= с,ер’ % A e l2bs l n ( ( o 1 i + В). |
(2 -3 4 ) |
Для кривой х ( t ) из (2.34) с учетом (2J0) записываем
Зависимость (2.35) можем записать
Здесь применены обозначения |
|
|
Л и |
р 2 , з = |
(2.37) |
|
||
соответствующие корням (2.33).
119
Сравнивая (2.36) и (2.34) и учитывая (2.35), записываем
Pi |
Pi |
’ |
012 Kj. |
|
|
(2.38) |
|
|
|
|
|||||
или |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
(2.39) |
|||
P l ~ P l |
K t |
» |
Яз = /73 |
К, |
|||
|
|||||||
Аналогичные преобразования могут быть выполнены для систем |
|||||||
различных порядков и различных сочетаний |
вещественных и ком |
||||||
плексно-сопряженных корней. Поэтому можем утверждать, что спра
ведливо общее соотношение (2.32).
Из соотношения (2.32) вытекает, что для систем, имеющих
подобные переходные процессы, колебательности для всех комплекс
но-сопряженных корней совпадают, |
т.е. имеет место |
||||
|
ц • • |
= ц • • |
. |
(2.40) |
|
|
Г М +1 |
' П |
| 4 Н ' |
|
|
В (2.40) через |
i +i z У 1 i+rобозначены колебательности для |
||||
L -го и Li-1-го |
корней характеристических уравнений примени |
||||
тельно к процессам соответственно х |
(t) и x ( t ) . |
||||
В справедливости (2.40) легко убедиться, |
если сравнить ко |
||||
лебательности для комплексно-сопряженных корней процессов
(2.34) и (2.36).
Рассмотренными соотношениями (2.40) и (2.32), а также
(2.26), (2.27) и (2.28) будем ниже широко пользоваться.
§2. УСЛОВИЯ ПОДОШЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ИСОКРАЩЕНИЕ ОБЪЕМА ИССЛЕДОВАНИЙ
Одно из преимуществ, которые дают условия подобия переход ных процессов, состоит в сокращении объема исследований при со ставлении аналитических зависимостей для показателей качества
процессов и в других случаях. Сокращение объема исследований
достигается благодаря тому, что можно, не нарушая общности ис следования, некоторые коэффициенты уравнений систем считать постоянными.
Здесь нужно иметь в виду, что один коэффициент уравнений
систем можно принимать постоянным, как известно, за счет обще
го множителя для всех коэффициентов уравнений. Еще два коэстаи-